学期线性代数期末复习题.doc

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1、2013-2014-2学期线性代数期末复习题第一章一、 填空题1.设是主对角元为1，2，3，的阶三角矩阵，则= . 2. = .3.对于矩阵=，当 时，可逆. . 5将阶方阵的元素全部反号，则新的矩阵的行列式是 . 6对于阶方阵，若=5，则 .7.若是2阶方阵，且=2，则= . . 9. 10. 11 12. 13.中的系数是 . 14. 设阶行列式的值为，将中的元素都变号后得到行列式为,则= . 15. , . 1 .二、计算（1） （2） ;（3） ; （4） ;（5）设 求;（6） ; ;（8）设, , 求及;（9）设, 求 ; （10）;（11） ; (12) ; (13) .三、单项

2、选择题1二阶行列式0的充分必要条件是（）A； B； C且； D或.2设为三阶矩阵，则其伴随矩阵的行列式 =（）A； B； C； D.3设为同阶可逆矩阵，则以下结论正确的是（）A;B;C;D.4设可逆，则下列说法错误的是（）.A存在使;B;C相似于对角阵;D的个列向量线性无关.5矩阵的逆矩阵为（）.A； B； C； D.6设是4阶矩阵，则=（）.A； B； C； D.7设2阶方阵可逆，且，则（）.A； B； C； D.8设，则向量组的秩是（）.A0； B1； C2； D3.四、若为阶方阵，证明及可逆，并求及 .五、 求下列矩阵的逆矩阵: (1)； (2)； （3) .六、设为n阶方阵，满足.（1

3、）证明为可逆矩阵; （2）若，求矩阵.七、解矩阵方程。（1）； （2）；八、设，求.九、计算行列式.（1）； （2） ； （3)； （4）.第二章一、填空题1.的行最简形矩阵为 ；2.在秩为的矩阵中，所有阶子式 ；3齐次线性方程组只有零解，则应满足的条件是 。4. 。 5线性方程组有解的充要条件是 ; 6已知齐次线性方程组有唯一解，则的秩= ;7.设为阶方阵，且与阶单位矩阵等价，则方程组的解的个数为 ;8.已知，均为阶方阵，=1，=2，那么的非零解的个数等于 .二.求下列矩阵的秩.1.； 2.三、单项选择题1设为矩阵，且非齐次线性方程组有唯一解，则必有（）.A; B; C; D.2若方程组存在

4、基础解系，则等于（）.A2; B3; C4; D5.3线性方程组 有解的充分必要条件是=（）.A-1; B-; C; D1;4设为矩阵，则非齐次线性方程组有惟一解的充分必要条件是（）.A；B只有零解；C向量b可由A的列向量组线性表出；D的列向量组线性无关，而增广矩阵的列向量组线性相关.四、求解下列线性方程组. 1.； 2.五、讨论取何值时，下列线性方程组无解？有解？并在有解时求其通解.第三章一、填空题1.已知为3维向量，且线性无关，则向量组的秩为_; 2.设是维向量组,则向量组线性 关;3.若向量组线性无关，则向量组为线性 关; 4若向量组的秩为，则其中任意个向量线性 关;5. ，则当 时线性

5、相关;6. ;7.的一个极大无关组是 ; 8.若向量组可由向量组线性表示，设向量组的秩为，向量组的秩为，则 .9设=（1，2，4），=(-1,-2,y)且与线性相关，则y=_;10设=（1，1，1），=（1，1，0），=（1，0，0），=（1，2，-3），则秩（，）=_。二、单项选择题.1秩是n阶方阵，且的第一行可由其余n-1个行向量线性表示，则下列结论中错误的是（ ）.An-1; B有一个列向量可由其余列向量线性表示;C|=0;D的阶余子式全为零.2设可由=（1，0，0）；=（0，0，1）线性表示，则下列向量中只能是（ ）.A（2，1，1）; B（-3，0，2）;C（1，1，0）; D（0，

6、-1，0）.3设线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）.A; B;C; D .4设齐次线性方程组的基础解系含有一个解向量，当是3阶方阵时，（ ）.A=0;B=1; C=2;D=3;5设与等价，则的秩为（ ）.A0; B1; C2; D3;6下列矩阵中是正交矩阵的是（）.A； B； C； D.7 若是非齐次方程组的解，则（）.A是的解； B是的解;C是的解； D是的解.8设是非齐次方程组的解，是对应的齐次方程组的解，则必有一个解是（）.A； B； C； D.三、设向量组求其一个最大线性无关组.四、讨论取何值时，下列线性方程组无解？有解？并在有解时求其通解.五、若向量线性无关，问的线性相关性，

7、并证明之.六、设是齐次方程组Ax=0的基础解系，证明,也是的基础解系.第四章一、填空题1.已知为正交阵的两个相异的列向量，则内积 ;2.若是阶正交阵，则|T|= ; 3. 若A=相似，则=_;4设矩阵A=与B=相似，则=_; ;6.设和是3阶实对称矩阵的两个不同的特征值，依次是的对应于特征值，的特征向量，则实数 ;7.已知、均为阶方阵，与相似，且方程组仅有一个解，则= ;8.若阶方阵与相似，且则= ; 9.设线性相关，则=_;10设矩阵，则与其相似的对角矩阵是_.;11设是可逆阵的一个特征值，则必有一个特征值是_;二、单项选择题1已知相似于，则=（ ）.A-2;B-1； C0;D2;2设是可逆

8、阵的一个特征值，则必有一个特征值是（ ）.A; B; C;D.3设矩阵A=，则为（）.A对称矩阵； B反对称矩阵； C正交矩阵； D不可逆矩阵.4下列矩阵中不是正交矩阵的是（）.A； B;C； D.5设为n阶方阵，则（）.A的特征值一定都是实数； B必有个线性无关的特征向量;C可能有个线性无关的特征向量； D最多有个互不相同的特征值.6.在中，与向量都正交的单位向量是（）.A（-1，0，1）；B（-1，0，1）；C（1，0，-1）；D（1，0，1）.7若相似于，则=（）.A-1； B0； C1； D2;三、求下列矩阵的特征值与特征向量。(1) (2).四、已知3阶矩阵的特征值为1, 2, 3,

9、 求的特征值.五、设都是阶矩阵, 且可逆, 证明与相似. 六、 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵.(1); (2)。七、设矩阵与相似, 求并求一个正交矩阵，使.八、设3阶方阵的特征值为，对应的特征向量依次为,求.九、设3阶对称矩阵的特征值 ,特征值6对应的特征向量为求十、用矩阵记号表示下列二次型. (1) (2) 十一、求一个正交变换将下列二次型化成标准形:十二、求矩阵=的所有特征值，指出A能否与对角矩阵相似，并说明理由.十三、设矩阵.（1）求矩阵的特征值和特征向量;（2）问A能否对角化？若能，求可逆矩阵及对角矩阵，使.十四、设的特征值是，（1）求;（2）是否相似于对角阵，为什么？