工程电磁场数值分析有限元法.ppt
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1、工程电磁场数值分析(有限元法)华中科技大学电机与控制工程系陈德智第4章 电磁场有限元法(Finite Element Method,FEM)有限元法可以基于变分原理导出,也可以基于加权余量法导出,本章以加权余量法作为有限元法的基础,以静电场问题的求解为例介绍有限元法的基本原理与实施步骤。并介绍有限元法中的一些特殊问题。第4章 电磁场有限元法(FEM)1.有限元的基本原理与实施步骤2.有限元方程组的求解3.前处理与后处理技术4.渐近边界条件5.矢量有限元法6.求解运动导体涡流问题的迎风有限元法 在有限元法中,基函数一般用 表示。采用Galerkin方案,取权函数与基函数相同。使与余量正交化:加权
2、余量法回顾:对算子方程用 作为该方程的近似解(试探解):代入方程得余量:1.有限元法的基本原理与实施步骤设L为线性算子,代入 ,得或记得代数方程组:加权余量法回顾(续)场域离散以二维静电场泊松方程的求解为例。二维问题常使用三角形单元离散,便于处理复杂的场域形状,容易实现。单元:互不重叠,覆盖全部场域;每个单元内介质是 单一、均匀的。节点:网格的交点,待求变量的设置点。需要记录信息:节点编号、节点坐标节点属性(激励源、是否边界等)单元编号单元节点编号单元介质目标:建立节点变量之间满足的代数方程组,即确定系数Kij 和bi。依据的原理是加权余量法使用的基函数为分域基。基函数 有限元采用分片逼近的思
3、想,跟使用折线逼近一条任意曲线的做法相同。使用分域基Ni,基函数的个数等于节点的个数;每个基函数Ni的作用区域是与该节点i相关联的所有单元。在积分 中,对于确定的 i,j的有效取值为i本身以及与节点i相联的周围节点,积分的有效区域为以i、j为公共节点的所有三角形单元,在这些单元中Ni、Nj才有交叠。这些积分可以分单元进行。例如对右图所示的局部编码,K01、K00以及b0的计算公式为:以下把单元e的贡献记为这样,就有 每个 或 的计算都在具体的单元内单独考虑(称为单元分析)。三角形单元内的基函数设三角形三个顶点处待求函数值分别为u1,u2,u3。如果单元足够小,可以采用线性近似,将单元内任意p点
4、的u(x,y)表示为 代入三个顶点的坐标和函数值,可以解出a、b、c。得到 单元节点的编号按逆时针方向排列!其中,记住我们的任务寻找基函数对比可得基函数Ni常被称为插值函数或者形状函数,具有以下性质:(1)是插值的;(2)(3)在相邻单元的公共边界上,Ni是连续的,从而通过Ni构造的逼近函数也是连续的。单元分析:计算单元内积分对系数阵和右端项元素的贡献。系数阵元素:当L为拉普拉斯算子时,由于Ni在单元内是(x,y)的线性函数,经Laplace算子作用后值为0。但是,在相邻单元的边界上,Ni是连续但是不光滑的,因此对积分的贡献主要来自边界。为考虑单元边界的影响,需要借助于格林公式:故 ,格林公式
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