多元微分学在几何中的应用.ppt

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1、一一.空间曲线的切线空间曲线的切线多元微分学在几何中的应用多元微分学在几何中的应用二二.空间曲线的法平面空间曲线的法平面三三.空间曲面的切平面与法线空间曲面的切平面与法线 曲线的切线、法平面曲线的切线、法平面 曲面的切平面、法线曲面的切平面、法线本节关键概念和理论本节关键概念和理论本节关键概念和理论本节关键概念和理论一一.空间曲线的切线空间曲线的切线曲线视为两个曲面的交线，其方程为：曲线视为两个曲面的交线，其方程为：通常假设通常假设在实际应用中在实际应用中,常采用参数方程表示曲线：常采用参数方程表示曲线：R3 中曲线的表示中曲线的表示若以若以 x 为参数，则曲线方程为：为参数，则曲线方程为：设

2、曲线设曲线 L 的参数方程为的参数方程为.其中，其中，割线割线 PQ 的方程为的方程为.设曲线设曲线 L 的参数方程为的参数方程为其中，其中，曲线曲线 L 在点在点P 处的切线方程为处的切线方程为.设曲线设曲线 L 的参数方程为的参数方程为其中，其中，此处为零，则曲线在点此处为零，则曲线在点P 处无切线。处无切线。奇点设曲线设曲线 L 的参数方程为的参数方程为其中，其中，.曲线曲线 L 在点在点P 处的切线方程为处的切线方程为例求圆柱螺旋线求圆柱螺旋线在任意一点处的切线及在在任意一点处的切线及在 t=0 处的切线处的切线.螺旋线上任意一点螺旋线上任意一点处的处的切线方程为切线方程为在在 t0=

3、0 时时,切线方程为切线方程为 例解解求圆柱螺旋线求圆柱螺旋线在任意一点处的切线及在在任意一点处的切线及在 t=0 处的切线处的切线.螺旋线上任意一点螺旋线上任意一点处的处的切线方程为切线方程为在在 t0=0 时时,切线方程为切线方程为 例 是直线方向向量的分量是直线方向向量的分量解解在点在点处，切线的方向余弦中有处，切线的方向余弦中有这说明在螺旋线上每一点处的切线与这说明在螺旋线上每一点处的切线与 z 轴正向的夹角轴正向的夹角均相同，故展开后螺旋线为直线均相同，故展开后螺旋线为直线.（常数）（常数）例 例解解设曲线的一般方程为设曲线的一般方程为设曲线设曲线满足条件：满足条件：则则则曲线在点则

4、曲线在点处的切线方程为处的切线方程为设曲线的一般方程为设曲线的一般方程为设曲线设曲线满足条件：满足条件：例求两个圆柱面求两个圆柱面的交线在点的交线在点处的切线方程处的切线方程.令令则则解解代入切线方程代入切线方程中中,得所求切线方程为得所求切线方程为切线方程切线方程曲曲线线方方程程切切线线的的方方向向向向量量小结 过曲线 L 上点P，且垂直于曲线在该点的切线 PT 的平面称为曲线在点 P 的法平面。切线PT切点.二二.空间曲线的法平面空间曲线的法平面 在曲线 L 上点P 处，切线 PT 的方向向量就是相应的法平面的法向量，故上述三种曲线方程在点P 处对应的法平面方程分别为 在曲线 L 上点P

5、处，切线 PT 的方向向量就是相应的法平面的法向量，故上述三种曲线方程在点P 处对应的法平面方程分别为 在曲线 L 上点P 处，切线 PT 的方向向量就是相应的法平面的法向量，故上述三种曲线方程在点P 处对应的法平面方程分别为 例例求曲线在点处的切线方程和法平面方程.例例例 例例解解故 所求切线方程和法平面方程分别为 例例解解故 所求切线方程和法平面方程分别为例求曲线在点处的切线方程和法平面方程.令则6，11421122=-=Pyx 例例解解故所求的切线方程为法平面方程为三三.空间曲面的切平面与法线空间曲面的切平面与法线 一个钢球放在一块平整光滑的钢板上平面球面 相切设曲面的方程为任取一条过点

6、 P 的曲线 L，设其方程为此时有设对应于点则上式在 t0处的全导数,在曲面上 向量的数量积记则由上面的全导数可知:即 这说明曲面上任一条过点 P 的曲线在点 P 处的切线与向量 垂直,因此这些切线位于同一平面上,该平面即曲面在点 P 处的切平面.即是切平面的法向量.若过空间曲面 上点 M(x,y,z)处的平面.上，则称该平面为曲面 在点M 处的切处的切线均存在，且都位于同一个平面任意一条完全位于曲面上的曲线在点 M曲面的切平面的概念曲面的切平面的概念设 R3 中曲面的方程为不全为零,(2)函数在点处的各一阶偏导数切平面存在定理切平面存在定理处(1)函数在点可微,在点在，其方程为有切平面存则曲

7、面 若过空间曲面 上点 M(x,y,z)且与曲面在点 M 处的切平面垂直的直线,称为曲面 在点 M 处的法线。切平面的法向量可作为法线的方向向量曲面的法线的概念曲面的法线的概念设 R3 中曲面的方程为则曲面在点的法线方程为定理不全为零,(2)函数在点处的各一阶偏导数处(1)函数在点可微,例 例求椭球面在点处的切平面和法线方程.解解令则切平面方程即法线方程例 例求在点处的切平面和法线方程.解解令则切平面方程：法线方程：令则曲面方程为时，例 例证明：曲面上，任意一点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a.证证令,则故曲面上任意一点处的切平面的法向量可取为 例于是，切平面方程为由于点在曲面上，故切平面方程可化为证明：曲面上，任意一点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a.例 这是平 面截距式方程从而，切平面在各坐标轴上的截距之和为截距证明：曲面上，任意一点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a.参数方程形式下曲面的 切平面与法线方程设曲面由参数方程给出：对应于曲面上的点设曲面由参数方程给出：在点可微,则曲面在点处切平面的法向量为结论结论例求球面在对应于处的切平面方程和法线方程.解解故 例切平面方程:即法线方程:四四.二元函数全微分的几何意义二元函数全微分的几何意义 练解解