《复变函数》PPT课件.ppt

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1、 复变函数的主要研究对象是解析函数复变函数的主要研究对象是解析函数.因为，一因为，一方面它具有比较良好的性质，如能展成幂级数，具方面它具有比较良好的性质，如能展成幂级数，具有任意阶导数，实、虚部皆为调和函数；另一方面有任意阶导数，实、虚部皆为调和函数；另一方面这也是实际问题中应用较为广泛的一类函数，如平这也是实际问题中应用较为广泛的一类函数，如平面无旋流体的流函数与势函数，静电场中的电通量面无旋流体的流函数与势函数，静电场中的电通量和电位，它们皆与解析函数有密切联系和电位，它们皆与解析函数有密切联系.第二章第二章 解析函数解析函数1 主要内容：主要内容：1 1 1 1、解析函数的概念；、解析函

2、数的概念；、解析函数的概念；、解析函数的概念；2 2 2 2、函数可导与解析的充要条件；、函数可导与解析的充要条件；、函数可导与解析的充要条件；、函数可导与解析的充要条件；3 3 3 3、初等函数、初等函数、初等函数、初等函数.第二章第二章 解析函数解析函数2 1 1 解析函数的概念解析函数的概念实函数的导数实函数的导数34 1、导数定义、导数定义定义定义 设函数设函数w=f(z)zD,且且z0、z0+zD，如果极限如果极限 存在，则称函数存在，则称函数f(z)在点在点z0处可导。处可导。称此极限值为称此极限值为f(z)在在z0的导数，的导数，记作记作 如果如果w=f(z)在区域在区域D内处处

3、可导，则称内处处可导，则称f(z)在区域在区域D内可导内可导.5 应当注意应当注意,定义中定义中z0+Dzz0(即即Dz0)的方式是任的方式是任意的意的,定义中极限值存在的要求与定义中极限值存在的要求与z0+Dzz0的方的方式无关式无关,也就是说也就是说,当当z0+Dz在区域在区域D内以任何方内以任何方式趋于式趋于z0时时,比值比值若上述极限不存在，则称函数在若上述极限不存在，则称函数在z0 0点不可导点不可导.6微分微分称为称为f(z)在在z0处的微分处的微分.7例例1 解解8例例2 解解2 2 2 2、可导与连续之间的关系可导与连续之间的关系可导与连续之间的关系可导与连续之间的关系9注：与

4、实变函数一样，一个复变函数连续不一定可导！注：与实变函数一样，一个复变函数连续不一定可导！10实变函数的连续与可导实变函数的连续与可导如果函数图像在某一点有角，那么虽然图像时连续的但是由于不能在一个角上确定它的切线，从而不能确定切线的斜率，也就不能确定导数，所以导数不存在 只要可导，那么在这一点就是有定义的，并且由于有定义，所以在这一点的极限值等于函数值，从而确定是连续的，也就是说的可导必连续。11与实函数一样，可导一定连续与实函数一样，可导一定连续.事实上事实上,由在由在z0 0点可导的定义点可导的定义,对于任给的对于任给的e e 0,相应地有一个相应地有一个d d 0,使当使当0|D Dz

5、|d d 时时,有有12由于复函数与实函数的导数定义和极限运算法则在由于复函数与实函数的导数定义和极限运算法则在形式上完全一致，因而二者具有相同的求导法则：形式上完全一致，因而二者具有相同的求导法则：3 3 3 3、求导法则求导法则求导法则求导法则 13（5）反函数的导数）反函数的导数 ，其中，其中 w=f(z)与与z=(w)互为单值的反函数，且互为单值的反函数，且 (w)0.这样，我们知道多项式处处可导这样，我们知道多项式处处可导.例如，例如，另外，有理分式在分母不为零的点处可导另外，有理分式在分母不为零的点处可导.144 4、解析函数的概念解析函数的概念解析函数的概念解析函数的概念不解析的

6、点称为不解析的点称为奇点奇点.注：注：（1 1）可导与解析是两个完全不同的概念，解析）可导与解析是两个完全不同的概念，解析一定可导，但可导未必解析一定可导，但可导未必解析.不解析的点可能可导，不解析的点可能可导，即解析的条件比可导要强，但我们却有以下结论：即解析的条件比可导要强，但我们却有以下结论：若函数在区域若函数在区域D内可导，则在内可导，则在D内一定解析内一定解析.即在区域上，可导与解析是等价的即在区域上，可导与解析是等价的.（为什么？）（为什么？）例如例如:以以z=0为奇点为奇点15关于解析函数一些作者不用解析而用各种不同的名关于解析函数一些作者不用解析而用各种不同的名称，例如全纯，正

7、则，解析正则，单演，伴生称，例如全纯，正则，解析正则，单演，伴生（synecticsynectic）等）等16例例3 答案：答案：1718极限不存在极限不存在.192021例例4解解22定理定理1.1 1.1 解析函数的和、差、积、商仍为解析函解析函数的和、差、积、商仍为解析函数数.由求导法则，不难看出：由求导法则，不难看出：定理定理1.2 1.2 解析函数的复合函数仍为解析函数解析函数的复合函数仍为解析函数.232 2 函数可导与解析的条件函数可导与解析的条件 本节内容：本节内容：介绍一种判别函数可导性、解析性的非介绍一种判别函数可导性、解析性的非常有效的方法；建立函数的可导性与其实、虚部的

8、偏常有效的方法；建立函数的可导性与其实、虚部的偏导之间的关系导之间的关系.24举例尝试举例尝试容易求得容易求得观察、寻找联系后发现有观察、寻找联系后发现有25究竟是偶然的现象还是必然的规律？究竟是偶然的现象还是必然的规律？为方便起见，对于实二元函数为方便起见，对于实二元函数 g(x,y),记记26定理定理1 函数函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点在点 可导的充要条件是可导的充要条件是 u(x,y)和和 v(x,y)在在 可微，且在该点满足可微，且在该点满足Cauchy-Riemann方程方程(1)此条件也被称为达朗贝尔此条件也被称为达朗贝尔-欧拉条件欧拉条件注注(2)这个条件实际上

9、是复变函数论与偏微分方程理这个条件实际上是复变函数论与偏微分方程理 论之间的一座桥梁。论之间的一座桥梁。27推论推论1 函数函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y),如果如果u(x,y)和和 v(x,y)的四个偏导数的四个偏导数:在点在点(x,y)处连续处连续,且满足且满足C-R方程，则方程，则f(z)在点在点z=x+iy处可导。处可导。28定理定理2 函数函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在D内解析充要内解析充要 条件是条件是 u(x,y)和和 v(x,y)在在D内可微，且内可微，且 满足满足Cauchy-Riemann方程方程29推论推论2 函数函数f(z)=u(x,y)+iv

10、(x,y),在区域在区域D内有内有定义，如果在定义，如果在D内内u(x,y)和和 v(x,y)的四个偏的四个偏导数导数:存在且连续存在且连续,并且满足并且满足C-R方程，则方程，则f(z)在在D内内解析。解析。30例例2.1 判定下列函数在何处可导判定下列函数在何处可导,在何处解析在何处解析:解解不满足柯西黎曼方程不满足柯西黎曼方程,31四个偏导数四个偏导数均连续均连续指数函数指数函数32四个偏导数均连续四个偏导数均连续33例例2.2 解解34例例证明证明35小小 结结1、导数导数的概念，复变函数求导法则的概念，复变函数求导法则.2、解析解析的概念，的概念，解析与可导的关系解析与可导的关系.3、判别复变函数可导与解析性的有效方法：、判别复变函数可导与解析性的有效方法：柯西柯西黎曼定理黎曼定理.f(z)在区域在区域D内可导内可导f(z)在区域在区域D内解析内解析 f(z)在在z0点解析点解析 f(z)在在z0点可导点可导 f(z)在在z0点连续点连续 36 思考题：思考题：思考题：思考题：判别真、假：判别真、假：37