多元函数微分学题解.doc

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1、P56-例1 设求 ， ， ，解 , , P56-例1 设，而，求解：；或 为一元函数，P57-例2 设，而，求，解：P57-例3 设，而，求解：P57-例4 设，而，求解：P57-例5 设，而，求 ，解：， P57-练习1 设函数，则 。 （2011年）解：，故 P58-例6 设，其中有二阶导数，求 ， ，解：令 ，两个自变量，一个中间变量，则P58-练习2 设，其中有二阶导数，求 ， （2006）解：； 同理可求.P58-例7 设，其中有二阶连续偏导数，求 解：， （因为有二阶连续偏导数，所以）P58-练习3 设，其中有二阶连续偏导数，有二阶导数，求 （2000）解: 根据复合函数求偏导公

2、式 ,P58-练习4 设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，函数可导且在处取得极值，求。 （2011年）解：由题意。因为 ，所以 P59-例8 设，其中有二阶连续偏导数，而，求 解：P59-例9 已知满足，且，求解：两边对积分得 ，由 得，所以 ， 上式两边对积分得 ，由 得则有P59-例1 设是由方程确定的隐含数，则 （2009）解：两边对求导得 （1） 再两边对求导得 （2）原式中令可得，代入（1）得，将，代入（2）中即得 P59-例2 设，求，解：两边对求导得 ，整理得两边对求导得 得 （*）（将（*）式代入）另法：用公式 ， 其中P60-练习1 设函数由方程确定，其中为可微函数，且，则

3、（2010，） 填：解：； 则 P60-例3 设，其中可导，求解：两边对求导得 P60-例4 设，其中函数可微分, 而，求解：， 因为 ，则 P60-例5 设，而方程确定了，其中可导,且, 求解：而 ， 将代入， 有 P61-例6 设 求，解：，方程组同对求导，得P61-例7 设 求，解：， 两边同时对求偏导得；同理可得 P61-例1 设，求， （1991，）解：， P61-练习 设函数，则 。 （2011年）解：，故P62-例2 设确定了，求， 解：， 同理 ； P62-例3 设，求解：P62-练习 设，其中具有二阶连续偏导数，求， （2009）解：P62-例4 已知的全微分为，求解：由题设

4、有 （1） ， （2）（1）式两边对积分得，与（2）式比较可得，则 P63-例1 求二元函数的极值 （2009，）解：令， 得惟一驻点， 由于所以，且因此是的极值点，又，所以是的极小值点，极小值为P63-练习 设函数具有二阶连续导数，且，则函数在点处取得极小值的一个充分条件是（A）， （B），（C）， （D）， （2011年）解： ， 在点处，当且时，即，时，在点处取得极小值。 故选 (A)P63-例2 设确定了，求的极值解：分别对，求导得 （*） 解得驻点为 （*）中（1）两边再对，对求导，（2）两边再2对求导，得 在处，则不是极值点. 在处，则是极值点.因为，所以为极大值点，极大值为 P6

5、4-例1 求在条件下的极值解：作 另法：化为无条件极值，为驻点，则为极大值点，极大值为P64-例2 在椭圆上求一点，使其到直线的距离最短解：为椭圆上任一点，则到直线的距离，约束条件考虑在条件下的极值问题作驻点，则事实上可设 等效P64-练习 已知平面曲线 ，其中可微分,且是曲线外一个固定点试证：如果点在曲线上且是到的最近或最远的点，则 解：在上任取一点，则， 约束条件考虑在条件下的极值问题作，则 ， 取极值 为驻点， 故有P65-例3 求点到曲面的最短距离解：设是曲面上的任意一点，则距离的平方为 ，作，则点到曲面的最短距离为P65-例4 试在圆锥面与平面所围成的立体内求出底面平行于面且体积为最

6、大的长方体解：设长方体与锥面在第一封限内的交点为则长方体的体积为，约束条件作 驻点， P65-例5 过椭圆上任一点作切线，试求各切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值解：设为椭圆上任一点，求得切线斜率为 , 则切线方程为 , 令，或 则切线与轴，轴的截距为 ；，三角形面积为 约束条件为 ， 代入有 考虑 在条件下的极值. 作，令 ， 得驻点 ，最小面积（事实上，设 或 均可）P66-例1 求在闭区域：上的最大值和最小值解：1. D的内部， 为驻点，且2. D的边界，此时，则有比较上述函数值知，函数在上的最大值和最小值分别为另法：2. D的边界上，作，得驻点为，P66-例2 求函数在由直线，轴

7、，轴所围成的三角形闭区域上的最大值和最小值解：1.D的内部， 在内部，且2. D的边界，上，上，上，此时，比较上述函数值知，函数在上的最大值和最小值分别为4，注意：1.一元函数微分学的结论不能完全照搬到多元函数微分学中。2.函数有几个自变量就有几个偏导数（只有一个自变量，则为全导数）；有几个中间变量，求每个偏导时就有几项相加，其中每一项都是函数对中间变量求偏导，再乘以中间变量对自变量求导。3.求抽象复合函数的高阶偏导时，要注意一阶偏导数仍为复合函数，对其求偏导数时也必须按复合函数求偏导方法进行。注意：若题设函数具有二阶连续偏导，可交换求二阶偏导的顺序，即 。4.尽管有隐函数的求导公式，但最好不硬记这些公式，只要掌握求偏导的方法即可。一般情况下，一个方程确定一个变量是其余变量的函数，两个方程可以确定两个变量是其余变量的函数。5.在条件极值中，若目标函数较复杂，则可以考虑用其等效函数来替代。多元微分学主要考试题型题型一：考察几个概念之间的关系.题型二：求偏导数 .题型三：求全微分.题型四：已知偏导数或全微分，反求函数.题型五：求二元函数的极值.题型六：用拉格朗日数乘法求实际问题的最值（条件极值）.题型七：求二元函数在有界闭区域上的最值.