第三节常数项级数的审敛法优秀课件.ppt

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1、第三节常数项级数的审敛法第1页，本讲稿共19页定理定理7（莱布尼兹定理）（莱布尼兹定理）如果交错级数如果交错级数满足条件：满足条件：则交错级数收敛，其和则交错级数收敛，其和余项满足余项满足说明：说明：1.莱布尼兹定理莱布尼兹定理的条件（的条件（1）不是必要条件）不是必要条件（条件（条件（2）是必要的）。）是必要的）。2.定理同时给出了级数的和与余项的估计式。定理同时给出了级数的和与余项的估计式。3.定理应用的关键是条件定理应用的关键是条件1的验证。的验证。第2页，本讲稿共19页定理7（莱布尼兹定理）如果交错级数满足条件：则交错级数收敛，其和余项满足4.检验检验条件（条件（1）常用的方法）常用的

2、方法（1）比值法：）比值法：考察考察是否成立？是否成立？（2）差值法：）差值法：考察考察是否成立？是否成立？（3）导数法：）导数法：找一函数找一函数 f(x),使使 且当且当 x 充分大时，充分大时，是否成立？是否成立？第3页，本讲稿共19页例例1：解解所以级数收敛，其和小于所以级数收敛，其和小于 1，第4页，本讲稿共19页例2：判别下列交错级数的收敛性解解由莱布尼茨判别法，所给交错级数收敛。由莱布尼茨判别法，所给交错级数收敛。第5页，本讲稿共19页例2：判别下列交错级数的收敛性解解 f(x)单调下降单调下降 所以当所以当 n 3 时，必有时，必有 由莱布尼茨判别法，所给交错级数收敛。由莱布尼

3、茨判别法，所给交错级数收敛。第6页，本讲稿共19页例2：判别下列交错级数的收敛性解解这是交错级数，但不满足莱布尼茨条件。这是交错级数，但不满足莱布尼茨条件。将原级数相邻两项加括号将原级数相邻两项加括号发散，发散，性质性质4：若级数收敛，则任意加括号后所得新级数也收敛：若级数收敛，则任意加括号后所得新级数也收敛所以原级数发散所以原级数发散.第7页，本讲稿共19页（二）绝对收敛与条件收敛（二）绝对收敛与条件收敛考虑考虑任意项级数任意项级数一般项取绝对值后所得级数记为一般项取绝对值后所得级数记为（1）若）若收敛，收敛，则称原级数则称原级数绝对收敛绝对收敛（2）若）若发散，发散，而而收敛，收敛，则称原

4、级数则称原级数条件收敛。条件收敛。问题：级数的绝对收敛与收敛之间是什么关系？问题：级数的绝对收敛与收敛之间是什么关系？第8页，本讲稿共19页定理定理8:若级数若级数绝对收敛，绝对收敛，则原级数则原级数即即收敛，收敛，必定收敛。必定收敛。（1）该结论的逆命题不成立。）该结论的逆命题不成立。（2）定理提供了检验一般级数）定理提供了检验一般级数是否收敛的一种是否收敛的一种有效方法。有效方法。（3）若）若发散，发散，不能断定不能断定也发散，也发散，但若是用比值或根值判别法判断但若是用比值或根值判别法判断发散，发散，则可断定原级数则可断定原级数一定发散。一定发散。第9页，本讲稿共19页任意项级数任意项级

5、数收敛性判断的一般步骤：收敛性判断的一般步骤：（1）检验）检验（3）用正项级数审敛法检验）用正项级数审敛法检验是否收敛？是否收敛？则原级数绝对收敛，从而收敛，则原级数绝对收敛，从而收敛，（4）若）若发散，发散，但是用比值或根值法判断的但是用比值或根值法判断的则原级数也发散。则原级数也发散。是否成立？是否成立？若否，则原级数发散若否，则原级数发散若是或若是或难求，则进行下一步；难求，则进行下一步；若是，若是，否则，进行下一步；否则，进行下一步；（2）若原级数为正项级数或交错级数，则可用正项级数）若原级数为正项级数或交错级数，则可用正项级数 或莱布尼茨判别法检验其收敛性，否则进行下一步或莱布尼茨判

6、别法检验其收敛性，否则进行下一步（5）用性质或其它方法。）用性质或其它方法。第10页，本讲稿共19页例1：判别级数 的收敛性。解：记解：记而级数而级数因此原级数因此原级数所以由比较判别法知，级数所以由比较判别法知，级数是是 p=2 的的 p 级数，收敛，级数，收敛，收敛。收敛。绝对收敛，从而收敛。绝对收敛，从而收敛。则则第11页，本讲稿共19页例2：判定级数 的敛散性。解：这里解：这里 x 可正可负，故它是一个任意项级数可正可负，故它是一个任意项级数所以，原级数对一切所以，原级数对一切都绝对收敛都绝对收敛考察正项级数考察正项级数第12页，本讲稿共19页例3：判定级数 的敛散性。解：解：当当|x

7、|1 时，时，从而收敛，从而收敛，考察正项级数考察正项级数发散，发散，且是用比值法判别的，且是用比值法判别的，所以原级数所以原级数发散。发散。第13页，本讲稿共19页例3：判定级数 的敛散性。解：考察正项级数当当 x=1 时，级数为时，级数为调和级数，发散调和级数，发散当当 x=1 时，级数为时，级数为交错级数，且交错级数，且满足莱布尼兹定理条件，故级数收敛，满足莱布尼兹定理条件，故级数收敛，且为条件收敛。且为条件收敛。第14页，本讲稿共19页例3：判定级数 的敛散性。解：考察正项级数当当|x|1，或，或 x=1 时，时，原级数发散。原级数发散。当当 x=1 时，原级数为交错级数，且满足时，原

8、级数为交错级数，且满足莱布尼兹莱布尼兹定理条件，故级数收敛，且为条件收敛。定理条件，故级数收敛，且为条件收敛。结论：结论：第15页，本讲稿共19页解：这是交错级数，但其对应的绝对值级数为解：这是交错级数，但其对应的绝对值级数为 所以所以故原级数绝对收敛。故原级数绝对收敛。收敛，收敛，例4：判定下列级数是否收敛，如果是收敛，是绝对收敛还是条件收敛。第16页，本讲稿共19页解：这是交错级数，但其对应的绝对值级数为解：这是交错级数，但其对应的绝对值级数为 所以所以故原级数发散。故原级数发散。发散，发散，且是用根值判别法判别的，且是用根值判别法判别的，第17页，本讲稿共19页解：这是交错级数，且解：这是交错级数，且 满足满足由由莱布尼兹定理莱布尼兹定理知，原级数是收敛的知，原级数是收敛的发散，发散，故原级数是条件收敛的故原级数是条件收敛的（p=1/2 的的 p 级数）级数）第18页，本讲稿共19页第十一章:第三节作业习题113:1(2,4,6),3 第19页，本讲稿共19页