平面向量,函数图象,方程曲线专题复习要点.doc

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1、平面向量、函数图象、方程曲线专题复习要点赵春祥 河北省特级教师由于平面向量的坐标表示与代数联系十分紧密，使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介，因而它经常与函数、三角函数、解析几何综合在一起命题，这既考查了平面向量的有关知识，也考查了其它内容，体现了考试大纲中强调的“在知识交汇处命题”的原则函数图象是函数的直观体现，图象中有非常多的信息量，比如定义域、值域、最值、奇偶性、单调性、周期性等图象信息选择题可以全面地考查考生的综合素质和能力，这样的题目解法灵活，是拉开分数档次的一种重要题型，也是近几年高考命题的一个热点以基础层次或中档难度的试题考查函数图象，特别是图象的平移、对称及伸缩

2、变换，通过对图象的识别来考查函数的性质，在每年的高考试题中，以中等难度题型设计新颖的试题考查函数的性态即函数的单调性、奇偶性、周期性和函数图象的对称性等，近几年，以组合形式一题多角度考查函数的图象与性质的高考题正成为新的热点；“曲线”与“方程”是同一对象(即点的轨迹)的两种表现形式，曲线是轨迹的几何形式，方程是轨迹的代数形式它们在表现和研究轨迹的性质时，各有所长几何形式具有直观形象的优点，代数形式具有便于运算的优点，因而具有操作程序化的长处具体解题时最好将二者结合起来，这就是 “数形结合”思想所考查的数学思想方法除数形结合外，函数与方程、等件转化、分类讨论等数学思想；向量法、参数法、消元法、配

3、方法、待定系数法、换元法等数学方法；以及利用韦达定理、判别式、曲线系方程、坐标法等技巧在考卷中都充分得到体现AOBC例1 (2007年全国高考陕西卷理科试题)如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且| = | = 1，| = 若=(，R)，则的值为解一(坐标法1)：由题意，建立以为x轴、为y轴的平面直角坐标系，AOBC| = | = 1，| = ，= (，)，= (0，1)，= (，0)，又=，(，0) =，)，1)，= 6解二(坐标法2)：由题意，建立以为x轴的平面直角坐标系，| = | = 1，| =，= (1，0)，= (，) = (，)，= (，) = (3，)，又=，(

4、3，) =，0)，)，AOBCxy= 6解三(代数法1)：与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，= 0，即() = 0，= 0，= 0，即=又= 3由、解得，= 4，= 2，= 6解四(代数法2)：与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，又| = | = 1，= |=，= |= 0，由=两边平方得：12 =，由=两边平方得：12=，AOBCA B 、联立求得= 4，= 2，= 6解五(几何法)：如左图，过C点作两条直线与直线、平行，分别交、的延长线于、两点，则四边形为平行四边形，且=，=，=由题意知，=，在Rt中，|= 2，|= 4，| = | = 1，=，=，即= 4，= 2或=4，=2 (不合题

5、意，舍去)，= 6评析：解法一和解法二展示的是，通过建立平面直角坐标系，将平面向量的夹角问题转化为平面向量数量积的坐标问题，这也是将形化数的典型实例解法三和解法四告诉我们，两向量的数量积是高考的核心内容，即为高考的一个命题点，填空题、选择题重点考查数量积的概念、运算律等问题，向量的数量积运算常用来解决有关角度、摸长等相关问题在解法五中，通过深入挖掘平面向量的几何意义，化数为形，数形结合，也就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，对题目中的条件和结论既分析其代数含义又挖掘其几何背景，在代数与几何的结合上寻找解题思路例2 (2007年全国高考福建卷理科试题)如图，已知点，PBQMFOAxy直线，

6、为平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为点，且求动点的轨迹的方程；过点的直线交轨迹于两点，交直线于点，已知，求的值；解：由得：， ，即，所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：由已知，得则：过点分别作准线的垂线，垂足分别为，则有：由得：，即例3(2007年全国高考湖南卷理科试题)函数=的图象和函数=的图象的交点个数是( )A4 B3 C2 D1xy321解：在同一个坐标系中，画出y =与y =的简图，由图直观看出两个函数图象的交点由个，故选B评析：函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得解题方法的重要工具，通过借助于图形的直观性，以图助算，就

7、可避免烦琐的计算例4(2007年全国高考卷一理科试题)设a1，函数=在区间a，2a上的最大值与最小值之差为，则a等于( )A B2 1-111xy C D4解：由a1，则=在区间a，2a上单调递增，所以函数的最大值为，最小值为= 1，因此有1=，解得a = 4，故选D评析：在解题时，一定要注意不同的底，对数函数有不同的单调性函数最值是函数的主要内容，它在数学各个分支及实际问题中有着广泛的应用，特别是基本初等函数(二次函数、指数函数、对数函数)的最值问题，多年来一直是常考不衰的热点内容之一解此类考题要以数形结合为切入点，化难为易，让抽象的问题转化得直观明白例5(2007年全国高考北京卷文科试题)

8、如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上求边所在直线的方程；求矩形外接圆的方程；若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程解：因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为，即由解得点的坐标为，因为矩形两条对角线的交点为，所以为矩形外接圆的圆心又从而矩形外接圆的方程为因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，所以，即故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支因为实半轴长，半焦距，所以虚半轴长从而动圆的圆心的轨迹方程为 (x)评析：本题侧重考查求曲线(直线)轨迹的常见方法，此类考题大都属于基本要求的中档题，一般涉及到两个以上知识点，这些仍是今后高考考查的热点