《极限运算》PPT课件.ppt

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1、第一章函数极限连续第一章函数极限连续第一章函数极限连续第一章函数极限连续第三节极限运算第三节极限运算第三节极限运算第三节极限运算一、无穷小量及其运算一、无穷小量及其运算一、无穷小量及其运算一、无穷小量及其运算二、极限的运算法则二、极限的运算法则二、极限的运算法则二、极限的运算法则三、两个重要极限三、两个重要极限三、两个重要极限三、两个重要极限一、无穷小量及其运算一、无穷小量及其运算一、无穷小量及其运算一、无穷小量及其运算若函数若函数 a a=a a(x)在在 x 的某种趋向下以零为极限的某种趋向下以零为极限，则则称称函函数数 a a=a a(x)为为 x 的的这这种种趋趋向向下下的的无无穷穷小

2、小量量，简称为无穷小简称为无穷小.例如，函数例如，函数 a a(x)=x x0，当当 xx 0 时，时，a a(x)0，所所以以 a a(x)=x x 0 是是当当 x x0 时时的的无无穷穷小小量量.它它 是是 当当 x 时时的的无无穷穷小小量量.是是当当 x +时时的的无无穷穷小小量量.定理定理 1若函数若函数 y=f(x)在在 x x0 (或或 x)时时的极限为的极限为 A，则则 f(x)=A a a(x)(简记简记 y=A a)，定理定理 2有限个无穷小有限个无穷小(当当 x x0 或或 x 时时)的代数的代数和仍然是无穷小量和仍然是无穷小量.反之若反之若则则 A 为为 f(x)的极限

3、，的极限，定理定理 3有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量.证证设函数设函数 f(x)有界有界.|f(x)|MM .又又 a a(x)是是无无穷穷小小量量，即即|a a(x)|e e(e e 为为任任意意小小的正数的正数)，则则|a a(x)f(x)|=|a a(x)|f(x)|M(M 0)时时，有有则则OxRABC证证 AOB 面积面积 扇形扇形AOB 面积面积 M，M 0 时时)，满足满足 u(x)v(x)或或 u(x)M,M 0 时时)，f(x)0(或或 0)，lim f(x)0 (或或 0).).则则则则2 2.第二个重要极限第二个重要极限第二个重要极限

4、第二个重要极限定理定理 8单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.证证因为由因为由例例由此可知，由此可知，un+1 的前的前 n 项不小于项不小于 un 的相应项，的相应项，而且而且 un+1 比比 un 的展开式的展开式 所以所以 un+1 un.因此因此un 是是单调递增数列单调递增数列.此外，由此外，由 un 的展开式可得的展开式可得所以所以 un 是有界数列是有界数列.综上所述，综上所述，un 是单调有界数列，因此极是单调有界数列，因此极限存在限存在.我们还可以证明，我们还可以证明，都有极限，且都有极限，且人们记这个极限为数人们记这个极限为数 e，于是有，于是有数数 e 是一个无理数

5、，是一个无理数，它的近似值可由它的近似值可由展开式中取前若干项计算，展开式中取前若干项计算，以以 e 为为底底的的指指数数函函数数 y =ex 的的反反函函数数 y=logex，叫叫做做自自然然对对数数，在在工工程程技技术术中中经经常被运用，常简记为常被运用，常简记为 y=ln x.它的前八位数是它的前八位数是 e=2.718 281 8 解解因为因为所以，有所以，有例例 14例例 15 解解方法一方法一令令 u=-x，因为因为 x 0 时时 u 0，所以所以方法二方法二掌握熟练后可不设新变量掌握熟练后可不设新变量例例 16解解则当则当 x 0 时，时，u e，所以原式所以原式=1，即，即例例 17解解令令 u=ex-1，则则 x=ln(1+u)，当当 x 0 时时 u 0.所以所以例例 18解解因为因为所以令所以令 u=x -3，当当 x 时时 u ，因此因此例例 19解解