恒定电流的电场和磁场.ppt
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1、第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.1 3.1 恒定电流的电场恒定电流的电场 3.2 3.2 磁感应强度磁感应强度 3.3 3.3 恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程 3.4 3.4 矢量磁位矢量磁位 3.5 3.5 磁偶极子磁偶极子 3.6 3.6 磁介质中的场方程磁介质中的场方程 3.7 3.7 恒定磁场的边界条件恒定磁场的边界条件 3.8 3.8 标量磁位标量磁位 3.9 3.9 互感和自感互感和自感 3.10 3.10 磁场能量磁场能量 3.11 3.11 磁场力磁场力 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场
2、恒定电流的电场和磁场 基本方程E 的旋度边值问题边界条件电 位一般解法电导与接地电阻特殊解(静电比拟)恒定电流的电场知识结构基本物理量 J、E欧姆定律J 的散度第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 磁矢位(A)边值问题解析法数值法有限差分法有限元法分离变量法镜像法电感的计算磁场能量及力磁路及其计算基本实验定律(安培力定律)磁感应强度(B)(毕奥-萨伐尔定律)H 的旋度基本方程B 的散度分界面边界条件磁位()恒定磁场知识结构第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.1 3.1 恒定电流的电场恒定电流的电场3.1.1 3.1.1 电流密度电流密度 I I、电流的
3、定义电流的定义:单位时间内通过某一横截面的电量。:单位时间内通过某一横截面的电量。三种电流:三种电流:传导电流传导电流是导体中的自由电子(或空穴)或者是电解液是导体中的自由电子(或空穴)或者是电解液 中的离子运动形成的电流。中的离子运动形成的电流。运流电流运流电流是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中 运动形成的电流。运动形成的电流。位移电流位移电流随时间变化的电场产生的假想电流。随时间变化的电场产生的假想电流。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 II、电电流流密密度度的的定定义义:与与正正电电荷荷运运动动方方向向相相垂垂直直的的单
4、单位面积上的电流强度。位面积上的电流强度。任意面积任意面积S上的电流强度上的电流强度I:(A/m2)IdIdS 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 III、面电流密度面电流密度:面电流密度面电流密度 n注:注:是垂直于是垂直于d dl l,且通过,且通过 d dl l与曲面相切的单位矢量。与曲面相切的单位矢量。任意线任意线 上的电流强度上的电流强度I:第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 ndIvvdtds设电荷体密度为设电荷体密度为,运动速度为,运动速度为v,则:,则:IV、的另一表达式:的另一表达式:第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁
5、场 3.1.2 电荷守恒定律电荷守恒定律 1、电荷守恒定律、电荷守恒定律:单位时间净流出封闭面的电量等于单位时单位时间净流出封闭面的电量等于单位时间内封闭面内减少的电量。间内封闭面内减少的电量。(注:指电荷量的代数和守恒)(注:指电荷量的代数和守恒)要使这个积分对任意的体积要使这个积分对任意的体积V均均成立,必须使被积函数为零。成立,必须使被积函数为零。散散度度定定律律-电流的电流的“连连续性方程续性方程”积分积分形式形式第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场(电流的(电流的“连续性方程连续性方程”微分式)微分式)意义:空间中某点电流密度的散度,等于这点电荷密度的减小率。意义:
6、空间中某点电流密度的散度,等于这点电荷密度的减小率。2、恒定电流场的电流连续性方程:、恒定电流场的电流连续性方程:恒定电流场的电流不随时间变化:恒定电流场的电流不随时间变化:所以:所以:(微分式)(微分式)(积分式)(积分式)(电流的(电流的“连续性方程连续性方程”积分式)积分式)第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.1.3 3.1.3 欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式 对于线性各向同性的导体,任意一点的电流密度与该点的对于线性各向同性的导体,任意一点的电流密度与该点的电场强度成正比电场强度成正比式中式中 称为称为电导率电导率,其单位为,其单位为 S/mS/m 。值愈
7、大表明导电值愈大表明导电能力愈强,即使在微弱的电场作用下,也可形成很强的电流。能力愈强,即使在微弱的电场作用下,也可形成很强的电流。电导率为无限大的导体称为电导率为无限大的导体称为理想导电体理想导电体。上式又称为欧姆定律上式又称为欧姆定律 的微分形式。的微分形式。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 注意:欧姆定律并不像高斯那样是电磁学的普遍定律,运流注意:欧姆定律并不像高斯那样是电磁学的普遍定律,运流电流就不遵从欧姆定律电流就不遵从欧姆定律材材 料料 电导率电导率/(S/m)铁铁(99.98%)107 黄铜黄铜 1.46107 铝铝 3.54107 金金 3.10107 铅
8、铅 4.55107 铜铜 5.80107 银银 6.20107 硅硅 1.5610-3 常用材料的电导率常用材料的电导率 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 电源电源 E导电媒质PNE E开路情况下开路情况下非静电力非静电力:化学力、洛仑兹力一切非静电引起的力的总称:化学力、洛仑兹力一切非静电引起的力的总称电源电动势是电源本身的特征量,与外电路无关。在电源外部加导电媒质在电源外部加导电媒质第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 对闭合环路积分保守场=0电动势第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.1.4 3.1.4 焦耳定律焦耳定律 在导
9、体中,沿电流线方向取一长度为l、截面为S的体积元,该体积元内消耗的功率由公式 P=UI 得:J 与 E 之关系其极限值:或:(焦耳定律的微分式)注:焦耳定律不适应于运流电流。导体内任一点的热功率密度第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.1.5 3.1.5 恒定电流场的基本方程恒定电流场的基本方程 结论:恒定电场是无源无旋场。积分形式微分形式构成方程由以上结论可引入位函数:均匀导体内部(为常数),有:第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.1.6 3.1.6 恒定电流场的边界条件恒定电流场的边界条件 说明:分界面上说明:分界面上 J J 的法向分量连续。
10、的法向分量连续。由所以有:即:12J1J2得即或第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 说明:分界面上 E的切向分量连续。导体分界面上的电荷密度为:所以有:由得即式中,Jn=J1n=J2n,当 时,分界面上的面电荷密度为零。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场(折射定律)由得若1,则20结论:在理想导体表面上,和 E近似的都垂直于分界面。区别第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 例例 3-1 设同轴线的内导体半径为a,外导体的内半径为b,内、外导体间填充电导率为的导电媒质,如图 3-5 所示,求同轴线单位长度的漏电电导。同轴线横截面 第三章第
11、三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 电场强度为两导体间的电位差为这样,可求得单位长度的漏电电导为解:解:第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 例例 3-2 一个同心球电容器的内、外半径为a、b,其间媒质的电导率为,求该电容器的漏电电导。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 内、外导体间的电压为 思路与上前例相同:思路与上前例相同:解:解:漏电电导为 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 也可以通过计算媒质内的焦耳损耗功率,并由P=I2R求出漏电电阻R:当 时第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 基本方程E 的旋
12、度边值问题边界条件电 位一般解法电导与接地电阻特殊解(静电比拟)恒定电流的电场知识结构基本物理量 J、E欧姆定律J 的散度第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.1.7 恒定电流场与静电场的比拟恒定电流场与静电场的比拟 恒定电场与静电场的比较恒定电场与静电场的比较 对应对应关系:关系:第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 当恒定电场与静电场各物理量满足相同的定解问题时,解也相同。那么,通过对一个场的求解或实验研究,利用对应量关系便可得到另一个场的解,此方法常称为比拟法。两种场可以比拟的条件:微分方程相同;场域几何形状及边界条件相同;媒质分界面满足第三章第三
13、章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 例:将金属极板置于无限大电介质(、)中。其电容为:其电导为:平行双线电容为:平行双线电导为:第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 例例 3-3 计算深埋地下半径为a的导体球的接地电阻(如图所示)。设土壤的电导率为0。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 解解1:利用比拟法求解,导体球的电导率一般总是远大于土壤的电导率,可将导体球看作等位体。用静电比拟法,位于电介质中的半径为a的导体球的电容为 所以导体球的接地电导为 接地电阻为 对应关系:对应关系:第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 解2,应用
14、恒定电流场求解,由于是深埋地下,所以可以不考虑地面的影响,认为电流是球对称的,设半径为r(a)的球面流出的总电流为I,则欧姆定律的微分形式第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 作业v32、33、35、36第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.2 3.2 磁磁 感感 应应 强强 度度 导体中通有直流电流时,在导体内部和它周围的媒质中,不仅有电场还有不随时间变化的磁场,称为恒定磁场。恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场,但在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时,注意类比法的应用。磁力是通过磁场传递的。磁场对处于其中的运动电荷(电流)或磁体会产生力的作用。
15、第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 基本要求 深刻理解磁感应强度、磁通、磁化、磁场强度的概念。掌握恒定磁场的基本方程和分界面边界条件。了解磁位及其边值问题。熟练掌握磁场、电感、能量与力的各种计算方法。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 电流元电流元 面电流元:体电流元电流元(线电流元):在线电流情况下,电流 与线元 的乘积 ,称为电流元。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 一、安培定律一、安培定律1、两个电流元间的相互作用力安培定律的微分形式安培定律描述了真空中两个电流回路间相互作用力的规律。I I1dl1对I I2dl2的作用力为:
16、式中:第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 2、两个电流环间的相互作用力在回路C1、C2上分别对上式积分得:安培定律的积分形式第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 二、毕奥二、毕奥萨伐尔定律萨伐尔定律(Biot-Savart Law)电场力力=受力电荷 电场强度力=受力电流 磁感应强度磁场力定义:磁感应强度单位 T(Wb/m2)第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 毕奥沙伐定律 适用于无限大均匀媒质体分布的电流J的磁场:面分布的电流Js的磁场:第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 三、恒定磁场对运动电荷的作用力三、恒定磁场
17、对运动电荷的作用力v磁场对运动电荷的作用力包括两个方面的内容:磁场对电流(闭合线电流、面电流、体电流)的作用力安培力磁场对以速度 运动着的空间电荷q的作用力洛伦兹力 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 线电流元在外磁场中受力:安培力安培力面电流元在外磁场中受力:体电流元在外磁场中受力:第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 称为洛仑兹力公式。以速度v运动的点电荷q,其在外磁场B中受的力:如果空间还存在外电场 ,则电荷q受到的力还要加上电场力:洛伦兹力洛伦兹力把以速度 运动着的电荷q看成是组成体电流的全部第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场
18、例:求通过电流I的细圆环(半径为a)在轴线上的磁场。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.3 3.3 恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程 3.3.1 3.3.1 磁通连续性原理(恒定磁场的散度)磁通连续性原理(恒定磁场的散度)1、磁通量:指磁感应强度在有向曲面上的通量。简称磁通。如S是一个闭曲面,则 单位:Wb第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 2、磁通连续性原理:由对场点有:所以:P第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 由矢量恒定式 得:由梯度场重要性质 可得:(积分式)使用散度定理得:(微分式)第三章第三章 恒定电流的电场和磁场
19、恒定电流的电场和磁场 关于恒定磁场散度的讨论:恒定磁场的散度处处为零,说明恒定磁场是无源场,不存在磁力线的扩散源和汇集源。由磁通的连续性定律可知:磁力线是连续的。恒定磁场的散度恒为零,联系旋度场的重要性质:可推知:磁感应强度矢量B可用一矢量函数的旋度来表示。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.2.2 安培环路定律(恒定磁场的旋度)安培环路定律(恒定磁场的旋度)以下内容为研究在C产生的恒定磁场中沿闭合曲线C上的B B 的环量:沿积分路径C向左移动dl相当于C向右移动-dlPPP第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场(C和C相交链)(C和C不交链)穿过积分回
20、路C的电流是几个电流时:积分式第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 由于 所以因积分区域S是任意的,因而有(微分式)根据斯托克斯定理,可以导出安培环路定律的微分形式:第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 对恒定磁场旋度的讨论:恒定磁场是有旋场,电流为磁场的旋涡源。安培环路定律中,电流为回路C所围电流的代数和。CCC和C相交链I 空间任意点磁场的旋度只与该点电流密度有关第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 真空中,恒定磁场所满足的基本方程微分形式积分形式小结:无源场,磁力线无头无尾且不相交。有旋场,电流是磁场的旋涡源,磁力线构成闭合回路。第三
21、章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 一对反向电流传输线一对同向电流传输线两对反相电流传输线两对反向电流传输线第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 例例3-5 半径为a的无限长直导线,载有电流I,计算导体内、外的磁感应强度。解解:沿磁感应线取半径为 r 的积分路径C,依安培环路定律得arz 当ra时,积分回路包围的电流为I;第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 当ra时,包围电流为Ir2/a2。所以当ra时,写成矢量形式为 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 作业v3-9第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场
22、 3.4 3.4 矢矢 量量 磁磁 位位 A A称为恒定磁场的矢量磁位。一、一、矢矢 量量 磁磁 位的引入位的引入 引入矢量磁位的意义引入矢量磁位的意义:引入辅助函数,可通过间接求解方法求解空间磁场分布,简化电磁问题。静电场(体电荷分布)静磁场(体电流分布)第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 面电流的磁矢量位:体电流的磁矢量位:线电流的磁矢量位:上面的公式中,均假定电流分布在有限区域,磁矢位的零点取在无穷远处。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 在恒定磁场中,一般采取库仑规范库仑规范库仑规范库仑规范条件,即令:注意:规范条件是人为引入的限定条件。三、矢量
23、磁位的解三、矢量磁位的解使用矢量恒等式(磁矢位的泊松方程)二、二、库仑规范库仑规范第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 对无源区(J=0),磁矢位满足矢量拉普拉斯方程,即:将磁矢位的泊松方程展开设在直角坐标系中,有这样可得各分量方程第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 磁通的计算也可以通过磁矢位表示:对矢量磁位的说明:矢量磁位A A的方向与电流J的方向相同。引入矢量磁位可以大大简化磁场的计算。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 例例 3 11用磁矢位重新计算载流直导线的磁场。解:解:
24、r a ra 从电流分布可以知道磁矢位仅仅有z分量,而且它只是坐标r的函数,即 设在导线内磁位是A1,导线外磁位是A2,第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 ra时,考虑到磁位只是 r 的函数,以上两个偏微分方程就化为常微分方程。对其积分可以得出ra时,第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 其中C1、C2、C3、C4是待定常数,由于r=0处磁矢位不应是无穷大,所以可以定出C1 0。其余三个常数暂时不考虑,将磁矢位代入公式第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 可以求出导线内、外的磁场分别为 导体外部的磁感应强度为 第三章第三章 恒定电流的电场
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