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1、第1页Duality Theory 线性规划的对偶问题线性规划的对偶问题 对偶问题的经济解释对偶问题的经济解释影子价格影子价格 对偶单纯形法对偶单纯形法第四章第四章 线性规划的对偶理论线性规划的对偶理论 灵敏度分析灵敏度分析 对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质第2页 线性规划的对偶问题线性规划的对偶问题Duality Theory 对偶问题的经济解释对偶问题的经济解释影子价格影子价格 对偶单纯形法对偶单纯形法 灵敏度分析灵敏度分析 对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质第四章第四章 线性规划的对偶理论线性规划的对偶理论第3页例如：例如：平面中矩形的面平面中矩形的面积与周与周长的关系的关系周周长

2、一定面一定面积最大的矩形是正方形最大的矩形是正方形:面面积一定周一定周长最短的矩形是正方形最短的矩形是正方形一、一、对偶偶问题的提出的提出 对同一同一问题从不同角度考从不同角度考虑，有两种，有两种对立的描述。立的描述。例例1、应如何安排生如何安排生产计划，使一天的划，使一天的总利利润最大？最大？某某企企业生生产甲甲、乙乙两两种种产品品，要要用用A、B、C三三种种不不同同的的原原料料。每每生生产1吨吨甲甲产品品，需需耗耗用用三三种种原原料料分分别为1，1，0单位位；生生产1吨吨乙乙产品品，需需耗耗用用三三种种原原料料分分别为1，2，1单位位。每每天天原原料料供供应的的能能力力分分别为6，8，3单

3、位位。又又知知道每生道每生产1吨甲吨甲产品企品企业利利润为300元，每生元，每生产1吨乙吨乙产品企品企业利利润为400元。元。第4页例例1、应如何安排生如何安排生产计划，使一天的划，使一天的总利利润最大？最大？max x1 0,x2 0.x1+x2 6z=3x1+4x2 x1+2x2 8 x2 3设 xj 表示第表示第 j 种种产品每天的品每天的产量量 假假设该企企业决决策策者者决决定定不不生生产甲甲、乙乙产品品，而而是是将将厂厂里里的的现有有资源源外外售售。决决策策者者应怎怎样制制定定每每种种资源源的的收收费标准才合理？准才合理？第5页例例1、应怎怎样制定收制定收费标准才合理？准才合理？设

4、yj 表示第表示第 j 种原料的收种原料的收费单价价分析分析问题：1、出、出让每种每种资源的收入不能低于自己生源的收入不能低于自己生产时的可的可获利利润；2、定价不能太高，要使、定价不能太高，要使对方能方能够接受。接受。把把生生产一一吨吨甲甲产品品所所用用的的原原料料出出让，所所得得净收收入入应不不低低于于生生产一一吨吨甲甲产品的利品的利润：乙乙产品同理：品同理：把企把企业所有原料出所有原料出让的的总收入：收入：只能在只能在满足足 所有所有产品的品的利利润的条件下的条件下,其其总收入收入尽可能少尽可能少,才能成交才能成交.s.t.第6页一、一、对偶偶问题的提出的提出 任任何何一一个个求求极极大

5、大的的线性性规划划问题都都有有一一个个求求极极小小的的线性性规划划问题与之与之对应，反之亦然，反之亦然.把把其其中中一一个个叫叫原原问题，则另另一一个个就就叫叫做做它它的的对偶偶问题，这一一对互相互相联系的两个系的两个问题就称就称为一一对对偶偶问题。s.t.LP1s.t.LP2原原问题（P）对偶偶问题（D）第7页二、原二、原问题与与对偶偶问题的的对应关系关系s.t.Ps.t.Dyj 表示表示对第第 j 种种资源的估价源的估价矩矩阵形式：形式：.max z=CX s.t.AX b X 0 min w=bTY s.t.ATY CT Y 0第8页(一一)对称型称型对偶偶问题其中其中 yi 0（i=1

6、,2,m）称）称为对偶偶变量量。变量量均均具具有有非非负约束束，且且约束束条条件件：当当目目标函函数数求求极极大大时均取均取“”号，当目号，当目标函数求极小函数求极小时均取均取“”号。号。max z=c1x1+c2x2+cnxns.t.a11x1+a12x2+a1nxn b1 a21x1+a22x2+a2nxn b2 (P)am1x1+am2x2+amnxn bm xj 0（j=1,2,n）min w=b1 y1+b2 y2+bm yms.t.a11y1+a21 y2+am1ym c1 a12y1+a22y2 +am2 ym c2 (D)a1ny1+a2ny2+amnym cn yi 0（i=

7、1,2,m）max z=CX s.t.AX b X 0 min w=bTY s.t.ATY CT Y 0第9页(二二)非非对称型称型对偶偶问题分析：分析：化化为对称形式。称形式。max x10,x20,x3无无约束束s.t.a11x1+a12x2+a13x3 b1z=c1x1+c2x2+c3x3 a31x1+a32x2+a33x3 b3 a21x1+a22x2+a23x3=b2令令maxs.t.第10页(二二)非非对称型称型对偶偶问题maxs.t.对偶偶变量量mins.t.对偶偶问题：第11页(二二)非非对称型称型对偶偶问题mins.t.令令mins.t.mins.t.第12页3个个=约约束束

8、条条件件变变 量量(二二)非非对称型称型对偶偶问题mins.t.原问题原问题对偶问题对偶问题目标函数目标函数 maxmax目标函数目标函数 minmin目标函数的系数目标函数的系数约束条件右端常数约束条件右端常数约束条件右端常数约束条件右端常数目标函数的系数目标函数的系数3个个=3个个00无符号限制无符号限制约约束束条条件件变变 量量3个个00无符号限制无符号限制原问题（对偶问题）原问题（对偶问题）对偶问题（原问题）对偶问题（原问题）第13页3个个=约约束束条条件件变变 量量(一一)对称型称型对偶偶问题原问题（对偶问题）原问题（对偶问题）对偶问题（原问题）对偶问题（原问题）目标函数目标函数 m

9、axmax目标函数目标函数 minmin目标函数的系数目标函数的系数约束条件右端常数约束条件右端常数约束条件右端常数约束条件右端常数目标函数的系数目标函数的系数3个个=3个个00无符号限制无符号限制约约束束条条件件变变 量量3个个00无符号限制无符号限制s.t.s.t.2个个2个个第14页二、原二、原问题与与对偶偶问题的的对应关系关系第15页例例2、写出下述、写出下述线性性规划划问题的的对偶偶问题解：解：设对偶偶变量量为maxs.t.mins.t.则对偶偶问题为第16页例例3、写出下述、写出下述线性性规划划问题的的对偶偶问题解：解：设对偶偶变量量为mins.t.maxs.t.则对偶偶问题为第1

10、7页练习、写出下述、写出下述线性性规划划问题的的对偶偶问题maxs.t.mins.t.第18页 对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质Duality Theory 线性规划的对偶问题线性规划的对偶问题 对偶问题的经济解释对偶问题的经济解释影子价格影子价格 对偶单纯形法对偶单纯形法 灵敏度分析灵敏度分析第二章第二章 线性规划的对偶理论线性规划的对偶理论第19页对偶偶问题的基本性的基本性质1.1.对称性称性2.2.弱弱对偶性偶性3.3.无界性无界性4.4.最最优性性7.7.原原问题与与对偶偶问题单纯形表形表间的性的性质5.5.互互补松弛性松弛性6.6.强对偶性偶性第20页对偶偶问题的基本性的基本性质

11、 max z=CX s.t.AX b X 0 min w=bTY s.t.ATY CT Y 0s.t.（P）s.t.（D）第21页 对偶问题对偶问题1、对称性称性定理：定理：对偶偶问题的的对偶是原偶是原问题。对偶问题对偶问题max z=CXs.t.AX b X 0max w =bTYs.t.ATY CTY 0 min w=bTYs.t.ATY CT Y 0min z =CXs.t.AX b X 0第22页2、弱、弱对偶性偶性定定理理：设 和和 分分别是是原原问题（P）和其和其对偶偶问题（D）的可行解，）的可行解，则恒有恒有第23页2、弱、弱对偶性偶性定定理理：设 和和 分分别是是原原问题（P）

12、和其和其对偶偶问题（D）的可行解，）的可行解，则恒有恒有推推论：原原问题任任一一可可行行解解的的目目标函函数数值是是其其对偶偶问题目目标函函数数值的的下下界界；反反之之，对偶偶问题任任一一可可行行解解的的目目标函函数数值是其原是其原问题目目标函数函数值的上界。的上界。第24页3、无界性、无界性定定理理：在在互互为对偶偶的的两两个个问题中中，若若一一个个问题具具有有无无界界解解，则另一个另一个问题无可行解。无可行解。原原问题有可行解但目有可行解但目标函数函数值无界无界对偶偶问题无可行解无可行解对偶偶问题有可行解但目有可行解但目标函数函数值无界无界原原问题无可行解无可行解推推论：原原问题任任一一可

13、可行行解解的的目目标函函数数值是是其其对偶偶问题目目标函函数数值的的下下界界；反反之之，对偶偶问题任任一一可可行行解解的的目目标函函数数值是其原是其原问题目目标函数函数值的上界。的上界。第25页3、无界性、无界性定定理理：在在互互为对偶偶的的两两个个问题中中，若若一一个个问题具具有有无无界界解解，则另一个另一个问题无可行解。无可行解。原原问题有无界解有无界解对偶偶问题无可行解无可行解推推论：原原问题任任一一可可行行解解的的目目标函函数数值是是其其对偶偶问题目目标函函数数值的的下下界界；反反之之，对偶偶问题任任一一可可行行解解的的目目标函函数数值是其原是其原问题目目标函数函数值的上界。的上界。可

14、能是无可行解可能是无可行解推推论1：在在互互为对偶偶的的两两个个问题中中，若若一一个个问题无无可可行行解解，则另一个另一个问题或具有无界解或无可行解。或具有无界解或无可行解。第26页3、无界性、无界性定定理理：在在互互为对偶偶的的两两个个问题中中，若若一一个个问题具具有有无无界界解解，则另一个另一个问题无可行解。无可行解。推推论1：在在互互为对偶偶的的两两个个问题中中，若若一一个个问题无无可可行行解解，则另一个另一个问题或具有无界解或无可行解。或具有无界解或无可行解。推推论2：在在互互为对偶偶的的两两个个问题中中，若若一一个个问题有有可可行行解解，另一个另一个问题无可行解，无可行解，则可行的可

15、行的问题无界。无界。无界解无界解无可行解无可行解无可行解无可行解无界解无界解对偶问题对偶问题原问题原问题第27页例例1、利用、利用对偶理偶理论证明明问题无界（无最无界（无最优解）解）解：解：设对偶偶变量量为maxs.t.mins.t.则对偶偶问题为由由 知，知，第一个第一个约束束可知可知对偶偶问题无无条件不成立，条件不成立，可行解。可行解。易知易知(0,0,0)T 是原是原问题的一的一个可行解，故原个可行解，故原问题可行。可行。由无界性定理可知，原由无界性定理可知，原问题有无界解，即无最有无界解，即无最优解。解。对偶问题对偶问题不可行不可行原问题无界原问题无界或不可行或不可行无界无界 不可行不

16、可行第28页练习、证明下列明下列线性性规划划问题无最无最优解解mins.t.maxs.t.对偶问题对偶问题原原问题的一个可行解：的一个可行解：对偶偶问题不可行：不可行：找矛盾找矛盾第29页4、最、最优性性定定理理：设 和和 分分别是是原原问题（P）和其和其对偶偶问题（D）的可行解，且有）的可行解，且有则 和和 分分别是是原原问题（P）和和其其对偶偶问题（D）的最）的最优解。解。设和和分分别是是P和和D的的最最优解：解：因此因此第30页5、互、互补松弛性松弛性定定理理：设 和和 分分别是是原原问题和和其其对偶偶问题的最的最优解，解，若若对偶偶变量量，则原原问题相相应的的约束条件束条件若若约束条件

17、束条件，则相相应的的对偶偶变量量第31页5、互、互补松弛性松弛性定定理理：设 和和 分分别是是原原问题和和其其对偶偶问题的最的最优解，解，若若对偶偶变量量，则原原问题相相应的的约束条件束条件若若约束条件束条件，则相相应的的对偶偶变量量第32页5、互、互补松弛性松弛性定定理理：设 和和 分分别是是原原问题和和其其对偶偶问题的最的最优解，解，若若对偶偶变量量，则原原问题相相应的的约束条件束条件若若约束条件束条件，则相相应的的对偶偶变量量若若，则若若，则若若，则若若，则第33页例例2、利用互、利用互补松弛定理求最松弛定理求最优解解maxs.t.已知原已知原问题的最的最优解是解是求求对偶偶问题的最的最

18、优解。解。解：解：设对偶偶变量量为mins.t.则对偶偶问题为设对偶偶问题的最的最优解解为因因由互由互补松弛性知松弛性知解方程解方程组得得故故对偶偶问题的最的最优解解为第34页例例3、利用互、利用互补松弛定理求最松弛定理求最优解解已知原已知原问题的最的最优解是解是maxs.t.求求对偶偶问题的最的最优解。解。对偶偶变量量为mins.t.则对偶偶问题为设对偶偶问题的最的最优解解为将将 代入原代入原问题约束条件得束条件得解：解：由互由互补松弛性知松弛性知又又故故对偶偶问题的最的最优解解为得得第35页例例4、利用互、利用互补松弛定理求最松弛定理求最优解解已知其已知其对偶偶问题的最的最优解是解是min

19、s.t.求原求原问题的最的最优解。解。对偶偶问题为设原原问题的最的最优解解为解：解：mins.t.将将 代入原代入原问题约束条件得：束条件得：(2)、(3)、(4)为严格不等式格不等式由互由互补松弛性知松弛性知又因又因由互由互补松弛性知松弛性知得得故原故原问题最最优解解为第36页6、强对偶性偶性（对偶定理）偶定理）定定理理：若若原原问题有有最最优解解，则其其对偶偶问题也也一一定定具具有有最最优解，且目解，且目标函数的最函数的最优值相等。相等。s.t.用用单纯形法求原形法求原问题的最的最优解：解：第37页s.t.第38页非基变量非基变量基变量基变量XsXIA0C基变量基变量 基变量基变量 基可基

20、可 系数系数 行解行解 0 Xs bXB XNB NCB CN第39页 XB I 0CB CNB NXB XN单纯形法形法计算的矩算的矩阵描述描述非基变量非基变量基变量基变量XsI0基变量基变量 基变量基变量 基可基可 系数系数 行解行解 0 Xs b基变量基变量非基变量非基变量XB基变量基变量 基变量基变量 基可基可 系数系数 行解行解 CNCBB-1N B-1N B-1XN XsB-1bCB进行初等行初等行行变换CBB-1 若若CNCBB-1N 0CBB-1 0 最优解最优解X*=B-1bB-1存在存在第40页6、强对偶性偶性（对偶定理）偶定理）min w=bTY s.t.ATY CT Y

21、 0 若若CNCBB-1N 0CBB-1 0 最优解最优解X*=B-1b令令YT=CBB-1，则有有CNYT N 0，Y 0因因CBYTB=0，故故 CYT A 0，即即AT Y CT，说明明Y是是D的可行解的可行解 max z=CX s.t.AX b X 0此此时目目标函数函数值w=bTY=YTb=CBB-1b原原问题的最的最优值 z=CB-1b=CBB-1b由最由最优性定理知，性定理知，Y是是D的最的最优解。解。定定理理：若若原原问题有有最最优解解，则其其对偶偶问题也也一一定定具具有有最最优解，且目解，且目标函数的最函数的最优值相等。相等。第41页6、强对偶性偶性（对偶定理）偶定理）推推论

22、：若若一一对对偶偶问题都都有有可可行行解解，则它它们都都有有最最优解解，且目且目标函数的最函数的最优值必相等。必相等。定定理理：若若原原问题有有最最优解解，则其其对偶偶问题也也一一定定具具有有最最优解，且目解，且目标函数的最函数的最优值相等。相等。互互为对偶的两个偶的两个问题，只会出，只会出现以下三种关系：以下三种关系：都有最都有最优解，且最解，且最优值相等相等 一个有无界解，另一个无可行解；一个有无界解，另一个无可行解；两个都无可行解。两个都无可行解。第42页判断下列判断下列说法是否正确，法是否正确，为什么？什么？1、如如果果线性性规划划问题存存在在可可行行解解，则其其对偶偶问题也也一一定定

23、存在可行解。存在可行解。2、如果、如果线性性规划划问题的的对偶偶问题无可行解，无可行解，则原原问题也也一定无可行解。一定无可行解。3、如如果果线性性规划划问题的的原原问题和和对偶偶问题都都具具有有可可行行解解，则该线性性规划一定具有有限最划一定具有有限最优解。解。第43页对偶偶问题的基本性的基本性质一个问题一个问题maxmax另一问题另一问题minmin应用应用有最优解有最优解有最优解有最优解强对偶性强对偶性无界解无界解（有可行解）（有可行解）无可行解无可行解无界性无界性（证无最优解）（证无最优解）无可行解无可行解无界解无界解（有可行解）（有可行解）已知最优解已知最优解求最优解求最优解互补松弛

24、性互补松弛性第44页7、原、原问题与与对偶偶问题单纯形表形表间的性的性质？XB I 0CB CNB NXB XN非基变量非基变量基变量基变量XsI0基变量基变量 基变量基变量 基可基可 系数系数 行解行解 0 Xs b基变量基变量非基变量非基变量XB基变量基变量 基变量基变量 基可基可 系数系数 行解行解 CNCBB-1N B-1N B-1XN XsB-1bCBYT=CBB-1CBB-1 第45页Duality Theory 线性规划的对偶问题线性规划的对偶问题 对偶问题的经济解释对偶问题的经济解释影子价格影子价格 对偶单纯形法对偶单纯形法 灵敏度分析灵敏度分析 对偶问题的基本性质对偶问题的基

25、本性质第二章第二章 线性规划的对偶理论线性规划的对偶理论第46页第一步：找到一个满足最优检验的初始基第一步：找到一个满足最优检验的初始基本解；本解；第二步：检验当前解是否可行。若可行，第二步：检验当前解是否可行。若可行，已得到最优，否则转入下一步。已得到最优，否则转入下一步。第三步：选择第三步：选择b最小一行的变量作为换出最小一行的变量作为换出变量变量第四步：换入变量第四步：换入变量mincj-zj/aij(负数和零负数和零不参与比较不参与比较)第五步：迭代运算，到第二步。第五步：迭代运算，到第二步。对偶单纯形法对偶单纯形法第47页对偶单纯形法 Max z=-6x1-3x2-2x3例：例：第4

26、8页cj-6-3-2000cBxBbx1x2x3x4x5x60 x4-20-1-1-11000 x5-6-1/2-1/2-1/40100 x6-10-2-1-1001zj000000cj-zj-6-3-2000对偶单纯形法找到一个找到一个满足最足最优检验的初始基本解的初始基本解检验当前解不可行，当前解不可行，选择b最小一行的最小一行的变量作量作为换出出变量；量；换入入变量量mincj-zj/aij第49页cj-6-3-2000cBxBbx1x2x3x4x5x6-2x320111-1000 x5-1-1/4-1/40-1/4100 x610100-101zj-2-2-2200cj-zj-4-10

27、-200对偶单纯形法检验当前解不可行，当前解不可行，选择b最小一行的最小一行的变量作量作为换出出变量；量；换入入变量量mincj-zj/aij第50页cj-6-3-2000cBxBbx1x2x3x4x5x6-2 x3 16001-240-3 x2 41101-400 x6 10-100-101zj-3-3-2140cj-zj-300-1-40对偶单纯形法第51页 对偶问题的经济解释对偶问题的经济解释影子价格影子价格Duality Theory 线性规划的对偶问题线性规划的对偶问题 对偶单纯形法对偶单纯形法 灵敏度分析灵敏度分析 对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质第二章第二章 线性规划的对偶理

28、论线性规划的对偶理论第52页 bi 代代表表第第i种种资源源的的拥有有量量；yi*代代表表在在资源源最最优利利用用条条件件下下对第第i种种资源源的的单位位估估价价。这种种估估价价不不是是资源源的的市市场价价格格，而而是是根根据据资源源在在生生产中中作作出的出的贡献而作的估价。献而作的估价。一、影子价格的概念一、影子价格的概念设 xj 表示第表示第 j 种种产品每天的品每天的产量量设 yj 表示第表示第 j 种原料的收种原料的收费单价价 由由对偶偶定定理理知知当当P问题求求得得最最优解解X*时，D问题也也得得到到最最优解解Y*，且有，且有影子价格影子价格第53页若若，则若若，则当某个右端常数当某

29、个右端常数bi bi+1时时一、影子价格的概念一、影子价格的概念由由得得说明明的的值相当于在相当于在资源得到最源得到最优利用的生利用的生产条件下，条件下，每增加一个每增加一个单位位时目目标函数函数z的增量的增量边际价格价格说明明若若某某资源源 未未被被充充分分利利用用，则该种种资源的影子价格源的影子价格为0；若若某某资源源的的影影子子价价格格不不为0，则说明已有明已有资源在已消耗完源在已消耗完毕。第54页二、在二、在经营管理中的管理中的应用用y1*=2y2*=1y3*=0Y*T=CBB-1CBB-1 第55页二、在二、在经营管理中的管理中的应用用y1*=2y2*=1y3*=0若原料若原料A增加

30、增加1单位，位，该厂按最厂按最优计划安排生划安排生产可多可多获利利200元；元；若原料若原料B增加增加1单位，可多位，可多获利利100元元;原料原料C本已剩余，再增加不会本已剩余，再增加不会带来收益。来收益。1、指示企、指示企业内部挖潜的方向内部挖潜的方向影子价格能说明增加哪种资源对增加经济效益最有利影子价格能说明增加哪种资源对增加经济效益最有利 第56页二、在二、在经营管理中的管理中的应用用y1*=2y2*=1y3*=02、在企、在企业经营决策中的作用决策中的作用当某种当某种资源的影子价源的影子价格高于市格高于市场价格价格时：当某种当某种资源的影子价源的影子价格低于市格低于市场价格价格时：企

31、企业业经经营营决决策策者者可可通通过过把把本本企企业业资资源源的的影影子子价价格格与与当当时时的市场价格进行比较，决定资源的买卖，以获取较大利润。的市场价格进行比较，决定资源的买卖，以获取较大利润。买进买进卖出卖出特特别是影子价是影子价格格为零零时 第57页二、在二、在经营管理中的管理中的应用用y1*=2y2*=1y3*=03、在新、在新产品开品开发决策中的决策中的应用用 利利用用影影子子价价格格，通通过过分分析析新新产产品品使使用用资资源源的的经经济济效效果果，以决定新产品是否应该投产。以决定新产品是否应该投产。假假设该企企业计划划生生产一一类新新产品品，单件件消消耗耗三三种种原原料料的的数

32、数量量为（2,3,2），），则新新产品的品的单位利位利润必必须大于大于 22+13+02=7（百元）（百元）才能增加公司的收益，否才能增加公司的收益，否则生生产是不合算的。是不合算的。第58页二、在二、在经营管理中的管理中的应用用y1*=2y2*=1y3*=04、分析、分析现有有产品价格品价格变动对资源源紧缺情况的影响缺情况的影响若甲若甲产品提价，品提价，单位利位利润增至增至4，则影子价格改影子价格改变，由，由Y*T=CBB-1说明如果甲明如果甲产品提价的品提价的话，资源源A将将变得更得更紧俏俏.第59页二、在二、在经营管理中的管理中的应用用y1*=2y2*=1y3*=05、分析工、分析工艺改

33、改变后后对资源源节约的收益的收益 若若企企业革革新新技技术，改改进工工艺过程程后后使使资源源A能能节约2%，则带来的来的经济收益每天将是收益每天将是（百元）（百元）第60页二、在二、在经营管理中的管理中的应用用y1*=2y2*=1y3*=0注意注意:1、以上分析都是在最、以上分析都是在最优基不基不变的条件下的条件下进行的行的2、应对影子价格有更影子价格有更为广广义的理解的理解 若增加若增加产量量约束束 x1+x2 40：产量不超量不超过市市场需求量需求量若若y4*较大，大，则说明明扩大大销路能比增加路能比增加资源源带来更大的来更大的经济效益效益 Y*T=CBB-1第61页Duality Theory 线性规划的对偶问题线性规划的对偶问题 对偶问题的经济解释对偶问题的经济解释影子价格影子价格 对偶单纯形法对偶单纯形法 灵敏度分析灵敏度分析 对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质第二章第二章 线性规划的对偶理论线性规划的对偶理论