《定积分的应用》PPT课件.ppt

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1、第6章 定 积 分 6.1 定积分概念与性质6.2 微积分基本公式6.3 定积分的换元积分法和分部积分法6.4 定积分的应用6.5 反常积分初步目 录上一页目录下一页退 出回顾回顾 曲边梯形求面积的问题ab xyo6.4 定定 积积 分分 的的 应应 用用6.4.1 定积分的微元法定积分的微元法面积表示为定积分的步骤如下面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得求和，得A的近似值的近似值ab xyo（4）求极限，得求极限，得A的精确值的精确值提示提示面面积积元元素素元素法的一般步骤：元素法的一般步骤：这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的

2、弧长；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等功；水压力；引力和平均值等曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积6.4.2 平面图形的面积.上一页目录下一页退 出设平面图形由连续曲线 和直线 围成，其中(图6-3)，我们来求它的面积图6-4解解两曲线的交点两曲线的交点面积元素面积元素选选 为积分变量为积分变量.上一页目录下一页退 出及直线 所围成(图6-5)，取作积分变量，则其面积 A为图6-5 若平面图形由连续曲线 解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量.上一页目录下一页退 出例3 求椭圆 所围图形的面积.图6-8 解 因为椭圆关于两坐

3、标轴对称(图6-8)，所以椭圆所围图形的面积是第一象限内那部分面积的4倍，对椭圆在第一象限部分的面积,取 作积分变量,面积元素.上一页目录下一页退 出所以应用定积分换元法，令则，当 时，；当时，于是.上一页目录下一页退 出例4 求由曲线 及直线 所围的平面图形 的面积 图6-9解 由方程组解得两曲线的交点为 如图6-9所示 取 作积分变量，当 时，面积元素 当 时，.上一页目录下一页退 出面积元素 因此有 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台6.4.3 旋

4、转体的体积xyo旋转体的体积为旋转体的体积为解解直线直线 方程为方程为.上一页目录下一页退 出练习：计算由椭圆 所围图形绕 轴旋转而成的旋转体(见图6-11)的体积解 这个旋转体实际上就是半个椭圆 及 图6-11 轴所围曲边梯形绕作积分变量，体积元素轴旋转而成的立体，取.上一页目录下一页退 出所以，所求体积特别地，当 时就得到半径为 的球的体积为 类似地，若旋转体是由曲线，直线 和 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周而成的，则其体积为.上一页目录下一页退 出例6 求由曲线 和 轴所围图形绕 一周所得旋转体的体积 轴旋转图6-12.上一页目录下一页退 出解 如图6-12所示，的反函数分为两支，和

5、因此，所求的旋转体的体积为练习：习题6-4 题2（2）.上一页目录下一页退 出6.4.4 定积分在经济学中的应用举例假设某产品的固定成本为 由边际函数求总函数，边际成本函数为 边际收益函数为，其中 为产量，并假定该产品处于产销平衡状态，则根据经济学的有关理论及定积分的微元分析法易知：总成本函数 总收益函数 总利润函数.上一页目录下一页退 出例7 设某产品的边际成本为(万元/百台)，固定成本(万元)，边际收益(万元/百台)，求：(1)产量从100台增加到500台的成本增量；(2)总成本函数 和总收益函数(3)产量为多少时，总利润最大?并求最大利润解 (1)产量从100台增加到500台的成本改变量为(万元).上一页目录下一页退 出(2)总成本函数总收益函数(3)总利润函数所以.上一页目录下一页退 出令 得惟一驻点(百台)，又因为，所以当(百台)时，总利润最大，最大利润为(万元)例8 已知生产某产品 单位时,边际收益函数(元/单位),试求生产 单位产品时的总收益以及平均单位收益.并求生产单位产品时总收益及平均单位收益.单位产品时的总收益为:解 生产.上一页目录下一页退 出平均收益函数为:生产 单位产品时的总收益为:(元).平均收益为:(元).作业：习题6-4 题1（1）（5）2(1)(3)