向量代数与空间解析几何学习导读.doc

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1、内容提要1、向量概念 （1）向量的坐标表示：已知两点和，则向量的坐标为：= （2）若向量，向量的坐标就是是向量在三根坐标轴上的投影的值，向量的模长为，方向余弦为：；且有：，这里分别表示向量和轴、轴、轴的正方向的夹角，即方向角。事实上，我们要求向量的三个方向余弦，只需将该向量单位化。 2、向量的运算：设，则有： （1） （2）（3）= = = = （4），的方向同时垂直于和，并且、和之间满足右手法则。（5）一些运算性质：， ；/（或）3、平面及其方程：1、平面的点法式方程：过点，且法向量的平面的方程为： 2、平面的一般式方程： 3、平面的截距式方程：，方程中分别是平面截三个坐标轴的截距。4、点到

2、平面的距离：设平面：，是平面外的一点,则点到平面的距离：5、设两平面，的法向量为，于是与两平面间的夹角满足：两平面和垂直的充要条件是；两平面和平行的充要条件是4、空间直线及其方程： 1、空间直线的一般式方程：，其中不成立。2、空间直线的对称式方程：为直线上一点，直线的方向向量，则直线的对称式方程： 3、空间直线的参数式方程： 其中为参数 4、两直线的夹角：空间两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角，设直线和的方向向量分别是 与，其夹角为，则有： 5、直线和平面的夹角：空间直线与平面的夹角就是直线的方向向量与平面的法向量之间的夹角的余角6、过直线的平面束：过直线：的所有平面构成的集

3、合称为以直线为轴的平面束，它的方程为 ，其中为任意实数5、空间曲面： 1、旋转曲面： 平面上的一根曲线绕该平面上的一直线旋转一周所形成的曲面就称为旋转曲面，其中曲线称为母线，直线为轴。平面上的曲线 绕旋转得旋转曲面方程为： 绕旋转得旋转曲面方程为： 2、柱面：在三维空间中，若曲面方程缺少某个坐标量，那么该方程就表示一个柱面： 分别表示母线平行于轴、轴、轴的柱面。 3、常见的二次曲面： 以为球心，以为半径的球面 轴在三根坐标轴上的椭球面 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆抛物面 双曲抛物面或称马鞍面6、空间曲线及其在坐标面上的投影 1、曲线的一般方程：空间中任意曲线都可以理解为两个空间曲面的交线，所以

4、空间曲线的一般方程可以用两个空间曲面方程的联立方程组来表示： 其中和是过曲线的两个曲面的方程。2、空间曲线在坐标面上的投影曲线：设曲线： 从这个方程组中消去一个变量后，得方程，它表示一个母线平行于轴且以为准线的柱面，这柱面就是对于平面的投影柱面，而在平面上的投影就为，类似的，在）平面（或平面）上的投影就首先将曲线方程组消去变量（或）得到投影柱面，（或），然后和坐标面方程联立，就得到投影曲线或典型题解例题1：教材习题详解8-1 1、在平行四边形中，设为对角线交点，试用表示向量和.解：因为，且平行四边形对角线互相平分，所以有= =；=；=， =2、设，试用表示解：=3、用向量的方法证明:一个平面上对角线互相平分的四边形是平行四边形.解：平行四边形的两条对角线交于点，则有4、设是一个正三角形，三角形的边长为3，求向量在向量所在的轴上的投影。解：