概率论与数理统计习题.ppt

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1、概率论与数理统计典型习题讲解中国人民大学 统计学院李因果第一章 随机事件与概率1.2 随机事件的概率1.3 古典概型与几何概型一.古典概型1.4 条件概率例例2 2 一盒中混有100只新,旧乒乓球，各有红、白两色，分 类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。红白新4030旧2010设A-从盒中随机取到一只红球.B-从盒中随机取到一只新球.例例3 3 盒中有盒中有3 3个个红球，球，2 2个白球，每次从个白球，每次从盒盒中任取中任取一只，一只，观察其察其颜色后放回，并再放色后放回，并再放入一只与所取之球入一只与所取之球颜色相同的球，若从色相同的球，若从盒盒中中连

2、续取球取球4 4次次,试求第求第1 1、2 2次取得白球、次取得白球、第第3 3、4 4次取得次取得红球的概率。球的概率。例例4 4.市市场场上上有有甲甲、乙乙、丙丙三三家家工工厂厂生生产产的的同同一一品品牌牌产产品品，已已知知三三家家工工厂厂的的市市场场占占有有率率分分别别为为1/41/4、1/41/4、1/21/2，且且三三家家工工厂厂的的次次品品率率分分别别为为 2 2、1 1、3 3，试试求求市市场场上上该该品品牌产品的次品率。牌产品的次品率。二.有限个事件的独立性第二章 随机变量的分布与数字特征 2.1 随机变量及其分布一.随机变量的概念由第一章可知:随机试验具有:(1)结果的不确定

3、性;(2)结果往往表现为数量形式,或可以“数量化”.分布函数的性质分布函数的性质 1、单调不减性单调不减性：若：若x1x2,则则F(x1)F(x2);2、归一归一 性性：对任意实数：对任意实数x，0 F(x)1，且且 3、右连续性：对任意实数右连续性：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质分布函数的充分必要性质。一般地，对离散型随机变量一般地，对离散型随机变量 XPX=xkpk,k1,2,其分布函数为其分布函数为 离散型随机变量的分布函数是阶梯函数离

4、散型随机变量的分布函数是阶梯函数,分分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的可布函数的跳跃点对应离散型随机变量的可能取值点能取值点,跳跃高度对应随机变量取对应值跳跃高度对应随机变量取对应值的概率的概率;反之反之,如果某随机变量的分布函数是阶梯函如果某随机变量的分布函数是阶梯函数数,则该随机变量必为离散型则该随机变量必为离散型.XP四.离散型随机变量的分布函数五.连续型随机变量及其概率密度1.均匀分布均匀分布 若Xf(x)则称则称X在在(a,b)内服从均匀分布。记作内服从均匀分布。记作 XU(a,b)对任意实数对任意实数c,d(acd0的指数分布。的指数分布。其分布函数为其分布函数为解解 2.2 随

5、机变量的数字特征一.离散型随机变量的数字特征二.连续型随机变量的数学期望连续型随机变量函数的密度函数连续型随机变量函数的密度函数 1 1、一般方法、一般方法 若若X X f(x),-f(x),-x+x+,Y=g(X),Y=g(X)为随机变量为随机变量X X 的函数，则可先求的函数，则可先求Y Y的分布函数的分布函数 FY(y)PY yP g(X)y 然后再求然后再求Y的密度函数的密度函数此法也叫此法也叫“分布函数法分布函数法”2 2、公式法、公式法一般地一般地 若若X Xf fX X(x),y=g(x)(x),y=g(x)是是单调可导单调可导函数，则函数，则 注注：1 1 只有当只有当g(x)

6、g(x)是是x x的单调可导函数时，才可用以的单调可导函数时，才可用以上公式推求上公式推求Y Y的密度函数。的密度函数。2 2 注意定义域的选择注意定义域的选择其中其中h(y)h(y)为为y yg(x)g(x)的反函数的反函数.例例 设设X X U(0,1),U(0,1),求求Y=ax+bY=ax+b的概率密度的概率密度.(a0).(a0)解解:Y=ax+bY=ax+b关于关于x严单严单,反函数为反函数为故故而而故故 设随机变量设随机变量X X服从服从00，2 2 均匀分布，均匀分布，求求Y=sin(X)Y=sin(X)的概率密度。的概率密度。注注3 3 若若X Xf fX X(x)(x)，y

7、=g(x)y=g(x)关于关于X X分段严格单调，且分段严格单调，且在第在第i i个单调区间上，反函数为个单调区间上，反函数为h hi i(y),(y),则则Y=g(XY=g(X）的概率密度为的概率密度为四.数学期望的性质方差与标准差的定义方差与标准差的定义 方差的算术平方根方差的算术平方根 称为标准差称为标准差设设X是是一一个个随随机机变变量量，若若E(X-E(X)2，则则称称.D(X)=EX-E(X)2 为为X的方差的方差.方差的计算式方差的计算式:D(X)=E(X2)-E(X)2 说明说明:1.切贝谢夫不等式成立的条件是切贝谢夫不等式成立的条件是:存在存在.2.切贝谢夫不等式给出了随机变

8、量的离差的绝切贝谢夫不等式给出了随机变量的离差的绝 对值对值 与其方差与其方差DX的关系的关系.方差方差DX越小越小,随机变量随机变量X与其期望与其期望EX的的离差也越小离差也越小.EX()XEX的代表性强的代表性强.2.3 常用的离散型分布四.二项分布 对于固定对于固定n及及p，当，当k增增加时加时,概率概率P(X=k)先是随先是随之增加直至之增加直至 达到最大值达到最大值,随后单调减少随后单调减少.二项分布的图形特点：二项分布的图形特点：XB(n,p)当当(n+1)p不为整数时，二项概不为整数时，二项概率率P(X=k)在在k=(n+1)p达到最达到最大值；大值；(x 表示不超过表示不超过

9、x 的最大整数的最大整数)n=10,p=0.7nPk二项分布二项分布请看演示请看演示 2.4 常见的连续型分布一.均匀分布二.指数分布指数分布常用于描述各种“寿命”.三.正态分布 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置，决定了图形决定了图形中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度.正态分布正态分布 的图形特点的图形特点 设设X ,X的分布函数是的分布函数是 2.5 随机变量的函数的分布例如:已知离散型随机变量X的概率分布为:XPY=2X+3-5 -3 -1 1P 0 1 4 P例1例1例1例1例1例2例2例2例2例3例3例3例4例5（2010数学一、三）例6（2010数学一、三）例7（2010数学一、三）例8（2010数学一、三）例8（2010数学一、三）例8（2010数学一、三）例9（2009数学一、三）例10（2009数学一、三）例11（2009数学一、三）例11（2009数学一、三）例12（2009数学一、三）例12（2009数学一、三）例13（2009数学一、三）例13（2009数学一、三）例14（2008数学一、三）例15（2008数学一、三）例15（2008数学一、三）例15（2008数学一、三）例15（2008数学一、三）例16（2007数学一、三）例16（2007数学一、三）例16（2007数学一、三）