建筑制图第五章讲义.ppt

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1、第五章第五章 直线与平面及两平面的相对位置直线与平面及两平面的相对位置 51直线与平面、平面与平面的平行直线与平面、平面与平面的平行 52直线与平面、平面与平面的垂直直线与平面、平面与平面的垂直 53直线与平面、平面与平面的相交直线与平面、平面与平面的相交 54换面法换面法一、一、直线与平面平行直线与平面平行 若一直线平行于平面上的某一直线，则该直若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。线与此平面必相互平行。51 51 直线与平面、平面与平面的平行直线与平面、平面与平面的平行直线与一般面平行直线与一般面平行直线与投影面垂直面直线与投影面垂直面(含平行面含平行面)平行平行直线

2、与平面平行直线与平面平行1、直线与一般面平行直线与一般面平行 有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。知直线平行。例例1：过：过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面和平面面和平面ABC。c b a m abcmn唯一解唯一解n xo例题例题2 试判断直线试判断直线AB是否平行于定平面是否平行于定平面 fg f g结论：直线结论：直线ABAB不平行于定平面不平行于定平面2、直线与投影面垂直面平行直线与投影面垂直面平行aba b

3、PHaaa b PH直线直线ABAB与铅垂面平行与铅垂面平行直线直线ABAB与正平面平行与正平面平行二、二、两平面平行两平面平行 若一平面上的若一平面上的两相两相交直线交直线对应平行于另对应平行于另一平面上的一平面上的两相交直两相交直线线，则这两平面相互，则这两平面相互平行。平行。若两若两投影面垂直面投影面垂直面相互平行，则它们相互平行，则它们具具有积聚性有积聚性的那组投影的那组投影必相互平行。必相互平行。c f b d e a abcdefoxof h a bcdefha b c d e x例例3 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。emnmnfefsrsr

4、kk52 52 直线与平面、平面与平面的垂直直线与平面、平面与平面的垂直直线与平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。一、一、直线与平面垂直直线与平面垂直1、直线垂直于一般面直线垂直于一般面直线垂直于一般面，必垂直与该平面内的两条相交直线。直线垂直于一般面，必垂直与该平面内的两条相交直线。在投影图中做一般面垂线的方法：做平面的正平线在投影图中做一般面垂线的方法：做平面的正平线和水平线作为面上的两相交直线，所做垂线与正平线的和水平线作为面上的两相交直线，所做垂线与正平线的垂直关系在垂直关系在V投影反映，垂线与水平线的垂直关系在投影反映，垂线与水平线的垂直关系在H

5、投影反映。投影反映。例题例题1 平面由 BDF给定，试过定点K作平面的垂线。acacnnkk例例2试求点试求点K 到到ABC 的距离的距离 分析分析：求点到平面的距离，求点到平面的距离，需需自该点向平面作垂线，自该点向平面作垂线，并并求求出垂线与平面的出垂线与平面的交交点点(垂足垂足)，然后然后确定确定该点到垂该点到垂足之间线段的足之间线段的实长实长。1）在）在ABC上任上任作一水平线作一水平线BD和和正平线正平线AE；2）自自K 点向点向BD、AE引垂线，引垂线，即即作作klbd，klae，得垂，得垂线线KL；3）过过KL作辅助面作辅助面P，求出垂足求出垂足F；4）用）用直角三角形法直角三角

6、形法求出求出KF 的实长的实长K1f，则，则K1f 即为所求的即为所求的距离。距离。PV定理1 若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。knkn定理2（逆）若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影，则直线必垂直于该平面。2、直线垂直于投影面垂直面直线垂直于投影面垂直面h hh(k)hh h（a）（c）（b）kkk k k QVPHQV 如果一直线垂直于一平面，则通过此直线的所有平面都垂如果一直线垂直于一平面，则通过此直线的所有平面都垂直于该平面（图直

7、于该平面（图a）；）；反之，反之，如果两平面互相垂直，则自第一个平面上的任意一如果两平面互相垂直，则自第一个平面上的任意一点向第二个平面所作的垂线，一定在第一个平面上（图点向第二个平面所作的垂线，一定在第一个平面上（图b）。）。(a)(b)一、一、两平面相互垂直两平面相互垂直例例1试过试过EF直线作一平面垂直于直线作一平面垂直于ABCD平面。平面。解：解：自自EF直线上直线上的任一点的任一点E，向向ABCD平面作垂线平面作垂线EH；则则FEH平面平面垂直于垂直于ABCD平面，平面，即为所求。即为所求。1）自自DEL上任一上任一点，如点，如E 点，点，作直作直线线EF垂直于垂直于ABC；2）在）

8、在EF 上除上除E点外，点外，任取一点，如任取一点，如F 点，点，检查检查F 点是否在点是否在DEL 平面上。平面上。由图可见，由图可见，F 点不在点不在DEL 平面上，故两平面不垂直。平面上，故两平面不垂直。例例2试判断试判断ABC、DEL两平面是否相互垂直。两平面是否相互垂直。例例3 3试过试过A 点作一条直点作一条直线，使其与直线线，使其与直线BC 垂直相垂直相交交。1）过）过A 点作水平线点作水平线ADBC，作正平线，作正平线AEBC；分析：分析：所求直线必在过所求直线必在过A 点点且与直线且与直线BC 垂直的平面内，垂直的平面内，该平面与直线该平面与直线BC 的交点和的交点和A点的连

9、线，即为所求点的连线，即为所求。2）求）求BC直线与平面直线与平面DAE的的交点交点K；3）连接）连接A、K，则，则AK 即为所求。即为所求。PV53 53 直线与平面、平面与平面的相交直线与平面、平面与平面的相交一、一、直线与投影面垂直面相交直线与投影面垂直面相交 直线与投影面垂直面相交时，该面的积聚投影与直线直线与投影面垂直面相交时，该面的积聚投影与直线的同面投影的交点，就是所求交点的同面投影，另一个投的同面投影的交点，就是所求交点的同面投影，另一个投影可用在直线上或平面上取点的方法求出。影可用在直线上或平面上取点的方法求出。主要解决问题：求交点？主要解决问题：求交点？例例1试求直线试求直

10、线AB 与平面与平面P 的交点。的交点。解：解：平面平面P 是是水平面水平面，V 投影投影有积聚性。有积聚性。PVabk，k就是交点就是交点K 的的V 投影。投影。由由k即可求即可求出出k，则点，则点K即即为所求为所求。例例2 求直线求直线MN与平面与平面ABC的交点的交点K并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC 是一正垂面，是一正垂面，其其V 投影积聚成一条直线，投影积聚成一条直线，该直线与该直线与m n 的交点即的交点即为为K点的点的V 投影。投影。1)1)求交点。求交点。2)2)判别可见性。判别可见性。由由V投影可知，投影可知，k m 段在平段在平面上方

11、，故面上方，故H投影上投影上km为可见。为可见。还可通过还可通过重影点重影点判别可见性。判别可见性。作作 图图例例3 3求垂面求垂面P与三棱柱表面的交线。与三棱柱表面的交线。解解:求求P 平面与三棱平面与三棱柱表面的交线，只柱表面的交线，只需要利用积聚性求需要利用积聚性求出三条棱边出三条棱边AA1、AB、AC 和和P 平面平面的交点的交点D、E、F，然后将交点顺次连然后将交点顺次连接即可。接即可。作图步骤：作图步骤：1)1)利用积聚性求直线利用积聚性求直线AA1与与P 平面的交点平面的交点(d,d,d )；二、二、一般线与一般面相交一般线与一般面相交主要解决问题：主要解决问题：1、求交点？、求

12、交点？2、判别直线的可见性？、判别直线的可见性？可采用可采用辅助投影法辅助投影法，先将一般面变换为投影面垂直面，先将一般面变换为投影面垂直面，利用投影面垂直面的积聚投影直接求出交点，然后将这交利用投影面垂直面的积聚投影直接求出交点，然后将这交点反投射到原投影图中，另一个投影可用在直线上或平面点反投射到原投影图中，另一个投影可用在直线上或平面上取点的方法求出。上取点的方法求出。可采用可采用辅助面法辅助面法，先过直线做一投影面的垂直面，利，先过直线做一投影面的垂直面，利用垂直面的积聚性，直接求出交线和交点，然后将这交点用垂直面的积聚性，直接求出交线和交点，然后将这交点反投射到原投影图中，另一个投影

13、可用在直线上或平面上反投射到原投影图中，另一个投影可用在直线上或平面上取点的方法求出。取点的方法求出。例试求直线例试求直线AB与平面与平面EFG的交点的交点 1）过过AB 作铅垂辅助面作铅垂辅助面P ；2）求求P 与与EFG 的的交线交线CD；PH3）求求CD 与与AB 的的交点交点K ，则，则K为直线为直线AB 与平面与平面EFG 的交点；的交点；4）取）取H 投影的重影点投影的重影点1、c（1AB，CEG）分辨分辨H 投影投影的可见性；的可见性；5）取）取V投影的重影点投影的重影点2、3（2GF，3AB），分分辨辨V 投影的可见性投影的可见性。三、三、一般面与投影面垂直面相交一般面与投影面

14、垂直面相交主要解决问题：主要解决问题：1、求交线？、求交线？2、判别可见性？、判别可见性？一般面与投影面垂直面相交时，利用投影面垂直面的一般面与投影面垂直面相交时，利用投影面垂直面的积聚投影与一般面的同面投影的交线，就是所求交线的同积聚投影与一般面的同面投影的交线，就是所求交线的同面投影，另一个投影可用在直线上或平面上取点的方法求面投影，另一个投影可用在直线上或平面上取点的方法求出。出。nlmmlnbaccabfkfkMmnlPBCacbPHAFKNLkf判断平面的可见性可通过正面投影直可通过正面投影直观地进行判别。观地进行判别。abcdefc f d b e a m(n)空间及投影分析空间及

15、投影分析 平面平面ABC与与DEF都为都为正正垂面垂面，它们的正面投影都积，它们的正面投影都积聚成直线。聚成直线。交线必为一条正交线必为一条正垂线垂线，交线的正面投影可直交线的正面投影可直接求出。接求出。求交线求交线 判别可见性判别可见性作作 图图 从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交线左侧，平面在交线左侧，平面ABC在上，在上，其水平投影可见。其水平投影可见。nm能否不用重能否不用重影点判别？影点判别？能能!如何判别？如何判别？三、三、两投影面垂直面相交两投影面垂直面相交三、三、两一般面相交两一般面相交 1)辅助面辅助面三面共点三面共点从原理上讲，从原理上讲，辅辅助面助面可以是平面，

16、也可以是曲面，但采可以是平面，也可以是曲面，但采用平面较为简便。平面的位置可以任选，用平面较为简便。平面的位置可以任选，但但采用特殊位置平面作图较简便。采用特殊位置平面作图较简便。2)辅助面辅助面线面交点法线面交点法求交线与辅助面求交线与辅助面三面共点法求交线，虽然出发点有些差三面共点法求交线，虽然出发点有些差异，但从本质上看它们是一致的。异，但从本质上看它们是一致的。用辅助面用辅助面三面共点法三面共点法求交线求交线 在两平面之外任作在两平面之外任作一辅助面一辅助面R，RP12，RQ34，1234K，则，则交点交点K是是P、Q、R的三面共点的三面共点，它，它一定是一定是P、Q两平面交线上的点。

17、两平面交线上的点。类似地类似地，再作第二，再作第二个辅助面，又能求出一个辅助面，又能求出一个三面共点个三面共点L，连接连接K、L，直线直线KL 即即P、Q 两两平面的平面的交线交线。用辅助面用辅助面线面交点法线面交点法求交线求交线 如图如图1 1所示，两个三角形都是一般位置平面，其交线方所示，两个三角形都是一般位置平面，其交线方向也未知，故求交线向也未知，故求交线可用辅助面求两个公共点可用辅助面求两个公共点 123作图步骤如图作图步骤如图2 2、3 3所示所示 2.2.2 用辅助投影用辅助投影法法求交线求交线 abcedfb a c d e f PHPH12563 4781 2 5 6 3 4

18、 7 8 53 53 换面法换面法新投影面的选择新投影面的选择应符合下列两个条件：应符合下列两个条件：1)新投影面必须新投影面必须垂直垂直一个原有的投影面。一个原有的投影面。2)新投影面对空间几新投影面对空间几何元素应何元素应处于有利于处于有利于解题的位置。解题的位置。一、一、概述概述1、两平行的管道之间的距离问题；两平行的管道之间的距离问题；2、电线的铺设长度计算；、电线的铺设长度计算；3、点到直线的距离、面到面的距离等问题。、点到直线的距离、面到面的距离等问题。通过变换一次投影面可以解决以下问题：通过变换一次投影面可以解决以下问题：1、把一般线变为新投影面的平行线：解决求线段的实长、把一般

19、线变为新投影面的平行线：解决求线段的实长和对另一投影面的倾角问题。和对另一投影面的倾角问题。2、把投影面平行线变为新投影面的垂直线：这时，它的、把投影面平行线变为新投影面的垂直线：这时，它的新投影具有积聚性。可解决点到投影面平行线的距离，和新投影具有积聚性。可解决点到投影面平行线的距离，和两根平行的投影面平行线的距离等问题。两根平行的投影面平行线的距离等问题。3、把一般面变为新投影面的垂直面：解决平面对投影面、把一般面变为新投影面的垂直面：解决平面对投影面的倾角、一点到一平面的距离、两平行平面间的距离、直的倾角、一点到一平面的距离、两平行平面间的距离、直线与一般面的交点和两平面交线等问题。线与

20、一般面的交点和两平面交线等问题。4、把投影面垂直面变为新投影面的平行面：解决求投影、把投影面垂直面变为新投影面的平行面：解决求投影垂直面的实形问题。垂直面的实形问题。例：求直线例：求直线AB实长及实长及其对其对H面的倾角面的倾角aXOX1O1aa1HV1VHabbb1反映反映AB的实长的实长a要点要点确定新轴位置确定新轴位置方法：方法：1、根据空间关系确、根据空间关系确定新轴位置定新轴位置2、根据投影特点确、根据投影特点确定新轴位置定新轴位置一般位置线变换为平行线新轴与直新轴与直线的水平线的水平投影平行投影平行XOX1O1aa1HV1abb(b1)平行线变换为垂直线平行线变换为垂直线例：将水平

21、线例：将水平线AB变换变换为投影面的垂直线。为投影面的垂直线。VH新轴与水平新轴与水平线的水平投线的水平投影垂直影垂直XOX1O1aa1HV1VHabb(b1)c1cc例：将一般位置平面例：将一般位置平面ABC变变换为投影面的垂直面，并求换为投影面的垂直面，并求其水平倾角。其水平倾角。一般位置面变换为垂直面一般位置面变换为垂直面解题步骤：解题步骤：1.1.找平面内的平行线找平面内的平行线;2.2.建新轴建新轴V V1 1/H/H垂直于垂直于ababABAB变成正垂线变成正垂线;3.3.平面变成垂直面平面变成垂直面,有有积聚性积聚性,反映夹角。反映夹角。垂直于平面垂直于平面内的水平线内的水平线例

22、例:求铅垂面求铅垂面ABC的实形。的实形。XOaa1VHabbc1cc要点：要点：投影轴平行于平面投影轴平行于平面积聚的投影线积聚的投影线X1O1HV1b1垂直面变换为平行面垂直面变换为平行面换面法的应用例：求点M到平面ABC的距离MNXOaX1O1HV1VHbbb1c1cca1mmm1nnan1注：注：求距离实长投影求距离实长投影距离的实长距离的实长XOaX1O1HV1VHbbb1c1cca1mmm1a注：注：把已知投影的投影面把已知投影的投影面作为不变投影面作为不变投影面换面法的应用例：已知点M到平面ABC的距离为30，求m。30点到直线点到直线距离的实长距离的实长距离问题距离问题例：求点例：求点A到直线到直线CD的距离。的距离。解题要点：解题要点：一、作垂直一、作垂直二、求交点二、求交点三、找实长三、找实长aadeedkkak例例1:试求平面试求平面ABC的实形和的实形和角角 必须经过必须经过两次换面两次换面，先先将它变换为新投影体系将它变换为新投影体系中的投影面中的投影面垂直面垂直面，再再将将它变换为另一投影体系中它变换为另一投影体系中的投影面的投影面平行面。平行面。换面顺序换面顺序/12/1