同济六版高数练习册答案第八章多元函数微分法及其应用.doc

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1、第八章 多元函数微分法及其应用1极限与连续1 求下列极限：（1）；解：初等函数在其定义域内连续。=（2） （3） （4）=（5）2证明下列极限不存在（1）；解令则，不同的路径极限不同，故极限不存在。（2）.当时当时，不同的路径极限不同，故极限不存在3 用定义证明：.解：由，故对取，当时，故2 偏导数1 求下列函数的偏导数：（1）；（2）解：，（3）（4）解：关于是幂函数故：，关于是幂指函数，将其写成指数函数，故：（5）关于是幂函数故，关于是幂函数故，关于是指数函数。（6）2填空（1）曲线在点处的切线与轴正向所成的倾角为解 法一：由偏导数的几何意义知：函数在点关于的偏导数就为曲线在点处的切线与轴

2、正向所成的倾角（记为）的正切，即：，得，故。解 法二：求曲线在点处的切向量，将曲线参数化为，在的切向量为，故曲线在点处的切向量为，若记它与轴正向所成的倾角为，则，故曲线在点处的切线与轴正向所成的倾角为（2）设，则=法一：，故法二故（3）设，则= .由，有3设用定义证明：在处连续，且偏导数存在.证明（1）用定义证明在处连续：由，故，故在处连续（2）4求下列函数的二阶偏导数：（1），（2）, ,4 验证满足： 证明：，同理可得，故5 设，求，3 全微分1 判断（1）若函数在点可微，则函数在点偏导数存在.（ T ）（2）偏导数存在是可微的充分条件.（ F ）(必要条件)（3）可微必连续.（ T ）（

3、4）连续必可微.（ F ）（5）若函数在一点偏导数存在且连续，则函数在该点一定可微.（ T ）2求下列函数的全微分：（1）；法一：，法二（2）；，（3）.,=3利用微分的形式不变性求函数的偏导数，并求的值.,4讨论函数在点的可微性.分析用定义去证明函数在可微性，（1）首先考察在的可导性，若不可导，则不可微。（2）若可导求出，算出全增量，和偏增量，（3）考察全增量与偏增量之差是否是的高阶无穷小，即极限是否为零。若为零则可微，否则不可微。解：首先考察在的可导性，（无穷小乘有界函数为无穷小）全增量偏增量（无穷小乘有界函数为无穷小）故函数在点的可微。5计算的近似值.解：令，由于函数是初等函数故在可微，

4、即，故：4 多元复合函数的求导法则1 求解下列各题：（1），求；（2），求；注意不要写成（3），求；法一：令则。法二：关于是幂指函数转化为指数函数则法三：取对数得，两边关于求导得，（4），求；（5），求；（6），求.,2求下列函数的二阶偏导数：(需要注意的是复合函数在求导以后仍然是复合函数，求高阶导时仍然要用链式法则)（1），求。，（注意到为（2），求；（注意到分别为）（3），求；（注意到分别为）（若有二阶连续偏导则，则）（4），求，（注意到分别为）3已知， ，求。分析两种方式求导：直接求导，视为复合函数用链式法则求解：，又再由得4设函数满足方程，令，求证：.分析：视为以为中间变量，为最终变量

5、的复合函数。即证明1：(视为中间变量，为最终变量)由得，故，又，得。证明2：(视为中间变量，为最终变量;不妨设此时），5 隐函数的求导公式1 求解下列各题：（1），求；法一：（隐函数法）两边关于求导：得法二：（公式法）令函数，则，故（2），求；法一：（隐函数法）两边关于求导：，得两边关于求导：得法二：（公式法）令函数，则，故，（3），可微，求；法一：（隐函数法）两边关于求导：得法二：（公式法）令函数则， 故。 （4），求.法一：两边关于求导得（1）（2）得（3）（4）（1） 两边关于求导得即：，（5）联立（3）（4）（5）得法二：求得，（1）（注意是以为自变量的函数）求得（2），联立（1）（2

6、）得2若由方程组确定，求.法一：（隐函数法）两边关于求导得：由克莱姆法则得，法二：（公式法）令函数，3 设，求.法一：（隐函数法）两边关于求导得：由克莱姆法则得两边关于求导得由克莱姆法则得法二：（公式法）令函数，4设满足方程，都有一阶连续偏导数.证明： 证明：由方程组确定隐函数。故由得，解得又方程确定，故，则6 设，函数由方程确定，若都可微， 为连续函数，证明： 证明：由得，。方程两边关于求导得，即方程两边关于求导得，即故6 多元函数微分学的几何应用1 求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程：（1）在点；解，在点处，故点处切向量为即，故：切线：，法平面：；（2）在点处；解，在点处，在点处切

7、向量为切线：，法平面：（3）在点处.法一：令，则，故在点处切向量为即切线：，法平面：.法二：令，则， 故曲面在处法向量为即为在处法向量，故故在点处切向量为切线：，法平面：（注：曲线在处的切向量为曲面，在处法向量的向量积）2求曲线上的点，使该点的切线平行于平面.解：在点处曲线的切向量为，又平面的法向量为，故，即，解得。故在及点处的切线平行于平面3证明：螺旋线上任何点处的切线与轴成定角.证明：切向量为，故切线与轴所成角的余弦为故任何点处的切线与轴成定角4求下列曲面在指定点处的切平面方程和法线方程：（1），在处；令则，故在处法向量为，即故切平面：，法线：或（2），在处.令则，故在处法向量为，即故切平

8、面：，法线：.5在曲面上求一点，使该点处的法线垂直于平面解：设满足题意的点为，令，则在点的法向量为，平面的法向量为。点处的法线垂直于平面，只需要点的法向量与平面的法向量平行。这只需，得，又得，故满足题意的点为（-3，-1，3）7 证明曲面上任一点处切平面与各坐标面所围成的四面体体积为定值证明：易知任意一点处的法向量为，则切平面方程为，即（注）所以截距分别为，故四面体体积为，为定值。8 试证曲面上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和为证明：易知任意一点处的法向量为则切平面方程为，即（注）所以截距分别为 截距和7 方向导数与梯1 求下列函数在指定点处沿指定方向的方向导数（1）在处沿从到方向；解：

9、方向，故，又，（2）在点，沿的方向导数；由得，（3）求函数在球面上点沿球面在该点的内法线方向的方向导数.分析：一般来说球面上点法线可以为即，也可以为，但该题要求内法线方向（即法线指向球内），在点内法线方从轴来看就是朝下，故点沿球面在该点的内法线方向为。思考在沿球面在该点的内法线方向为？解点沿球面在该点的内法线，故，2求函数在点处沿方向的方向导数。求的值，使函数在该点的方向导数有： （1）最大值；（2）最小值；（3）等于零.解：，又方向， ，故，故（1）；（2）；（3）3求函数在点的梯度和方向导数的最大值.解：，故。的方向导数的最大值为4求在点处方向导数的最大值.解：，故在点处方向导数的最大值5

10、已知函数由方程所确定，求使grad的点.解由，有，若grad当且仅当6设二元函数都可微，证明：（1）（2）证明：（1）（2）8 极值与最值1 判断题：（1）梯度的方向是函数值变化最快的方向.（）（2）函数在某一点的方向导数的最大值等于函数在该点处的梯度的模.（）（3）函数在驻点处沿轴正向的方向导数等于零.（）（注：函数沿轴正向的方向导数等于右偏导数，函数沿轴负向的方向导数等于左偏导数的相反数）（4）函数在驻点处沿轴负向的方向导数也等于零.（）注：函数沿轴正向的方向导数等于右偏导数，函数沿轴负向的方向导数等于左偏导数的相反数）（5）极值点一定是驻点.（）（极值点可能是不可导点）（6）驻点一定是极

11、值点.（）（例在处）（7）最大值点一定是极大值点.（ ）（极值点是内点，但最值点可能不是内点而是边界点）（8）最小值点一定是极小值点.（ ）2求下列函数的极值：（1）；解：无不可导点；由得驻点。，故，且，所以（-1，1）处有极大值（2）；解：在无不可导点；由得驻点。，故，且，所以（5，2）处有极小值（3）求由方程： 确定的函数的极值解：由得驻点。此时，即。在， ，故，且，故是极大值在， ，故，且，故是极小值。（注：令，由于方程确定的是函数，故，即，故不予考虑）3求下列函数在指定闭区域的最大值与最小值.（1），是以，和为顶点的三角形；解：由得，不是闭区域的驻点。记： （1）在上 ，此时计算易得在

12、上最小值为最大值为（2）在上 ，此时计算易得在上最小值为最大值为（3）在上 ，此时计算易得在上最小值为最大值为故在闭区域上最大值为11，最小值为2；（2）在区域解 由得，在闭区域上由驻点，计算在闭区域的边界上则在边界上最大值为25，最小值21故在闭区域上最大值为25，最小值为94从斜边为的所有直角三角形中，求有最大周长者解：设直角边为，则问题为在约束条件求的最大值。令由是唯一驻点。故时，5将周长为的矩形绕它的一边旋转，问矩形各边为多少时，所得圆柱体体积最大？解：设转轴所在边长为另一边为，则问题为在约束条件即下的最大值。令由是唯一驻点。故当矩形的边长为及时，绕短边旋转所得圆柱体的体积最大6求椭球

13、面第一卦限上的一点，使得此点处的切平面与三坐标面所围成的体积最小解：椭球面在点处法线为，故在点切平面为即（因为）故切平面与三坐标轴的截距为则问题为在约束条件下的最小值。易知在约束条件下的最小值点为在约束条件下的最大值点令得由得，又得唯一驻点，故7求内接于半径为的球的具有最大体积的长方体解：设内接于半径为的球的长方体长宽高分别为，则问题为在约束条件下的最大值。令由故长方体各边长均为时，内接长方体的体积最大9 求直线上的点M0，使M0到点的距离最短解：设所求点为，则问题为在约束条件和求最小值。在约束条件和求最小值点是在约束条件和求最小值点。令由故所求点为10 欲建一个无盖的长方体容器。已知底部造价

14、为每平方米3元，侧面造价为每平方米1元，现用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸解；设长宽高分别为米，则问题为在约束条件求最大值。令由得又得。故所求长，宽，高第八章自测题1填空题 （1）函数在点 （可多选）（A） 连续；（B）偏导数存在；（C）可微； （D）以上答案都不对.对当时不同时不同，故不存在，故不连续故偏导数存在。不连续自然不可微2）设，其中，则（3）设，其中具有二阶连续偏导数，则=.(4)函数在曲线的点处，沿曲线在该点的切线正方向（对应于增大的方向）的方向导数为 .曲线在点的切线正方向，方向导数为（5）设具有连续偏导数，由方程=0所确定.则=两边关于求导得两边关于求导得得2求在条件

15、下的极值.解：令由故极小值2 求曲面上同时垂直于平面与平面的切平面方程解：曲面在处的法向量为，平面与平面的法向量分别为，由切平面方程同时垂直于平面与平面得即， 又得或在点的法向量为此切平面为在点的法向量为此切平面为4证明：曲面上任意点处的切平面在各坐标轴上截距的平方和等于常数.证明：曲面在点处法线为，故在点切平面为即（因为）故切平面在各坐标轴上截距分别为， 5在椭球面上求一点，使函数在该点沿方向的方向导数最大解：故问题为在约束条件求最大值令由得即椭球面在函数在该点沿方向的方向导数最大。6已知三角形的周长为，求出这样的三角形，当绕着自己的一边旋转时，所构成的体积最大？。hx解：设旋转边长为，另外两边为,则三角形面积为则，故旋转时，所构成的体积，问题为在约束条件求最大值令故三边长为，且绕边长为的一边旋转时，有最大体积