《根轨迹法》PPT课件.ppt

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1、第五章第五章 根轨迹法根轨迹法 5.1 5.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 根轨迹定义：根轨迹定义：以系统中某一参数（通常为开环增益以系统中某一参数（通常为开环增益K K）为变量，当变量由）为变量，当变量由0 0变化到无变化到无穷时，在穷时，在S S复平面上描绘的复平面上描绘的系统闭环特征方程根的分布曲线系统闭环特征方程根的分布曲线。根轨迹分析法的特点：根轨迹分析法的特点：利用系统开环传递函数的零、极点信息，依据一些简单规则，绘制闭利用系统开环传递函数的零、极点信息，依据一些简单规则，绘制闭环系统的根轨迹图（闭环极点分布图），间接研究闭环系统的性质。它环系统的根轨迹图（闭环极点分布图

2、），间接研究闭环系统的性质。它可避免求解闭环系统特征方程根的复杂运算，是求解闭环系统特征方程可避免求解闭环系统特征方程根的复杂运算，是求解闭环系统特征方程根的一种根的一种简便图解法简便图解法。基于根轨迹法的系统设计思想：基于根轨迹法的系统设计思想：闭环系统特征方程根的分布可决定系统的稳定性、静态和动态性能，闭环系统特征方程根的分布可决定系统的稳定性、静态和动态性能，是综合体现系统设计的性能指标。工程设计中通常是提出希望的闭环系是综合体现系统设计的性能指标。工程设计中通常是提出希望的闭环系统极点（特征根）分布指标要求，通过根轨迹图，确定满足指标要求的统极点（特征根）分布指标要求，通过根轨迹图，确

3、定满足指标要求的系统参数，完成控制系统的设计。系统参数，完成控制系统的设计。基于根轨迹的设计方法是控制系统设基于根轨迹的设计方法是控制系统设计的一种有效简便的图解方法。计的一种有效简便的图解方法。-10jsK=0K=0闭环特征方程：闭环特征方程：说明说明：该图为闭环特征方程关于开环增益参数K（0，）的根轨迹图。一个K值对应根轨迹上一组根，箭头表示K增大时闭环极点（特征根）移动的方向。由根轨迹图可直观分析系统稳定性和动态性能：K取任何值，闭环极点总分布于左半平面，系统稳定；给定K值可确定闭极点位置（特性）。本例是通过计算特征根描绘根轨迹的，一般复杂系统根轨迹绘制不采用复杂的计算法，是依据一定简单

4、规则绘制的，例如根轨迹起点于开环极点等。Ks(s+1)K:0 S2+s+K=0特征根：特征根：s1,2=1/21/214kK=0时，时，s1=0,s2=10K0.25 时，有两个负实根时，有两个负实根 ；K=0.1时，时，s1=0.113,s2=0.887K=0.25时，时，s1=s2=0.5 0.25K时，时，s1，2=0.50.5j4K1根轨迹概念举例分析根轨迹概念举例分析 5.2.1 5.2.1 模条件与角条件模条件与角条件 1、根轨迹应满足的基本条件根轨迹应满足的基本条件 设系统开环传递函数一般形式为：设系统开环传递函数一般形式为：G0(S)=KN(S)/D(s)闭环特征方程为：闭环特

5、征方程为：G0(S)+1=0，或，或G0(S)=-1 当当s取某一复数值时，方程左端是一个复数，可用极坐标摸角形式表示为：取某一复数值时，方程左端是一个复数，可用极坐标摸角形式表示为：G0(S)=G0(S)ejargG(s)=-1ejarctg(0/-1=0)依据依据方程两端摸角相等，可得到特征根应满足的摸角特方程两端摸角相等，可得到特征根应满足的摸角特征方程表达式：征方程表达式：摸值摸值G0(S)=KN(s)/D(S)=1 （摸值条件）（摸值条件）相角相角 arg arg G0(S)=(2k+1)，k=0,1,2,（相角相角条件）条件）这就是特征根这就是特征根s*应满足的摸角条件。应满足的摸

6、角条件。对应对应K:0 的取值，的取值，在在s平面上满足摸角条件的特征根轨迹，称为平面上满足摸角条件的特征根轨迹，称为关于增益参数关于增益参数K的根轨迹的根轨迹-简称根轨迹简称根轨迹。摸角条件也称为摸角条件也称为关于增益参数关于增益参数K的的根根轨迹方程。轨迹方程。根轨迹上所有点都应满足摸角条件，反之，凡是根轨迹上所有点都应满足摸角条件，反之，凡是满足摸角条件的点满足摸角条件的点s都属于根轨迹。都属于根轨迹。5.2 根轨迹的基本特性及绘制规则根轨迹的基本特性及绘制规则mn-(i=1j=11+K*=0(sszipj)pi开环极点开环极点“”,也是常数！也是常数！开环零点开环零点“”,是是常数！常

7、数！Zj根轨迹增益根轨迹增益K*，不是定数，从，不是定数，从0 变化变化这种以参数这种以参数增益增益K*为参变量为参变量的特征方程的特征方程就是就是根轨迹方程根轨迹方程 s是什么？是什么？请问；请问；闭环特征方程闭环特征方程 为：为：1+G0=0，即：，即：2 2、摸角条件更具体的形式、摸角条件更具体的形式 设系统开环传递函数用零极点表示为：设系统开环传递函数用零极点表示为：G G0 0(S)=K(S)=K*N(S)/D(s)=KN(S)/D(s)=K*(s-Z(s-Z1 1)(s-Z)(s-Zm m)/(s-p)/(s-p1 1)(s-p)(s-pn n)根轨迹的模值条件与相角条件根轨迹的模

8、值条件与相角条件j=1mn1+K*=0(ss-zjpi)i=1j=1mnK*=1 ss-zjpii=1-1K*=mnj=1 s-zj s-pii=1arg(s-zj)arg(s-pi)=(2k+1),k=0,1,2,j=1 i=1m n相角条件相角条件:模值条件模值条件:K*=mnj=1 s-zj s-pii=14、基于、基于模条件与角条件可得到如下的根轨迹性质：模条件与角条件可得到如下的根轨迹性质：1 1、系统闭环特征根、系统闭环特征根s s*的根轨迹与开环传递函数的根轨迹与开环传递函数G G0 0(S)(S)的零的零点点Z Zj j和极点和极点p pj j的分布有关，即的分布有关，即由开环

9、传递函数由开环传递函数G G0 0(S)(S)的零极的零极点分布状况可确定系统闭环特征根点分布状况可确定系统闭环特征根s s*的分布。的分布。2 2、角条件与开环增益参数、角条件与开环增益参数K K*无关。说明所有满足角条件无关。说明所有满足角条件方程的根方程的根s s*一定位于根轨迹上，一定位于根轨迹上，角相条件是绘制根轨迹的充角相条件是绘制根轨迹的充分必要条件。分必要条件。3 3、任意、任意特征根特征根s s*对应的对应的K K值，可根据摸值值，可根据摸值条件来确定。条件来确定。3、模角条件的几何意义、模角条件的几何意义角条件：角条件：各各开环零点开环零点Z Zj j指向轨迹点指向轨迹点s

10、 s方向角总方向角总和和-各各开环极点开环极点p pj j指向轨迹点指向轨迹点s s方向角总和方向角总和=（2k+1)2k+1)（指向正左方（指向正左方)，s s属于根轨迹。属于根轨迹。摸条件：摸条件：各各开环极点开环极点p pj j指向轨迹点指向轨迹点s s的矢量长的矢量长度的乘积，除以度的乘积，除以各各开环零点开环零点Z Zj j指向轨迹点指向轨迹点s s的的矢量长度的乘积，所得的商就是点矢量长度的乘积，所得的商就是点s s对应的根对应的根轨迹增益系数轨迹增益系数K K的值。的值。规则规则1 1 根轨迹的对称性（坐标位置规则）根轨迹的对称性（坐标位置规则）-关于实轴对称关于实轴对称。因为特

11、征根因为特征根s s*只能是两种类型：实数根只能是两种类型：实数根（位于实轴上）或一对共轭复数根（实部相（位于实轴上）或一对共轭复数根（实部相同，虚部关于实轴对称），同，虚部关于实轴对称），只绘制一半轨迹只绘制一半轨迹即可即可 5.2.2 5.2.2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 绘制根轨迹有绘制根轨迹有2 2种方法：种方法：描点法和基于规则的描点法和基于规则的简便近似法。简便近似法。描点法：描点法：根据参数变量根据参数变量K K的不同取值，解析求的不同取值，解析求解根轨迹方程的解或试探确定满足根轨迹方程解根轨迹方程的解或试探确定满足根轨迹方程的解，然后逐一描点获得根轨迹。这种方法

12、对的解，然后逐一描点获得根轨迹。这种方法对于高阶系统一般是很困难的。于高阶系统一般是很困难的。基于规则的简便近似法：基于规则的简便近似法：把摸相条件（根轨把摸相条件（根轨迹方程）近似为某些规则，这些规则能近似反迹方程）近似为某些规则，这些规则能近似反映根轨迹的主要特征，按照这些规则步骤绘制映根轨迹的主要特征，按照这些规则步骤绘制获得满足摸相条件（根轨迹方程）的近似根轨获得满足摸相条件（根轨迹方程）的近似根轨迹。迹。规则规则2、根轨迹的起点，终点及分支数（条数）确定根轨迹的起点，终点及分支数（条数）确定规则。规则。起点规则起点规则：K=0K=0时根轨迹位置时根轨迹位置=开环传递开环传递函数函数G

13、 G0 0(S)(S)的的n n个极点位置。个极点位置。由摸条件可知，由摸条件可知，K=0K=0时有时有s-ps-pi i=0,=0,根轨迹根轨迹起始于所有起始于所有开环极点处开环极点处 终点规则：终点规则：K=K=时根轨迹位置时根轨迹位置-m m个有限个有限开环零点位置和开环零点位置和n-mn-m个无穷开环零点位置。个无穷开环零点位置。由摸条件可知，由摸条件可知，K=K=时有时有s-zs-zj j=0,=0,根轨迹根轨迹终止于终止于m m个有限个有限开环零点处，开环零点处，n-mn-m个无穷开环个无穷开环零点零点(说明说明见见P243）分支数规则：分支数规则：根轨迹条数根轨迹条数=开环极点数

14、开环极点数n n。因为，因为，根轨迹起始于开环极点终止于开根轨迹起始于开环极点终止于开环零点。环零点。对应一个参数变量对应一个参数变量K K值摸值条件方值摸值条件方程有程有n n个根，所以有个根，所以有n n条）条）规则规则3 3 根轨迹在实轴上的分布规则根轨迹在实轴上的分布规则 若若实轴上某点实轴上某点s s1 1右侧开环零极点个数之和为奇数，右侧开环零极点个数之和为奇数，则该点所在实轴段为根轨迹则该点所在实轴段为根轨迹。若若右侧开环零极点个数之和为偶数或右侧开环零极点个数之和为偶数或0 0，则该点，则该点 所在实轴段不是根轨迹所在实轴段不是根轨迹。证明见证明见P P243243图图5.5,

15、5.5,结论：所有共轭复数型开环零极点结论：所有共轭复数型开环零极点指向指向s s1 1的方向角之和的方向角之和=0=0（或（或2k2k）,所有位于所有位于s s1 1左侧的左侧的实数型开环零极点指向实数型开环零极点指向s s1 1的方向角的方向角=0=0，所有位于，所有位于s s1 1右右侧的实数型开环零极点指向侧的实数型开环零极点指向s s1 1的方向角的方向角=，所以，只，所以，只有有s s1 1右侧开环零极点个数之和为奇数，才能满足角条右侧开环零极点个数之和为奇数，才能满足角条件件=(2k+1).=(2k+1).规则规则4 4 根轨迹根轨迹(终止于无穷零点终止于无穷零点)的渐进线绘制规

16、则的渐进线绘制规则 根轨迹有根轨迹有n-mn-m条渐进线条渐进线 （终止于无穷零点（终止于无穷零点-终点规则）终点规则）；渐进线与实轴交点坐标渐进线与实轴交点坐标 =(=(极点坐标极点坐标)-()-(零点坐标零点坐标)/(n-m);)/(n-m);渐进线方向角渐进线方向角=（2k+1)/(n-m).2k+1)/(n-m).s s，角条件变为，角条件变为m m-n=-n=（2k+1),2k+1),依据规依据规则则1 1（关于实轴对称（关于实轴对称-与实轴相交），证明见与实轴相交），证明见P P244-245244-245 本例本例:3:3条渐进线条渐进线,方向角为方向角为/3,-/3,/3,-/

17、3,坐标坐标=0-1-2-0/(3-0)=-1=0-1-2-0/(3-0)=-1规则规则5 5 根轨迹分离点和会合点确定规则根轨迹分离点和会合点确定规则 因为根轨迹起始于开环极点终止于开环零点。因为根轨迹起始于开环极点终止于开环零点。所以，实轴上相邻极点间线段为根轨迹，则必存所以，实轴上相邻极点间线段为根轨迹，则必存在根轨迹分离点。在根轨迹分离点。分离点确定：分离点确定：dGdG0 0(S)/ds=0,(S)/ds=0,(重根计算法：分重根计算法：分离点为重根点离点为重根点)实轴上相邻零点间线段为根轨迹，则必存在实轴上相邻零点间线段为根轨迹，则必存在根轨迹会合点。根轨迹会合点。会合点确定：会合

18、点确定：dG dG0 0(S)/ds=0,(S)/ds=0,(重根计算法：重根计算法：会合点为重根点会合点为重根点)重根计算法依据：重根计算法依据：S S1 1是是2 2重根，必有重根，必有f(Sf(S1 1)=0)=0和和f f(S(S1 1)=0)=0同时成立。同时成立。依据相角条件的试探法略，依据相角条件的试探法略，见见P P247247）本例本例:dG:dG0 0(S)/ds=3s(S)/ds=3s2 2+6s+2=0,S+6s+2=0,S1 1=-0.423=-0.423，分离点，分离点 规则规则6 6 实轴上分离点分离角和会合点会合角的确定实轴上分离点分离角和会合点会合角的确定 分

19、离角和会合角（离开分离点和进入会合点分离角和会合角（离开分离点和进入会合点时根轨迹切线方向角）：恒时根轨迹切线方向角）：恒=90=900 0。（依据相角条件，证明见（依据相角条件，证明见P P247-248247-248）规则规则7 7 根轨迹在开环复极点（或复零点）处的根轨迹在开环复极点（或复零点）处的切线方向切线方向角角,为根轨迹的为根轨迹的出射角出射角(或入射角或入射角).).出射角出射角=(=(各零点指向该极点的方向角各零点指向该极点的方向角)-()-(其他其他极点指向该极点指向该极点的方向角极点的方向角)-(2k+1)-(2k+1)（依据相角（依据相角条件，证明见条件，证明见P P2

20、49249）入射角入射角=(各极点指向该零点的方向角各极点指向该零点的方向角)-(其其他零点指向该零点的方向角他零点指向该零点的方向角)+(2k+1)本例本例:p:p1 1=-1+j1,p=-1+j1,p2 2=-1-j1,p=-1-j1,p3 3=0,p=0,p4 4=-3,z=-3,z1 1=-2,p=-2,p1 1-z1=1-j1,arctg=1-j1,arctg(p1-z1)=-45)=-450 0,1 1=-45=-450-0-(-135(-1350 0-90-900000)-180)-1800000 规则规则8 8 根轨迹与虚轴的交点及临界根轨迹增益根轨迹与虚轴的交点及临界根轨迹增

21、益K K值确值确定规则定规则 根轨迹与虚轴有交点说明特征方程有共轭虚根轨迹与虚轴有交点说明特征方程有共轭虚根根s=js=j。解特征方程：解特征方程：1+G 1+G0 0(j)=1+(j)=1+K*N(jj)/D(jj)=0 0，即解方程组：即解方程组：Re1+Re1+K*N(jj)/D(jj)=0 Im1+1+K*N(jj)/D(jj)=0 可得到可得到虚轴的交点坐标虚轴的交点坐标和对应的临界根轨和对应的临界根轨迹增益值迹增益值K*试探法说明见试探法说明见P P249249 规则规则9 9 闭环极点的和与积闭环极点的和与积 基于代数方程根与系数的关系，对下列闭环特征方基于代数方程根与系数的关系

22、，对下列闭环特征方程的根程的根S Si i与系数与系数a ai i之间有下列之间有下列和与积的和与积的关系。关系。利用该关系可在已知某些根时求解另外的根。利用该关系可在已知某些根时求解另外的根。*对给定的开环传递函数依据各规则绘制根轨迹的基本步骤：对给定的开环传递函数依据各规则绘制根轨迹的基本步骤：1、标注根轨迹的、标注根轨迹的起点和终点（起点和终点（在复平面上分别用符号在复平面上分别用符号“”和和“O”）；（起始于起始于n n个开环极点，终止于个开环极点，终止于m m个开环零点和个开环零点和n-mn-m个无穷零点个无穷零点）2 2、绘制实轴上部分的根轨迹（、绘制实轴上部分的根轨迹（用粗箭头线

23、用粗箭头线“”和和“O”）（实轴上右侧开环零极点个数之和为奇数的区段）（实轴上右侧开环零极点个数之和为奇数的区段）3 3、绘制非实轴部分的根轨迹、绘制非实轴部分的根轨迹:(1)(1)绘制无穷零点的渐进线（绘制无穷零点的渐进线（n-mn-m条）条）实轴交点坐标实轴交点坐标=P=Pj j-Z-Zi i/(n-m);/(n-m);方向角方向角=（2k+1)/(n-m)2k+1)/(n-m)(2)(2)确定实轴上确定实轴上相邻极点间相邻极点间分离点分离点 相邻零点间相邻零点间会合点会合点 分离分离(会合会合)点坐标点坐标S S1 1：求解方程：求解方程dGdG0 0(S(S1 1)/ds=0)/ds=

24、0，分离分离(会合会合)角角=90=900 0 (3)(3)确定复数极点起点的出射角确定复数极点起点的出射角 复数零点终点的入射角复数零点终点的入射角 出射角出射角=(=(零点指向该极点方向角零点指向该极点方向角)-()-(其他极其他极点指向该极点方向角点指向该极点方向角)-(2k+1)-(2k+1)(4)(4)确定根轨迹与虚轴交点确定根轨迹与虚轴交点(临界根轨迹增益临界根轨迹增益K K值值)另另s=js=j，代入闭环特征方程，代入闭环特征方程,求解求解 Re1+G Re1+G0 0(j)(j)=0和和Im1+G1+G0 0(j)(j)=0方程组方程组 (5)(5)基于渐进线、分离点、会合点、

25、出射角、入射基于渐进线、分离点、会合点、出射角、入射角、虚轴交点，绘制非实轴部分的根轨迹。角、虚轴交点，绘制非实轴部分的根轨迹。j0-1(1)正实轴上的点正实轴上的点s1，arg(s1-0)=0,arg(s1-(-1)=0,不属于根轨迹；不属于根轨迹；(2)实轴上原点与实轴上原点与-1点之间的点点之间的点s2，arg(s2)=;arg(s2+1)=0;属于根轨迹；属于根轨迹；(3)实轴上实轴上-1点左边的点点左边的点s3，args3=,arg(s3+1)=不属于根轨迹；不属于根轨迹；(4)实轴以外的点实轴以外的点s4，2 1 3 2+1=或或 2 3属于根轨迹；属于根轨迹；0j-15.3 根轨

26、迹绘制举例根轨迹绘制举例开环零点开环零点-2，根轨迹的绘制举例根轨迹的绘制举例0Im-1Re-3-2 开环极点开环极点0、-3、-1+j1、-1-j11.根轨迹关于实轴对称；根轨迹关于实轴对称；2.根轨迹有根轨迹有n条条(n=4)分支分支,起点是开起点是开环极点，环极点，有有m条条(m=1)的终点是开环的终点是开环零点，其余的终点在零点，其余的终点在 无穷远无穷远3.试探点右侧实零点与实极点数试探点右侧实零点与实极点数目之和是奇数，则该段实轴属于目之和是奇数，则该段实轴属于根轨迹；根轨迹；4.根轨迹渐近线根轨迹渐近线 其角度为：其角度为：与实轴交点与实轴交点坐标为：坐标为：-60。60。180

27、。5.根轨迹在负极点根轨迹在负极点pa处的出射角处的出射角6.根轨迹与虚根轨迹与虚轴的交点及临轴的交点及临界根轨迹增益界根轨迹增益。习题习题5.4 5.4 试画出以下系统的根轨迹图试画出以下系统的根轨迹图 解：解：1 1、开环零极点分布、开环零极点分布 极点极点p p1 1=0,p=0,p2 2=-1+j2,p=-1+j2,p3 3=-1-j2,=-1-j2,无零点无零点,2 2、实轴上部分的根轨迹实轴上部分的根轨迹 (0,+)(0,+)3 3、渐进线（、渐进线（n-m=3-0=3n-m=3-0=3条）条）实轴交点坐标实轴交点坐标=P=Pj j-Z-Zi i/(n-m)/(n-m)=(0-1+

28、j2-1-j2-0)/3=-2/3=-0.667;=(0-1+j2-1-j2-0)/3=-2/3=-0.667;方向角方向角=（2k+1)/(n-m)=/3,-/3,2k+1)/(n-m)=/3,-/3,4 4、实轴上无分离点、会合点、实轴上无分离点、会合点 5 5、复数极点起点的出射角、复数极点起点的出射角 出射角出射角=(=(零点指向该极点方向角零点指向该极点方向角)-()-(其他极其他极点指向该极点方向角点指向该极点方向角)-(2k+1)-(2k+1)2 2=-arctg(p=-arctg(p1 1-p-p2 2)+arctg(p)+arctg(p3 3-p-p2 2)-)-(2k+1)

29、(2k+1)=-arctg(1-j2)+arctg(-j4)-=-arctg(1-j2)+arctg(-j4)-(2k+1)(2k+1)=-(-63 =-(-630 0-90-900 0)-)-(2k+1)=(2k+1)=1531530 0-180-1800 0=-27=-270 0 3 3=-arctg(p=-arctg(p1 1-p-p3 3)+arctg(p)+arctg(p2 2-p-p3 3)-)-(2k+1)(2k+1)=-arctg(1+j2)+arctg(j4)-=-arctg(1+j2)+arctg(j4)-(2k+1)(2k+1)=-(63 =-(630 0+90+900

30、0)-)-(2k+1)=(2k+1)=-153-1530 0+180+1800 0=27=270 0 6 6、根轨迹与虚轴交点（、根轨迹与虚轴交点（s=j)s=j)1+G 1+G0 0(j)=0,(j)=0,(j)j)3 3+2+2(j)j)2 2+5+5(j)+K=0j)+K=0 -j -j3 3-2-22 2+j5+K=0+j5+K=0 Re1+G Re1+G0 0(j)(j)=-22 2+K=+K=0 Im1+G1+G0 0(j)(j)=-3 3+5=+5=0 =0,5 =0,51/21/2，K=0,10K=0,10Re0Im-1-3-2-0.6676001800p p2 2=-1+j2

31、=-1+j2p p3 3=-1-j2=-1-j2-270270习题习题5.4 5.4 试画出以下系统的根轨迹图试画出以下系统的根轨迹图 解：解：1 1、开环零极点分布、开环零极点分布 极点极点p p1 1=0,p=0,p2 2=-1,p=-1,p3 3=-2,p=-2,p4 4=-3,=-3,无零点无零点,2 2、实轴上部分的根轨迹实轴上部分的根轨迹 (0,-1),(-2,-3)(0,-1),(-2,-3)3 3、渐进线（、渐进线（n-m=4-0=4n-m=4-0=4条）条）实轴交点坐标实轴交点坐标=P=Pj j-Z-Zi i/(n-m)/(n-m)=(0-1-2-3-0)/4=-6/4=-1

32、.5;=(0-1-2-3-0)/4=-6/4=-1.5;方向角方向角=（2k+1)/(n-m)2k+1)/(n-m)=/4,-/4,3/4,-3/4 =/4,-/4,3/4,-3/4 4 4、实轴上、实轴上相邻极点间相邻极点间分离点坐标分离点坐标(解方程解方程)dG dG0 0(S)/ds=0(S)/ds=0，ds(s+1)(s+2)(s+3)/ds=0ds(s+1)(s+2)(s+3)/ds=0 ds ds4 4+6s+6s3 3+11s+11s2 2+6s/ds=0+6s/ds=0 4s 4s3 3+18s+18s2 2+22s+6=(4s+6)(s+22s+6=(4s+6)(s2 2+3

33、s+1)=0+3s+1)=0 s s1 1=-0.382,s=-0.382,s2 2=-2.618,s=-2.618,s3 3=-1.5(=-1.5(不在轨迹上不在轨迹上)分离角分离角=90=900 0 5 5、根轨迹与虚轴交点（、根轨迹与虚轴交点（s=j)s=j)1+G 1+G0 0(j)=0(j)=0 (j)j)4 4+6+6(j)j)3 3+11+11(j)j)2 2+6+6(j)+K=0j)+K=0 4 4-j6-j63 3-11-112 2+j6+K=0+j6+K=0 Re1+G Re1+G0 0(j)(j)=4 4-11-112 2+K=+K=0 Im1+G1+G0 0(j)(j)

34、=-6-63 3+6=+6=0 =0,1 =0,1，K=0,10 K=0,10Re4545o o-1-1-3-30 0Im-+1-+1-2-2-45-45o o-1-1 5.4 5.4 闭环零极点的分布与系统性能指标的关系闭环零极点的分布与系统性能指标的关系 意义：意义：为了基于根轨迹图分析闭环系统的运动特性（稳定性、静动态性能），为了基于根轨迹图分析闭环系统的运动特性（稳定性、静动态性能），必须了解闭环零极点的分布与系统性能指标的关系。根轨迹以直观的图形方式间接必须了解闭环零极点的分布与系统性能指标的关系。根轨迹以直观的图形方式间接表示了闭环系统零极点随参数表示了闭环系统零极点随参数K K变

35、化的分布情况，正确把握闭环零极点的分布与系统变化的分布情况，正确把握闭环零极点的分布与系统性能指标的关系，是利用根轨迹分析设计控制系统的基础。性能指标的关系，是利用根轨迹分析设计控制系统的基础。1 1、闭环极点分布与系统动态特性的关系、闭环极点分布与系统动态特性的关系 (闭环极点决定阶跃响应的类型闭环极点决定阶跃响应的类型)基本关系基本关系:阶跃响应阶跃响应y(t)y(t)由多个分量叠加而成，每个分量的由多个分量叠加而成，每个分量的大小大小(系数系数A AK K)和摸态和摸态e eptpt都与一个闭环极点相对应。闭环极点决都与一个闭环极点相对应。闭环极点决定着阶跃响应的运动类型和主要动态特征。

36、定着阶跃响应的运动类型和主要动态特征。闭环极点均分布在闭环极点均分布在s s平面的根轨迹图上。平面的根轨迹图上。*极点分布在左半平面实轴上极点分布在左半平面实轴上:p pj j=负实数根负实数根 y(t)y(t)动态特性为动态特性为单调衰减单调衰减,极点离虚轴越远衰减越快极点离虚轴越远衰减越快*极点分布在左半平面非实轴上极点分布在左半平面非实轴上:p pj j=负实部共轭复数对根负实部共轭复数对根 y(t)y(t)动态特性为动态特性为振荡衰减振荡衰减,极点离虚轴越远衰减越快极点离虚轴越远衰减越快*极点分布在虚轴上极点分布在虚轴上:p pj j=实部为零的共轭复数对根实部为零的共轭复数对根 y(

37、t)y(t)动态特性为动态特性为等幅振荡等幅振荡,临界稳定临界稳定*极点分布在右半平面上极点分布在右半平面上:p pj j=正实部根（实数或共轭复数对根）正实部根（实数或共轭复数对根）y(t)y(t)动态特性为动态特性为发散振荡发散振荡,系统不稳定；系统不稳定；2 2、闭环零点分布与系统动态特性的关系、闭环零点分布与系统动态特性的关系 （闭环零点对阶跃响应的影响）（闭环零点对阶跃响应的影响）基本关系基本关系:阶跃响应每个分量的大小阶跃响应每个分量的大小(系数系数A AK K)都与闭都与闭环零点有关。闭环零点将对阶跃响应的动态性能质量环零点有关。闭环零点将对阶跃响应的动态性能质量指标指标(幅值强

38、度幅值强度)产生一定影响。产生一定影响。闭环零点一定是开环零点，单位反馈系统的闭环零闭环零点一定是开环零点，单位反馈系统的闭环零点与开环零点一一对应（完全相同）。闭环零点如果点与开环零点一一对应（完全相同）。闭环零点如果存在，则对应于闭环根轨迹图的终点存在，则对应于闭环根轨迹图的终点(位置位置)坐标。坐标。上式上式y y1 1(t)(t)的第一项反映了闭环零点对阶跃响应时的第一项反映了闭环零点对阶跃响应时域动态性能产生的影响。该域动态性能产生的影响。该影响与影响与y(t)y(t)的变化率及时的变化率及时间常数间常数成正比成正比，其效果是使系统的响应加快，其效果是使系统的响应加快(上升上升时间缩

39、短时间缩短)、超调量增大、调节时间缩短。这就是复、超调量增大、调节时间缩短。这就是复数域的零点数域的零点(单元单元)对应时间域的对应时间域的微分微分(单元单元)效应效应。由于由于z=-1/(z=-1/(负实数负实数)就是就是s s平面上零点离开虚轴的平面上零点离开虚轴的距离距离,零点的微分效应与该距离成反比，所以可得到零点的微分效应与该距离成反比，所以可得到一一结论：闭环零点分布在结论：闭环零点分布在s s左半平面时左半平面时,距离虚轴越近距离虚轴越近,其零点微分效应其零点微分效应(对动态性能的影响对动态性能的影响)越明显，反之则越明显，反之则不明显（见图不明显（见图5.265.26）。）。3

40、 3、非闭环主导极点对阶跃响应的影响、非闭环主导极点对阶跃响应的影响 由闭环极点分布与系统动态特性的关系可知：由闭环极点分布与系统动态特性的关系可知：阶跃响应阶跃响应y(t)y(t)由闭环极点相对应的多个分量叠加而成由闭环极点相对应的多个分量叠加而成,如果所有极点都分布在左半平面如果所有极点都分布在左半平面(具有负实部具有负实部),),则系统响则系统响应将呈现单调衰减或振荡衰减的动态特性应将呈现单调衰减或振荡衰减的动态特性,并且各分量衰并且各分量衰减的快慢主要取决于所对应极点离虚轴的距离减的快慢主要取决于所对应极点离虚轴的距离(负实部绝负实部绝对值的大小对值的大小),),极点离虚轴越远极点离虚

41、轴越远,相应的分量过度过程衰减相应的分量过度过程衰减越快、幅度越小，对系统动态特性影响越小越快、幅度越小，对系统动态特性影响越小,反之反之,极点极点离虚轴越近离虚轴越近,相应的分量过度过程衰减越慢、幅度越大，相应的分量过度过程衰减越慢、幅度越大，对系统动态特性影响越大。对系统动态特性影响越大。闭环极点的这种影响作用闭环极点的这种影响作用,是因为每个闭环极点是因为每个闭环极点p p实际实际上是对应着一个时间常数为上是对应着一个时间常数为T=-1/pT=-1/p的惰性单元的惰性单元,极点极点p p离离虚轴越近虚轴越近,惰性环节的时间常数惰性环节的时间常数T=-1/pT=-1/p越大，系统响应速越大

42、，系统响应速度越慢、超调量越大、调节时间越长，对系统动态特性度越慢、超调量越大、调节时间越长，对系统动态特性影响越大。反之，极点影响越大。反之，极点p p离虚轴越远离虚轴越远,影响越小（详细见影响越小（详细见图图5.275.27）。）。一般称对系统动态特性影响大的极点一般称对系统动态特性影响大的极点(离虚轴较近的极离虚轴较近的极点点)为主导极点为主导极点,影响小的极点影响小的极点(离虚轴较远的极点离虚轴较远的极点)为非为非主导极点。若某极点较其他极点原离虚轴主导极点。若某极点较其他极点原离虚轴4-64-6倍，则称其倍，则称其为非主导极点为非主导极点,工程上对其影响往往可忽略不计。工程上对其影响

43、往往可忽略不计。4 4、闭环偶极子对阶跃响应的影响、闭环偶极子对阶跃响应的影响 称在称在s s平面相距很近的平面相距很近的闭环零极点对闭环零极点对为闭环偶极子。为闭环偶极子。数学上分别位于传递函数的分子和分母，可近似相消。数学上分别位于传递函数的分子和分母，可近似相消。从响应分量看：从响应分量看：A Ak k值很小，微分和惰性作用相互抵消。值很小，微分和惰性作用相互抵消。一般两零极点间距较其他零极点距离为一般两零极点间距较其他零极点距离为1/101/10或更小时，或更小时，可视为可视为偶极子，忽略不计其对系统动态特性的影响。偶极子，忽略不计其对系统动态特性的影响。5.5 根轨迹在控制系统校正中

44、的应用（非重点）根轨迹在控制系统校正中的应用（非重点）意义：掌握利用根轨迹图分析设计控制系统的方法：当系统设计要求的希望闭环极意义：掌握利用根轨迹图分析设计控制系统的方法：当系统设计要求的希望闭环极点不在根轨迹上时，如何通过选择合适的校正装置（控制器），改造根轨迹，使其点不在根轨迹上时，如何通过选择合适的校正装置（控制器），改造根轨迹，使其希望闭环极点位于根轨迹上，以满足设计要求。希望闭环极点位于根轨迹上，以满足设计要求。5.5.1 根轨迹的改造（根轨迹的改造（通过增加开环零极点和通过增加开环零极点和偶极子改造根轨迹偶极子改造根轨迹）1、增加开环零点对、增加开环零点对根轨迹的影响根轨迹的影响

45、增加开环零点：增加开环零点：可以可以使根轨迹左移，使根轨迹左移，有利于有利于改善改善系统稳定性及动态性能系统稳定性及动态性能；增加零点离虚轴越近，左移越显著，微分作用越强。增加零点离虚轴越近，左移越显著，微分作用越强。2、增加开环极点对、增加开环极点对根轨迹的影响根轨迹的影响增加开环极点：增加开环极点：(1)改变了根轨迹改变了根轨迹在实轴上的分布在实轴上的分布;(2)改变了改变了渐近线的条数、方向角及实轴的交点渐近线的条数、方向角及实轴的交点;(3)一般使根轨迹一般使根轨迹向右偏移，不利于系统稳定性和动态特性向右偏移，不利于系统稳定性和动态特性增加极点离虚轴越近，右移越显著，积分（惰性）作用越

46、强。增加极点离虚轴越近，右移越显著，积分（惰性）作用越强。3、增加开环、增加开环偶极子偶极子对对根轨迹的影响根轨迹的影响增加开环增加开环偶极子偶极子：(1)对对系统稳定性和动态特性没有大的影响系统稳定性和动态特性没有大的影响 (2)有利于改善有利于改善系统静态特性，减少静态误差。系统静态特性，减少静态误差。增加偶极子离虚轴越近，效果越显著。增加偶极子离虚轴越近，效果越显著。5.5.2 按根轨迹法校正反馈系统（非重点）按根轨迹法校正反馈系统（非重点）意义：掌握利用根轨迹图分析设计控制系统的方法：当系统意义：掌握利用根轨迹图分析设计控制系统的方法：当系统设计要求的希望闭环极点不在根轨迹上时，如何通

47、过选择合适设计要求的希望闭环极点不在根轨迹上时，如何通过选择合适的校正装置（控制器），改造根轨迹，使其希望闭环极点位于的校正装置（控制器），改造根轨迹，使其希望闭环极点位于根轨迹上，以满足设计要求。根轨迹上，以满足设计要求。基本步骤：基本步骤：1、根据给定的动态性能指标，确定（转换为）希望闭环主、根据给定的动态性能指标，确定（转换为）希望闭环主导极点。导极点。2、绘制原系统、绘制原系统根轨迹，根轨迹，当系统设计要求希望的主导闭环极当系统设计要求希望的主导闭环极点不在根轨迹上时，通过选择合适的校正装置（控制器）类型，点不在根轨迹上时，通过选择合适的校正装置（控制器）类型，改造根轨迹，使其希望闭环

48、极点位于根轨迹上。改造根轨迹，使其希望闭环极点位于根轨迹上。3、若校正改造后的根轨迹已通过希望的闭环主导极点，还、若校正改造后的根轨迹已通过希望的闭环主导极点，还需检验开环比例系数满足要求。必要时增加需检验开环比例系数满足要求。必要时增加开环开环偶极子。偶极子。4 4、校核静态和动态指标满足要求。、校核静态和动态指标满足要求。该步骤一般需要反复操作，同时需要有经验。该步骤一般需要反复操作，同时需要有经验。-例例1.对象传递函数为对象传递函数为要求设计一串联校正装置要求设计一串联校正装置K(s)，使阶跃响应的，使阶跃响应的超调量超调量%=30%,过过渡时间渡时间ts，开环比例系数，开环比例系数K010s-1。第第1步步.根据给定的动态性能指标，确定希望的闭环主导极点；根据给定的动态性能指标，确定希望的闭环主导极点；%=30%ts=1.5s主导极点为：主导极点为：第第2步步.画出未校正系统的根轨迹画出未校正系统的根轨迹p1校正装置的传函为校正装置的传函为A12001010pczc410B第第3步步.检验静态指检验静态指标是否满足要求标是否满足要求6p1第第4步步.检验动态指检验动态指标标第五章结束第五章结束