《多元函数微积分》习题解答第二章.doc

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1、习题2-1 1、解：在任意一个面积微元上的压力微元，所以，该平面薄片一侧所受的水压力2、解：在任意一个面积微元上的电荷微元，所以，该平面薄片的电荷总量3、解：因为，所以，又为单调递增函数，所以，由二重积分的保序性得4、解：积分区域D如图2-1-1所示，所以该物体的质量5、解：（1）积分区域如图2-1-2所示，所以（2）积分区域如图2-1-3所示，所以（3）积分区域如图2-1-4所示，所以（4）积分区域如图2-1-5所示，所以6、解：（1）积分区域如图2-1-6所示，所以（2）积分区域如图2-1-7所示，所以（3）积分区域如图2-1-8所示，所以（4）积分区域如图2-1-9所示，所以7、解：（1

2、）积分区域如图2-1-10所示，令，所以，故 （2）积分区域如图2-1-11所示，令，所以，故 8、解：（1）积分区域如图2-1-12所示，令，所以，故 （2）积分区域如图2-1-13所示，令，所以，故 9、解：（1）积分区域如图2-1-14所示，故（2）积分区域如图2-1-15所示，令，所以，故（3）积分区域如图2-1-16所示， 故（4）积分区域如图2-1-17所示，令，所以，故10、解：积分区域如图2-1-18所示，由图形的对称性得：，所以图2-1-1 图2-1-2 图2-1-3 图2-1-4图2-1-5 图2-1-6 图2-1-7 图2-1-8 图2-1-9 图2-1-10 图2-1-

3、11 图2-1-12图2-1-13 图2-1-14 图2-1-15 图2-1-16 图2-1-17 图2-1-18习题2-21、解：2、化三重积分为直角坐标中的累次积分解：（1）因为积分区域的上曲面为开口向上的旋转抛物面，下曲面为，积分区域在坐标面上的投影区域，所以（2）因为积分区域的上曲面为开口向下的抛物柱面与下曲面为开口向上的旋转抛物面围成，二曲面的交线在平面上的投影为圆，即，所以（3）因为积分区域的上曲面为开口向上的旋转抛物面，下曲面为，积分区域在坐标面上的投影区域，所以3、解：积分区域如图2-2-1所示另解：因为积分区域关于坐标面对称，又关于第一坐标是奇函数，所以。4、解：积分区域如图

4、2-2-2所示，当时，过作平行与面的平面，与立体的截面为圆，因而的半径为，面积为，故5、求下列立体的体积解（1）曲面所围立体是球体与旋转抛物面的一部分（如图2-2-3所示），用柱面坐标计算：图2-2-1 图2-2-2 图2-2-3 （2）因为积分区域的上曲面为平面，下曲面为，积分区域在坐标面上的投影区域，所以6、利用柱面坐标计算下列三重积分解：（1）因为积分区域的上曲面为开口向上的上半球面，下曲面为开口向上的旋转抛物面，将代入得，解此方程得积分区域在坐标面上的投影区域，由柱坐标公式得：。（2）因为积分区域的上曲面为平面，下曲面为开口向上的旋转抛物面，将代入得，所以积分区域在坐标面上的投影区域，

5、由柱坐标公式得：。7、利用球面坐标计算下列三重积分解：（1）用球面坐标计算（2）用球面坐标计算8、选用适当的坐标计算下列三重积分解：（1）积分区域为球，故用球面坐标计算：，所以（2）将代入得到平面上的一个圆，用直角坐标公式计算，由于计算量较大，请同学一试。用柱坐标计算（3）用柱坐标计算（4）用直角坐标计算习题2-31、 解：（1）因为连接点（1，0）和（2，1）的直线段的方程为，所以（2）（3）（4）因为星形线的参数方程为，所以（5）因为折线ABCD由线段AB，BC和CD构成，在线段AB上，在线的BC上，而在线段CD上，且（6）2、解：因为曲线L的极坐标方程为，所以，又 所以 3、解： 习题2

6、-41、（1）解：将曲面向xoy平面投影，得投影区域Dxy：x2+y2R2,从而有(2) 解：将平面向XOY平面投影，得投影区域，,从而有积分（3）解：由 （）得 由 得 所以， 2、解：将被截得的平面向XOY平面投影，又有已知条件的，设所求的面积为A，则有3、解：将曲面向XOY平面投影，得投影区域，设所求的面积为A，则有4、解：以圆环的中心为坐标原点建立坐标系，则容易知道圆环薄片的面密度为：，设薄片的质量为M，则有5、，而习题2-51、 解：2、 解：设P(x,y)为三角形上一点，则容易知道此点的密度为。重心：3、 解：（1）由对称性知道重心一定在z轴上。而圆锥的体积为：。所以重心为：。（2）容易知道此几何体是两个同心半球之间的部分，且重心一定在z轴上。而重心：。4、 解：以圆柱下底面的圆心为坐标原点，以转动轴为z轴建立坐标系，设P(x，y，z)为圆柱体上一点，则此点到转动轴的距离为，因此5、 解：设P(x,y,z)为弹簧上一点，则P到Z轴的距离为，因此有6、 解：有对称性知道Fy=0。7、 解：由对称性知道Fx=Fy=0。