多元函数的极值问题.ppt

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1、第八节：多元函数的极值第八节：多元函数的极值多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值条件极值条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法练习题练习题一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值播放播放1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义设函数设函数f(x,y)在点在点P0(x0,y0)的某邻域的某邻域U(p0)内有定义内有定义（1）若对于该邻域内任意一点）若对于该邻域内任意一点P(x,y)都有都有：f(x,y)f(x0,y0)P0(x0,y0)称为函数称为函数f(x,y)的极小值点的极小值点,，f(x0,y0)称为极小值称为极小值（2）若对于该邻域内任意一点）若对于该邻域内任意一点P(

2、x,y)都有都有：f(x,y)f(x0,y0)P0(x0,y0)称为函数称为函数f(x,y)的极大值点，的极大值点，f(x0,y0)称为极大值称为极大值2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件证证定理定理1（必要条件）设函数（必要条件）设函数f(x,y)在点在点P0(x0,y0)具有偏导数具有偏导数.则：点则：点P0(x0,y0)为极值点为极值点仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，称为多元函数的点，称为多元函数的驻点驻点.驻点驻点极值点极值点由上述定理由上述定理问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？

3、推广：设函数推广：设函数f(x,y,z)在点在点P0(x0,y0,z0)具有偏导数具有偏导数.则：点则：点P0(x0,y0,z0)为极值点为极值点解解求最值的一般方法求最值的一般方法：将函数在将函数在D D内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在D D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值.3 3、多元函数的最值、多元函数的最值解解如图如图,实例：某

4、商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价瓶进价1元，外地牌子每瓶进价元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶卖每瓶卖 元，则每天可卖出元，则每天可卖出 瓶本瓶本地牌子的果汁，地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？取得最大收益？分析：每天的收益为：分析：每天的收益为：求最大收益即为求二元函数的最大值求最大收益即为求二元函数的最大值.4 4、极值的应用、极值的应用得到驻点：得到驻点：时，可取得最大收益时，可取得最大收益实际问实际问题中驻题中驻点唯一，点唯一，可以确可以确定该驻定该驻点一定点一定是极值是极值点！点！二、条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法条件极值条件极值：自变量必须满足某种条件的极值：自变量必须满足某种条件的极值一般模型：一般模型：无条件极值无条件极值：在自然定义域内求函数极值：在自然定义域内求函数极值一般模型：一般模型：解解则则解解唯一驻点唯一驻点即即练练 习习 题题