定积分的几何应用举例.ppt

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1、第八节第八节 定积分的几何应用举例定积分的几何应用举例一、一、平面图形的面积平面图形的面积二、二、体积体积三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长一、平面图形的面积一、平面图形的面积1、直角坐标系情形直角坐标系情形设曲线设曲线 y=f(x)(x 0)与直线与直线 x=a,x=b(a b)及及 x 轴所轴所 围曲边梯形的面积为围曲边梯形的面积为 A,则则如右下图所示图形的面积：如右下图所示图形的面积：如图所示图形面积为如图所示图形面积为 解解例例1 计算由两条抛物线计算由两条抛物线 y2=x 和和 y=x2 所围成的图形的面积所围成的图形的面积.得两曲线交点得两曲线交点面积元素面积元素问题：问题：积

2、分变量只能选积分变量只能选 x 吗吗？xyo曲边梯形的面积曲边梯形的面积xyo图形的面积图形的面积解解例例1 计算由两条抛物线计算由两条抛物线 y2=x 和和 y=x2 所围成的图形的面积所围成的图形的面积.得两曲线交点得两曲线交点面积元素面积元素解题步骤：解题步骤：1.根据题意画出平面图形根据题意画出平面图形.4.写出微元写出微元(面积元素面积元素)dA.2.求出边界曲线的交点求出边界曲线的交点.5.求出求出3.确定一个积分变量及其变化区间确定一个积分变量及其变化区间 a,b .解解得两曲线的交点得两曲线的交点解解得两曲线的交点得两曲线的交点解解得交点为得交点为说明：说明：注意各积分区间上被

3、积函数的形式注意各积分区间上被积函数的形式解解由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于 4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积利用椭圆的参数方程利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得应用定积分换元法得当当 a=b 时得圆面积公式时得圆面积公式用参数方程表示的曲边梯形的面积用参数方程表示的曲边梯形的面积若曲边梯形的曲边若曲边梯形的曲边 y=f(x)(a x b)可化可化为参数方程为参数方程则曲边梯形的面积则曲边梯形的面积解解由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积例例5 求星形线求星形线 围成图形的面积围成图形的面积.练习：练习：的一拱与的一拱与 x 轴所围平

4、面图形的轴所围平面图形的面积面积.解解:求由摆线求由摆线面积元素面积元素曲边扇形的面积曲边扇形的面积2、极坐标系情形极坐标系情形解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积解解利用对称性知利用对称性知求在直角坐标系下、参数方程形式求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的（注意恰当的选择积分变量选择积分变量有助于简化有助于简化积分运算）积分运算）3、小结小结 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋

5、转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台三、旋转体的体积三、旋转体的体积1、绕绕 x 轴旋转所得旋转体体积轴旋转所得旋转体体积xyo旋转体的体积为旋转体的体积为解解直线直线 OP 方程为方程为例例1 如图的直角三角形绕如图的直角三角形绕 x 轴旋转的旋转体的体积轴旋转的旋转体的体积解解例例 计算由椭圆计算由椭圆所围图形绕所围图形绕 x 轴旋转轴旋转而成的椭球体的体积而成的椭球体的体积.解解则则(利用对称性利用对称性)当当b=a 时时,就得半径为就得半径为a 的球体的体积的球体的体积方法方法2 2 利用椭圆参数方程利用椭圆参数方程则则2、绕绕 y 轴旋转所得旋转体体积轴旋转所得旋转体体积解解3、补充、补充解

6、解体积元素为体积元素为(2)曲边梯形绕直线曲边梯形绕直线 x=a 旋转所得旋转体体积旋转所得旋转体体积旋转体的体积旋转体的体积绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕非轴直线旋转一周绕非轴直线旋转一周4、小结、小结四、平行截面面积为已知的四、平行截面面积为已知的 立体的体积立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积立体体积解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体

7、积立体体积解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积五、平面曲线的弧长五、平面曲线的弧长1 1、平面曲线弧长的概念、平面曲线弧长的概念弧长元素弧长元素弧长弧长2 2、直角坐标情形、直角坐标情形解解所求弧长为所求弧长为解解解解曲线弧为曲线弧为弧长弧长3、参数方程情形、参数方程情形解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为根据对称性根据对称性第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长证证根据椭圆的对称性知根据椭圆的对称性知故原结论成立故原结论成立.曲线弧为曲线弧为弧长弧长4 4、极坐标情形、极坐标情形解解解解平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念直角坐标系下直角坐标系

8、下参数方程情形下参数方程情形下极坐标系下极坐标系下弧微分的概念弧微分的概念求弧长的公式求弧长的公式5 5、小结、小结思考题思考题思考题解答思考题解答不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长曲线光滑才可求长例例 计算心形线计算心形线与圆与圆所围图形的面积所围图形的面积.解解 利用对称性利用对称性,所求面积所求面积练习：练习：计算心形线计算心形线的内部的内部与圆与圆外部所围图形的面积外部所围图形的面积.练习练习1、求心形线求心形线 =a(1+cos )的内部与圆的内部与圆 =a的的外部外部所围图形所围图形的面积的面积.2、设抛物线的轴平行于设抛物线的

9、轴平行于 x 轴，开口向左，且通轴，开口向左，且通过原点与点过原点与点(2,1)，求它与，求它与 y 轴之间面积为最小轴之间面积为最小的抛物线方程的抛物线方程.思考题思考题思考题解答思考题解答xyo两边同时对两边同时对 求导求导积分得积分得所以所求曲线为所以所求曲线为练习练习1、求由曲线求由曲线 围成的图形绕围成的图形绕 y 轴旋轴旋 转所得旋转体的体积转所得旋转体的体积.2、求半径为求半径为 r 高为高为 h 的球缺的体积的球缺的体积.3、在一半径为在一半径为 R 的球内以直径为轴打一个半径的球内以直径为轴打一个半径为为 r 的圆孔的圆孔(rR)，求剩下部分的体积，求剩下部分的体积.例例解解