机器人控制技术动力学.ppt

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1、6.1 6.1 引言引言 6.2 6.2 拉格朗日力学拉格朗日力学6.3 6.3 机械手的动力学方程机械手的动力学方程第六章第六章 动力学动力学Chapter Dynamics 动动力力学学是是机机器器人人控控制制的的基基础础，本本章章主主要要从从控控制制的的角角度度来来研研究究机机械械手手的的动动力力学学问问题题。机机械械手手通通常常是是一一种种开开链链式式多多关关节节机机构构，是是一一种种复复杂杂的的动动力力学学系系统统，需需要要采采用用系系统统的的分分析析方方法法来来研研究究它它的的动动态态特特性性。本本章章我我们们运运用用拉拉格格朗朗日日力力学学原原理理来来分分析析机机械械手手的的动动

2、力力学学问问题题，因因为为拉拉格格朗朗日日方方法法能能以以最最简简单单的的形形式式求求得得非非常常复复杂杂的的系系统统的的动动力力学学方程。本章的主要内容如下：方程。本章的主要内容如下：l l运用拉格朗日力学原理分析和求取两自由度机械手的动力学方程；运用拉格朗日力学原理分析和求取两自由度机械手的动力学方程；l l介绍六自由度机械手动力学方程的求取方法和步骤；介绍六自由度机械手动力学方程的求取方法和步骤；l l推导出完整的动力学方程，然后根据有效性分析来简化这些方程。推导出完整的动力学方程，然后根据有效性分析来简化这些方程。6.1 引言引言(Introduction)拉格朗日算子拉格朗日算子 L

3、 L 定义为系统的动能定义为系统的动能 K K 与势能与势能 P P 的差的差 L=K PL=K P (6.1)(6.1)系系统统的的动动能能和和势势能能可可以以用用任任何何能能使使问问题题简简化化的的坐坐标标系系统统来来表表示示，并不一定要使用笛卡尔坐标。并不一定要使用笛卡尔坐标。动力学方程通常表述为动力学方程通常表述为 其其中中，q qi i是是表表示示动动能能和和势势能能的的坐坐标标值值，是是速速度度，而而F Fi i是是对对应应的的力力或或力力矩矩，F Fi i是是力力还还是是力力矩矩，这这取取决决于于q qi i是是直直线线坐坐标标还还是是角角度度坐坐标标。这这些力、力矩和坐标分别称

4、为广义力、广义力矩和广义坐标。些力、力矩和坐标分别称为广义力、广义力矩和广义坐标。(6.2)6.2 拉格朗日力学拉格朗日力学 一个简例一个简例(Lagrangian Mechanics A Simple Example)为为了了说说明明问问题题，我我们们看看一一个个具具体体例例子子，假假定定有有如如图图6.16.1所所示示的的两两连连杆杆的的机机械械手手，两两个个连连杆杆的的质质量量分分别别为为m m1 1、m m2 2，由由连连杆杆的的端端部部质质量量代代表表，两两个个连连杆杆的的长长度度分分别别为为d d1 1、d d2 2，机机械械手手直直接接悬悬挂挂在在加加速速度度为为g g的的重重力

5、力场场中，广义坐标为中，广义坐标为1 1和和2 2。m2d1d2m1xy图6.1 两连杆的机械手 动能的一般表达式为动能的一般表达式为 ，质量，质量m m1 1的动能可直接写出的动能可直接写出 势能与质量的垂直高度有关，高度用势能与质量的垂直高度有关，高度用y y坐标表示，于是势能可直接写出坐标表示，于是势能可直接写出 对对于于质质量量m m2 2，由由图图，我我们们先先写写出出直直角角坐坐标标位位置置表表达达式式，然然后后求求微微分分，以便得到速度以便得到速度(6.4)(6.3)(6.5)(6.6)6.2.1 动能和势能动能和势能(The Kinetic and Potential Ener

6、gy)速度的直角坐标分量为速度的直角坐标分量为 速度平方的值为(6.8)(6.7)(6.9)从而动能为从而动能为(6.10)质量的高度由式(6.6)表示，从而势能就是(6.11)拉拉格格朗朗日日算算子子 L L=K K P P 可可根根据据式式(6.3)(6.3)、(6.4)(6.4)、(6.10)(6.10)和和(6.11)(6.11)求得求得(6.12)6.2.2 拉格朗日算子拉格朗日算子(The Lagrangian)为了求得动力学方程，我们现在根据式为了求得动力学方程，我们现在根据式(6.2)(6.2)对拉格朗日算子进行微分对拉格朗日算子进行微分（6.13）（6.14）（6.15）6.

7、2.3 动力学方程动力学方程(The Dynamics Equations)根据式根据式(6.2)(6.2)，把式，把式(6.14)(6.14)与与(6.15)(6.15)相减就得到关节相减就得到关节1 1的力矩的力矩（6.16）(6.17)(6.18)(6.19)用拉格朗日算子对 求偏微分，进而得到关节2的力矩方程 于是关节于是关节2 2的力矩为的力矩为（6.20）将式(6.16)和(6.20）重写为如下形式（6.21）（6.22）在方程（）和（）中各项系数在方程（）和（）中各项系数 D D 的含义如下：的含义如下：D Dii ii 关节关节 i i 的等效惯量（的等效惯量（Effectiv

8、e inertiaEffective inertia），），关节关节 i i 的加速度使关节的加速度使关节 i i 产生的力矩产生的力矩D Dij ij 关节关节 i i 与关节与关节 j j 之间的耦合惯量（之间的耦合惯量（Coupling inertiaCoupling inertia）关节关节 i i 或关节或关节 j j 的加速度分别使关节的加速度分别使关节 j j 或或 i i 产生的力矩产生的力矩 和和D Dijjijj 由关节由关节 j j 的速度产生的作用在关节的速度产生的作用在关节 i i 上的向心力上的向心力 系数系数 （Centripetal forceCentripet

9、al force）D Dijkijk 作用在关节作用在关节 i i 上的复合向心力（哥氏力上的复合向心力（哥氏力 Coriolis forceCoriolis force）的组合项）的组合项 系数，这是关节系数，这是关节 j j 和关节和关节 k k 的速度产生的结果的速度产生的结果D Di i 作用在关节作用在关节 i i 上的重力（上的重力（GravityGravity）把把方方程程(6.16)(6.16)、(6.20)(6.20)与与(6.21)(6.21)、(6.22)(6.22)比比较较，我我们们就就得得到到各各项项系系数数的值：的值：等效惯量等效惯量 D D11 11=(m=(m1

10、 1+m+m2 2)d)d1 12 2 +m+m2 2d d2 22 2 +2m+2m2 2d d1 1d d2 2cos(cos(2 2)(6.23)(6.23)D D22 22=m=m2 2d d2 22 2 (6.24)(6.24)耦合惯量耦合惯量 D D12 12=m=m2 2d d2 22 2 +m+m2 2d d1 1d d2 2cos(cos(2 2)(6.25)(6.25)向心加速度系数向心加速度系数 D D111 111=0 (6.26)=0 (6.26)D D122 122 =-mm2 2d d1 1d d2 2sin(sin(2 2)(6.27)(6.27)D D211

11、211=m=m2 2d d1 1d d2 2sin(sin(2 2)(6.28)(6.28)D D222 222=0 (6.29)=0 (6.29)哥氏加速度系数哥氏加速度系数 D D112 112=D=D121 121=-m m2 2d d1 1d d2 2sin(sin(2 2)(6.30)(6.30)D D212 212=D=D221 221=0 =0 (6.31)(6.31)重力项为重力项为 D D1 1=(m=(m1 1+m+m2 2)gd)gd1 1Sin(Sin(1 1)+m)+m2 2gdgd2 2Sin(Sin(1 1+2 2)(6.32)(6.32)D D2 2=m=m2

12、2gdgd2 2Sin(Sin(1 1+2 2)(6.33)(6.33)下下面面给给两两连连杆杆机机械械手手赋赋予予具具体体数数值值，并并且且对对于于静静止止状状态态（）和和在在无无重重力力环环境境中中的的机机械械手手求求解解方方程程(6.21)(6.21)和和(6.22)(6.22)。求求解解在在下下列列两两种种条条件件下下进进行行:关关节节2 2处处于于锁锁定定状状态态（）；关关节节2 2处处于于自自由由状状态态(T T2 2=0 0 )。在在第第一一种条件下种条件下,方程方程(6.21)(6.21)和和(6.22)(6.22)简化为简化为 在在第第二二种种条条件件下下，T T2 2 =0

13、 0，我我们们可可以以由由方方程程(6.22)(6.22)解解出出 ，再再把把它它代代入入方程方程(6.21)(6.21)，得到，得到T T1 1 于是代入方程(6.21)有(6.36)(6.35)(6.34)现现在在，取取定定 d d1 1 =d d2 2 =1 1，mm1 1 =2 2，而而对对于于三三个个不不同同的的 mm2 2 值值，分分别别求求出出各各个个系系数数：mm2 2 =1 1，表表示示机机械械手手无无负负载载情情况况；mm2 2 =4 4，表表示示有有负负载载；mm2 2 =100 100，表表示示位位于于外外太太空空(无无重重力力环环境境 )的的机机械械手手的的负负载载。

14、在在外外太太空空，没没有有重重力力负负载载，允允许许非非常常大大的的工工作作负负载载。根根据据求求得得的的系系数数以以及及方方程程(6.34)(6.34)和和(6.35)(6.35)，分分别别对对应应关关节节2 2的的四四种种不不同同的的锁锁定定状状态态 I IL L和和自自由由状状态态 I If f ，计计算算关关节节1 1的的惯惯量量如如下下表表所所示示（表表中中 I IL L 表示锁定状态，表示锁定状态，I If f 表示自由状态）。表示自由状态）。表6.1 m1=2,m2=1,d1=1,d2=1D11 D12 D22 IL If Cos21 6 2 1 6 2 0 4 1 1 4 3-

15、1 2 0 1 2 2 0 4 1 1 4 32 表6.2 m1=2,m2=4 ,d1=1,d2=1D11 D12 D22 IL If Cos21 18 8 4 18 2 0 10 4 4 10 6-1 2 0 4 2 2 0 10 4 4 10 6表6.3 m1=2,m2=100,d1=1,d2=1D11 D12 D22 IL If Cos21 402 200 100 402 2 0 202 100 100 202 102-1 2 0 100 2 2 0 202 100 100 202 10222 上上面面三三个个表表格格中中，靠靠右右两两列列表表明明关关节节1 1的的等等效效惯惯量量。表表

16、说说明明，对对于于无无负负载载的的机机械械手手来来说说，2 2 从从 00变变为为 180180，在在锁锁定定状状态态情情况况下下，等等效效惯惯量量I IL L的的变变化化为为 3:13:1。同同时时，在在2 200时时，锁锁定定状状态态（I IL L）和和自由状态（自由状态（I If f）等效惯量的变化也为）等效惯量的变化也为 3:13:1。从从表表6.26.2可可以以看看出出，对对于于加加载载机机械械手手，2 2从从 00变变为为 180180，在在 锁锁定定状状态态情情况况下下，等等效效惯惯量量I IL L的的变变化化为为 9 9:1:1。而而自自由由状状态态等等效效惯惯量量I If f

17、的变化为的变化为 3 3:1:1。对对于于表表6.36.3所所示示的的负负载载为为100100的的外外太太空空机机械械手手，在在不不同同状状态态下下惯惯量量的的变变化化竟竟为为 201201:1:1。这这些些关关联联的的变变化化情情况况对对于于机机械械手手的的控控制制问问题题将将有有重要的影响。重要的影响。6.3 机械手动力学方程机械手动力学方程(The Manipulator Dynamics Equation)推导机械手的动力学方程可按下述五个步骤进行推导机械手的动力学方程可按下述五个步骤进行l l首先计算机械手任意连杆上任意一点的速度首先计算机械手任意连杆上任意一点的速度 ；l l再计算

18、它的动能再计算它的动能 K K；l l然后推导势能然后推导势能 P P；l l形成拉格朗日算子形成拉格朗日算子 L=K L=K P P；l l对拉格朗日算子进行微分得到动力学方程对拉格朗日算子进行微分得到动力学方程 。假定机械手的连杆假定机械手的连杆 i i 上有一个点上有一个点 i ir r，它在基坐标中的位置为，它在基坐标中的位置为于是，它的速度就是速度的平方或者用矩阵形式表为（6.37）（6.39）（6.38）6.3.1 机械手上一点的速度机械手上一点的速度(The Velocity of a Point on the Manipulator)z0ziyxiryixiTi 根据方程根据方

19、程(6.38)(6.38)可得可得（6.40）在连杆在连杆i i上上 i ir r 处，质量为处，质量为 dm dm 的质点动能是的质点动能是 于是，连杆i的动能就是(6.42)(6.41)6.3.2 动能动能(The Kinetic Energy)式式(6.42)(6.42)中的积分称为伪惯量矩阵，可由下式确定中的积分称为伪惯量矩阵，可由下式确定 （6.43）回顾一下转动惯量，惯量叉积和物体的一阶动量的定义为回顾一下转动惯量，惯量叉积和物体的一阶动量的定义为 从而从而 (6.46)(6.44)(6.45)于是，于是，J Ji i 就能表示为就能表示为 （6.47）机械手的总动能就是（6.48

20、）上上面面这这个个方方程程表表示示了了机机械械手手结结构构的的动动能能，然然而而，动动能能还还有有另另外外一一个个重重要要组组成成部部分分，即即各各个个关关节节的的传传动动机机构构的的动动能能（对对非非直直接接驱驱动动机机械械手手而而言言）。我我们通过传动机构的惯量以及有关的关节速度表示这部分动能们通过传动机构的惯量以及有关的关节速度表示这部分动能 把Trace运算和求和运算相互交换一下，再加上传动机构的动能部分，最后得到机械手的总动能为在棱柱形滑动关节的情况下，Ia成为一个等价质量。(6.49)在在重重力力场场g g中中，一一个个物物体体的的质质量量为为m m，位位于于某某个个参参考考零零点

21、点之之上上的的高高度度为为h h，它的势能为它的势能为 P=m g hP=m g h (6.50)(6.50)如如果果由由重重力力引引起起的的加加速速度度表表示示为为矢矢量量g g，物物体体质质心心的的位位置置表表为为矢矢量量 ，那那么式么式(6.50)(6.50)就变为就变为 例如，在重力场中，g=0i+0jk，=10i+20j+30k，位于r处的质量m就有势能 966 nm。(6.51)6.3.3 势能势能(The Potential Energy)如果连杆如果连杆i i的质心用矢量的质心用矢量 表示，它相对于坐标系表示，它相对于坐标系 T Ti i 的势能为的势能为其中从而，机械手的总势

22、能就是(6.52)(6.54)(6.53)由式由式(6.49)(6.49)和和(6.54)(6.54)得到的得到的 K K 和和 P P，可计算拉格朗日算子可计算拉格朗日算子 L L=K-P K-P应用欧拉拉格朗日方程 我们就可求得动力学方程。(6.55)(6.56)6.3.4 拉格朗日算子拉格朗日算子(The Lagrangian)先求方程先求方程(6.56)(6.56)第一项中的偏微分第一项中的偏微分 把上式第二项中的脚标 j 变为 k，把第一项中Trace运算换成(6.57)我们就得到(6.58)6.3.5 动力学方程动力学方程(The Dynamics Equations)由于由于 (

23、p p i i 时时)，最后得到最后得到现在求式(5.59)对于时间t 的微分(6.59)(6.60)欧拉欧拉拉格朗日方程的第二项是拉格朗日方程的第二项是 把式(6.61)第二项中求和运算的脚标 j 换成 k，再把第二项与第一项合并，就得到(6.61)(6.62)按按照照方方程程(6.56)(6.56)，把把式式(6.60)(6.60)减减去去(6.62)(6.62)，再再把把式式(6.62)(6.62)中中求求和和运运算算的的脚脚标标j j换成换成m m，这样，式这样，式(6.62)(6.62)的第一项就与式的第一项就与式(6.60)(6.60)中的第三项抵消，可得到中的第三项抵消，可得到最

24、后，把求和运算的脚标 p 和 i 换成 i 和 j，就得到动力学方程(6.63)(6.64)这些方程与求和的次序是无关的，所以可以把方程这些方程与求和的次序是无关的，所以可以把方程(6.64)(6.64)重写为重写为其中(6.65)(6.66)(6.67)(6.68)上上面面这这些些式式子子与与在在第第6.2.36.2.3小小节节中中得得到到的的那那些些式式子子形形式式完完全全一一样样。其其中中形形式式为为 D Di i 的的项项表表示示关关节节 i i 的的等等效效惯惯量量；形形式式为为 D Dij ij 的的项项表表示示关关节节i i 和和关关节节 j j 之之间间的的耦耦合合惯惯量量；形

25、形式式为为 D Dijjijj 的的项项表表示示由由于于关关节节 j j 的的速速度度所所产产生生的的作作用用在在关关节节 i i 上上的的向向心心力力；形形式式为为 D Dijkijk 的的项项表表示示由由于于关关节节 j j 和和关关节节 k k 的的速速度度所所产产生生的的作作用用在在关关节节 i i 上上的的哥哥氏氏向向心心力力；最最后后，形形式式为为 D Di i 的项表示关节的项表示关节 i i 上的上的重力负载重力负载。惯惯量量项项和和重重力力项项在在机机械械手手的的控控制制中中特特别别重重要要，因因为为它它们们影影响响到到伺伺服服稳稳定定性性和和位位置置精精度度。向向心心力力和和哥哥氏氏向向心心力力仅仅当当机机械械手手高高速速运运动动时时才才比比较较重重要要，通通常常情情况况下下，由由它它们们造造成成的的误误差差比比较较小小。比比较较而而言言，转转动动机机构构的的惯惯量量 I Iai ai 往往往往很很大大，因因而而应应尽尽量量减减小小等等效效惯惯量量和和耦耦合合惯惯量量与与结结构的相关性。构的相关性。