《数学物理方程》PPT课件.ppt

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1、数学物理方程 二阶常微分方程 二阶常微分方程n常用齐次定解问题n数学物理中的对称性n特殊函数常微分方程n常微分方程的级数解法n斯图姆刘维尔本征值问题n本章小结常用齐次定解问题n常用齐次定解问题的要素n常用齐次定解问题的分类n拉普拉斯算符的形式n拉普拉斯算符形式的推导常用齐次定解问题要素常用齐次定解问题的分类直角坐标极坐标球坐标稳定方程演化方程！拉普拉斯算符的形式二维三维直角坐标极柱坐标球坐标极坐标下拉普拉斯算符形式的推导极坐标下的形式直角坐标下的形式坐标变换关系微分变换关系极坐标下拉普拉斯算符形式的推导化为极坐标利用多元复合函数求导：（一）令则(1)(2)极坐标下拉普拉斯算符形式的推导由(1)

2、得由此解出极坐标下拉普拉斯算符形式的推导得算子再微分一次，并利用上式算子，得极坐标下拉普拉斯算符形式的推导(2)由得(A)极坐标下拉普拉斯算符形式的推导变换上式中对于类似得出：联立得所以因此数学物理中的对称性n对称性的概念q定义：对称性就是在某种变换下的不变性q分类n对称性的描述n对称性原理q当定解问题的泛定方程和定解条件都具有某种对称性时，它的解也具有同样的对称性。n对称性的应用对称性的分类对称性的描述对称性名称对称条件对称函数沿z轴反演对称沿z轴平移对称绕z轴转动对称绕原点转动对称对称性的应用柱坐标输运方程对称性未知函数泛定方程无任何对称性沿z轴平移对称绕z轴转动对称双重对称特殊函数常微分

3、方程n球坐标下拉普拉斯方程的分离变量q一般情况n欧拉方程，球函数方程，连带勒让德方程q轴对称情况n勒让德方程n极坐标下热传导方程的分离变量q一般情况n亥姆霍兹方程，贝塞尔方程q轴对称情况特殊函数特殊函数 n特殊函数一般是指某类微分方程的解又不能用初等函数的有限形式表示的函数.但是这类函数在应用中是常见的,比如勒让德函数,贝塞耳函数及许多正交多项式等;另外一些是由特定形式的积分所定义的函数,如 -函数,B-函数.还有从函数的周期性的角度来考虑的所谓椭圆函数,这类函数与微分方程无关.本章除了介绍这些函数的概念外,还给出关于函数的一些积分、级数和无穷乘积等表达式、渐近形式、函数之间的关系以及它们的常

4、用性质.特殊函数范例特殊函数范例n引用如下符号-伽马函数伽马函数式中 为正整数，为任意数.n由积分定义的特殊函数由积分定义的特殊函数 3.特殊函数特殊函数n伽马函数（伽马函数（-函数）函数）-函数的定义与其他表达式 1o 2o 积分路线从负实轴上无穷远处 出发，正向绕原点一周，再回到出发点 n由积分定义的特殊函数由积分定义的特殊函数 3特殊函数特殊函数3o 4o 式中 称为欧拉常数。n由积分定义的特殊函数由积分定义的特殊函数 3特殊函数特殊函数-函数有关公式 为正整数特别 （余元公式）特别 n由积分定义的特殊函数由积分定义的特殊函数 3特殊函数特殊函数n由积分定义的特殊函数由积分定义的特殊函数

5、 殊函数殊函数可化为 -函数的积分 n1由积分定义的特殊函数由积分定义的特殊函数 特殊函数特殊函数3o 4o 式中 称为欧拉常数。n由积分定义的特殊函数由积分定义的特殊函数 特殊函数特殊函数-函数有关公式 为正整数特别 （余元公式）特别 n由积分定义的特殊函数由积分定义的特殊函数 特殊函数特殊函数n由积分定义的特殊函数由积分定义的特殊函数 特殊函数特殊函数可化为 -函数的积分 球坐标下拉普拉斯方程球坐标下拉普拉斯方程极坐标下热传导方程常微分方程的级数解法n常微分方程中点的常微分方程中点的分类分类n各点邻域级数各点邻域级数解的形式解的形式n勒让德方程勒让德方程的级数解的级数解n贝塞尔方程贝塞尔方

6、程的级数解的级数解常微分方程中点的分类n二阶变系数常微分方程的一般形式qw”+p(z)w+q(z)w=0n方程中点的分类q常点：z0 是 p(z)和 q(z)的解析点q正则奇点：z0 是(z-z0)p 和(z-z0)2 q 的解析点 q非正则奇点：其它情况各点邻域级数解的形式n非正则奇点 z0 邻域q有一解为常点z0邻域两解均为正则奇点 z0 邻域有一解为其中 s 由判定方程确定a00贝塞尔方程的级数解ak0=0贝塞尔方程的级数解贝塞尔方程的级数解性质：奇偶性：m为奇偶整数时，Jm和Nm为奇偶函数；收敛性：特解的收敛半径为 ；有界性：在 x 0，m0 时,Jm有界，Nm发散。斯图姆刘维尔本征值

7、问题n本征值问题本征值：使带边界条件的常微分方程有非零解的参数值本征函数：相应的非零解本征值问题：求本征值和本征函数的问题n斯特姆刘维尔本征值问题q斯特姆刘维尔型方程q斯特姆刘维尔型边界条件n斯特姆刘维尔本征值问题的性质q可数性：存在可数无限多个本征值；q非负性：所有本征值均为非负数；q正交性：对应不同本征值的本征函数带权正交；q完备性：满足边界条件的光滑函数可以按本征函数展开。斯特姆刘维尔本征值问题n斯特姆刘维尔型方程其中k(x)、q(x)和(x)都非负；k(x)、k(x)和q(x)连续或以端点为一阶极点。斯特姆刘维尔型边界条件三类齐次边界条件周期性边界条件有界性边界条件斯特姆刘维尔本征值问题abkq 本征值问题0L1010L101-111-x2010bxm2/xx本征函数集合的正交性和完备性正交性完备性展开系数本征函数集合的正交性和完备性例题1问题本征函数正交性完备性本征函数集合的正交性和完备性例题2问题本征函数正交性完备性本征函数集合的正交性和完备性例题3问题本征函数正交性完备性本章小结