机器人控制技术逆运动学方程.ppt

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1、第四章第四章 逆运动学方程逆运动学方程Chapter Inverse Kinematic Equations4.1引言4.2逆运动学方程的解4.3斯坦福机械手的逆运动学解4.4欧拉变换的逆运动学解4.5RPY变换的逆运动学解4.6球坐标变换的逆运动学解4.7本章小结4.1 4.1 引言引言 (Introduction)所谓逆运动学方程的解，就是已知机械手直角坐标空间的位姿（pose）T6，求出各节变量nordn。T6=A1A2A3A4A5A6（）逆运动学方程解的步骤如下：（1）根据机械手关节坐标设置确定AnAn为关节坐标的齐次坐标变换，由关节变量和参数确定。关节变量和参数有：an连杆长度;n连

2、杆扭转角;dn相邻两连杆的距离;n相邻两连杆的夹角。对于旋转关节n为关节变量，而对于滑动关节dn为关节变量。其余为连杆参数，由机械手的几何尺寸和组合形态决定。（2）根据任务确定机械手的位姿T6T6为机械手末端在直角坐标系（参考坐标或基坐标）中的位姿，由任务确定，即式（3.37）给出的表达式T6=Z-1XE-1确定。它是由三个平移分量构成的平移矢量P（确定空间位置）和三个旋转矢量n，o，a（确定姿态）组成的齐次变换矩阵描述。（3）由T6和An（n1，2，6）和式（）求出相应的关节变量n或dn。4.2 逆运动学方程的解（逆运动学方程的解（Solving inverse kinematic equa

3、tions）根据式（4.1）T6=A1A2A3A4A5A6分别用An（n1，2，5）的逆左乘式（4.1）有A1-1T6=1T6(1T6=A2A3A4A5A6)（）A2-1A1-1T6=2T6(2T6=A3A4A5A6)（）A3-1A2-1A1-1T6=3T6(3T6=A4A5A6)（）A4-1A3-1A2-1A1-1T6=4T6(4T6=A5A6)（）A5-1A4-1A3-1A2-1A1-1T6=5T6(5T6=A6)（）根据上述五个矩阵方程对应元素相等，可得到若干个可解的代数方程，便可求出关节变量n或dn。4.3 斯坦福机械手的逆运动学解斯坦福机械手的逆运动学解 （Inverse solut

4、ion of Stanford manipulator）在第三章我们推导出StanfordManipulator的运动方程和各关节齐次变换式。下面应用式（4.2）（4.6）进行求解：这里 f11=C1 xS1 y()f12=-z()f13=-S1 xC1 y()其中 x=nxoxaxpxT，y=nyoyaypyT，z=nzozazpzT由第三章得到的斯坦福机械手运动学方程式（）为C2(C4C5C6-S4S6)-S2S5C6-C2(C4C5S6+S4C6)+S2S5S6S2(C4C5C6-S4S6)+C2S5C6-S2(C4C5S6+S4C6)-C2S5S61T6=S4C5C6+C4C6-S4C

5、5S6+C4C600C2C4S5+S2C5S2d3S2C4S5-C2C5-C2d3S4S5d2（4.13）01比较式（）和式（）矩阵中的第三行第四列元素相等得到 f13（p）=d2（）或 -S1 pxC1py=d2（）令 px=r cos （）py=r sin （）其中 （）（）将式（）和式（）代入式（）有 sincon1consin1 d2/r （0 d2/r 1）（）由式（）可得 sin(1)d2/r （0 1 ）（）con(1)（）这里号表示机械手是右肩结构（）还是左肩结构（）。由式（）、（）和（）可得到第一个关节变量1的值（）根据同样的方法，利用式（）和式（）矩阵元素相等建立的相关的方

6、程组，可得到其它各关节变量如下：（4.24）（4.25）（4.26）（4.27）（4.28）注意：l在求解关节变量过程中如出现反正切函数的分子和分母太小，则计算结果误差会很大，此时应重新选择矩阵元素建立新的方程组再进行计算，直到获得满意的结果为止。同样，如果计算结果超出了机械手关节的运动范围，也要重新计算，直到符合机械手关节的运动范围。l由于机械手各关节变量的相互耦合，后面计算的关节变量与前面的关节变量有关，因此当前面关节变量的计算结果发生变化时，后面关节变量计算的结果也会发生变化，所以逆运动方程的解不是唯一的，我们应该根据机械手的组合形态和各关节的运动范围，经过多次反覆计算，从中选择一组合理

7、解。由此可见，求解机械手的逆运动方程是一个十分复杂的过程。4.4 4.4 欧拉变换的逆运动学解欧拉变换的逆运动学解 （Inverse solution of Inverse solution of Euler Angles ）由第三章知欧拉变换为Euler(,)Rot(z,)Rot(y,)Rot(z,)（）我们用T来表示欧拉变换的结果，即TEuler(,)（）或TRot(z,)Rot(y,)Rot(z,)（）其中（）（）比较式（）和式（）有（）（）（）（）（）（）（）（）（）由式（）可解出角（）由式（）和式（）可解出角（）由式（）和式（）可解出角（）这里需要指出的是，在我们采用式（）式（）来计

8、算、时都是采用反余弦函数，而且式（）和式（）的分母为sin，这会带来如下问题：1）由于绝对值相同的正负角度的余弦相等，如coscos（-），因此不能确定反余弦的结果是在那个象限；2）当sin接近于0时，由式（）和式（）所求出的角度和是不精确的；3）当0或180时，式（）和式（）无数值解。为此，我们必须寻求更为合理的求解方法。由三角函数的知识我们知道，反正切函数tan1（x/y）所在的象限空间可由自变量的分子和分母的符号确定（如图所示），因此如果我们得到欧拉角的正切表达式，就不难确定欧拉角所在的象限。为此，我们采用本章第二节的方法，用Rot(z,)1左乘式（）有Rot1(z,)TRot(y,)R

9、ot(z,)（）yxyyxyxxyx图4.1正切函数所在象限即（）将上式写成如下形式（）式中（）（）（）同样，上面三个式子中的x、y、z分别表示n、o、a、p矢量的各个分量，如（）比较式（）等号两边矩阵的第2行第3列元素可知（）即（）由此可得到（）或（）结果得到（）或（）上述结果相差180，可根据实际系统的组合形态从中选择一个合理解。如果ay和ax都为0，则式（）和式（）无定义，这是一种退化现象，此时值可任意设置，如0。由于角已求出，比较式（）等号两边矩阵第1行第3列和第3行第3列元素相等有（）（）或（）（）由此可得（）同样比较式（）等号两边矩阵的第2行第1列和第2行第2列元素可知（）（）或（

10、）（）由此可得（）至此，我们求出了欧拉变换的逆运动学解。4.5 RPY变换的逆运动学解变换的逆运动学解（Inverse solution of Inverse solution of RPY）第三章介绍的摇摆、俯仰和偏转(RPY)变换的表达式如下T=RPY(,)Rot(z,)Rot(y,)Rot(x,)（）用Rot1(z,)左乘上式得到Rot1(z,)TRot(y,)Rot(x,)（）将上式写成式（）的形式（）式中（）（）（）由式（）等号两边矩阵的第2行第1列元素相等有（）由此得到（）或（）角已求出，根据式（）等号两边矩阵的第3行第1列和第1行第1列元素相等有（）（）由此可得（）进一步比较式（

11、）等号两边矩阵元素，由第2行第3列和第2行第2列元素相等有（）（）由此可得（）至此，我们求出了RPY的逆运动学解。4.6 球坐标变换的逆运动学解球坐标变换的逆运动学解 （Inverse solution of Inverse solution of Spherical Coordinates）第三章介绍的球坐标变换的表达式如下T=Sph(,)=Rot(z,)Rot(y,)Trans(0,0,)（）用Rot1(z,)左乘上式得到Rot1(z,)T=Rot(y,)Trans(0,0,)（）将上列矩阵方程的第4列元素写出有（）由上式第2行元素相等有（）由式（）可得到（）或（）由式（）第1行和第3行元素相等有（）（）由此可得（）为了获得平移量，我们用Rot1(y,)左乘式（）Rot1(y,)Rot1(z,)T=Trans(0,0,)（）上式第4列元素是（）由上式第3行元素相等得到（）至此，我们求出了球坐标变换的逆运动学解。4.7 4.7 本章小结（本章小结（SummarySummary）l解逆运动方程是应用齐次坐标变换原理，从机器人末端执行器的直角坐标空间到关节坐标的变换（T6 n、dn），它是求解正运动方程的逆过程（n、dn T6），是机器人运动学的重要内容，是机器人控制的依据。l要注意的是正运动方程的解是唯一解，而逆运动方程的解不是唯一解，因此选择合理解是解逆运动方程的一项重要内容。