《数学建模讲座》PPT课件.ppt

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1、 20082008数学建模讲座数学建模讲座 黄黄 留留 佳佳电话电话:3262506(:3262506(家家)手机手机欢欢 迎迎 大大 家家10/27/20221数学建模竞赛的发展数学建模竞赛的发展 全国大学生数学建模竞赛是由教育部和中国工业与应全国大学生数学建模竞赛是由教育部和中国工业与应用数学学会联合举办的一年一届的全国大学生学科竞赛用数学学会联合举办的一年一届的全国大学生学科竞赛,自自19921992年举办以来已经连续进行了年举办以来已经连续进行了1616届届,成为全国高校中成为全国高校中规模最大、影响最大的大学生课外科技活动，竞赛有利规模最大、影响最大的大学生课外科技活动，竞赛有利于培

2、养大学生应用数学方法与计算机技术解决实际问题于培养大学生应用数学方法与计算机技术解决实际问题的能力，有利于培养学生创新精神和综合素质。的能力，有利于培养学生创新精神和综合素质。竞赛每年竞赛每年9 9月第三个星期五至下一周星期一（共月第三个星期五至下一周星期一（共3 3天，天，7272小时）举行，竞赛面向全国大专院校的学生，不分专小时）举行，竞赛面向全国大专院校的学生，不分专业（竞赛分甲、乙两组，甲组所有大学生均可参加，乙业（竞赛分甲、乙两组，甲组所有大学生均可参加，乙组只有大专生（包括高职、高专生）可参加）。组只有大专生（包括高职、高专生）可参加）。竞赛宗旨：创新意识竞赛宗旨：创新意识团队精神

3、团队精神重在参与重在参与公平竞争公平竞争10/27/20222CUMCM的历史的历史 随随着着数数学学建建模模竞竞赛赛的的深深入入开开展展，竞竞赛赛的的规规模模越越来来越越大大，竞竞赛赛的的水水平平也也在在不不断断地地提提高高，竞竞赛赛水水平平的的提提高高主主要要体体现现在在赛赛题题水水平平的的提提高高，而而赛赛题题的的水水平平主主要要体体现现在在赛赛题题的的综综合合性性、实实用用性性、创创新新性性、即即时时性性,以以及及多多种种解解题题方方法法的的创创造造性性、灵灵活活性性等等，特特别别是是给给参赛者留有很大的发挥创造的想象空间。参赛者留有很大的发挥创造的想象空间。纵览纵览1616年的本科组

4、年的本科组3232个题目，我们可从问题的个题目，我们可从问题的实际意义、解决问题的方法和题型三个方面作一些实际意义、解决问题的方法和题型三个方面作一些简单的分析。简单的分析。10/27/20223CUMCM历年赛题历年赛题1992年年:(A)(A)作物生长的施肥效果问题作物生长的施肥效果问题(北理工：叶其孝）北理工：叶其孝）(B)化学试验室的实验数据分解问题（复旦：谭永基）化学试验室的实验数据分解问题（复旦：谭永基）1993年年:(A)通讯中非线性交调的频率设计问题（北大通讯中非线性交调的频率设计问题（北大:谢衷洁）谢衷洁）(B)足球甲级联赛排名问题（清华：蔡大用）足球甲级联赛排名问题（清华：

5、蔡大用）1994年年:(A)山区修建公路的设计造价问题（西电大：何大可）山区修建公路的设计造价问题（西电大：何大可）(B)锁具的制造、销售和装箱问题（复旦锁具的制造、销售和装箱问题（复旦:谭永基等）谭永基等）1995年年:(A)飞机的安全飞行管理调度问题（复旦飞机的安全飞行管理调度问题（复旦:谭永基等）谭永基等）(B)天车与冶炼炉的作业调度问题（浙大天车与冶炼炉的作业调度问题（浙大:刘祥官等）刘祥官等）1996年年:(A)最优捕鱼策略问题最优捕鱼策略问题（北师大：刘来福）（北师大：刘来福）(B)节水洗衣机的程序设计问题节水洗衣机的程序设计问题（重大：付鹂）（重大：付鹂）1997年年:(A)零件

6、参数优化设计问题零件参数优化设计问题（清华：姜启源）（清华：姜启源）(B)金刚石截断切割问题金刚石截断切割问题（复旦：谭永基等）（复旦：谭永基等）10/27/20224CUMCM历年赛题历年赛题19981998年年:(A):(A)投资的收益和风险问题（浙大：陈淑平）投资的收益和风险问题（浙大：陈淑平）(B)(B)灾情的巡视路线问题（上海海运学院灾情的巡视路线问题（上海海运学院:丁颂康）丁颂康）19991999年年:(A):(A)自动化机床控制管理问题（北大：孙山泽）自动化机床控制管理问题（北大：孙山泽）(B)(B)地质堪探钻井布局问题（郑州大学：林诒勋）地质堪探钻井布局问题（郑州大学：林诒勋）

7、(C)(C)煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰）煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰）20002000年年:(A)DNA:(A)DNA序列的分类问题（北工大：孟大志）序列的分类问题（北工大：孟大志）(B)(B)钢管的订购和运输问题（武大：费甫生）钢管的订购和运输问题（武大：费甫生）(C)(C)飞越北极问题（复旦大学：谭永基）飞越北极问题（复旦大学：谭永基）(D)(D)空洞探测问题（东北电力学院：关信）空洞探测问题（东北电力学院：关信）20012001年年:(A):(A)三维血管的重建问题（浙大：汪国昭）三维血管的重建问题（浙大：汪国昭）(B)(B)公交车的优化调度问题（清华：谭泽光）公交车的

8、优化调度问题（清华：谭泽光）(C)(C)基金使用计划问题（东南大学：陈恩水）基金使用计划问题（东南大学：陈恩水）10/27/20225CUMCM历年赛题历年赛题20022002年年:(A):(A)汽车车灯的优化设计问题（复旦汽车车灯的优化设计问题（复旦:谭永基等）谭永基等）(B)(B)彩票中的数学问题（信息工程大学：韩中庚）彩票中的数学问题（信息工程大学：韩中庚）(D)(D)球队的赛程安排问题（清华：姜启源）球队的赛程安排问题（清华：姜启源）20032003年年:(A)SARS:(A)SARS的传播问题（集体）的传播问题（集体）(B)(B)露天矿生产的车辆安排问题（吉林大：方沛辰）露天矿生产的

9、车辆安排问题（吉林大：方沛辰）(D)(D)抢渡长江问题（华中农业大学：殷建肃）抢渡长江问题（华中农业大学：殷建肃）20042004年年:(A):(A)奥运会临时超市网点设计问题奥运会临时超市网点设计问题(北工大：孟大志北工大：孟大志)(B)(B)电力市场的输电阻塞管理问题电力市场的输电阻塞管理问题(浙大浙大:刘康生）刘康生）(C)(C)酒后开车问题（清华大学：姜启源）酒后开车问题（清华大学：姜启源）(D)(D)公务员的招聘问题（信息工程大学：韩中庚）公务员的招聘问题（信息工程大学：韩中庚）20052005年年:(A):(A)长江水质的评价与预测问题（信息工大长江水质的评价与预测问题（信息工大:

10、韩中庚）韩中庚）(B)DVD (B)DVD在线租赁问题（清华大学：谢金星等）在线租赁问题（清华大学：谢金星等）(C)(C)雨量预报方法的评价问题（复旦大学：谭永基）雨量预报方法的评价问题（复旦大学：谭永基）10/27/20226CUMCM历年赛题历年赛题20062006年年:(A):(A)出版社的资源配置出版社的资源配置 (B)(B)艾滋病疗法的评价及疗效的预测艾滋病疗法的评价及疗效的预测(C)(C)易拉罐形状和尺寸的最优设计易拉罐形状和尺寸的最优设计 (D)(D)煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制20072007年年:(A):(A)中国人口增长预测中国人口增长预测 (B)(

11、B)乘公交，看奥运乘公交，看奥运(C)(C)手机手机“套餐套餐”优惠几何优惠几何 (D)(D)体能测试时间安排体能测试时间安排10/27/20227CUMCM历年赛题的分析历年赛题的分析 从问题的解决方法上分析，涉及到的数学建模方法有几何理从问题的解决方法上分析，涉及到的数学建模方法有几何理论、组合概率、统计分析、优化方法、图论、网络优化、层次论、组合概率、统计分析、优化方法、图论、网络优化、层次分析、插值与拟合、差分方法、微分方程、排队论、模糊数学、分析、插值与拟合、差分方法、微分方程、排队论、模糊数学、随机决策、多目标决策、随机模拟、灰色系统理论、神经网络、随机决策、多目标决策、随机模拟、

12、灰色系统理论、神经网络、时间序列、综合评价方法、机理分析等方法。时间序列、综合评价方法、机理分析等方法。从从2828个问题的实际意义方面分析个问题的实际意义方面分析,大体上可以分为大体上可以分为工业、工业、农业、工程设计、交通运输、经济管理、生物医学和社会事业农业、工程设计、交通运输、经济管理、生物医学和社会事业等七个大类。等七个大类。(1)“即时性即时性”较强的问题较强的问题(2)(2)理论性较强的问题理论性较强的问题10/27/202281 1、数学建模竞赛的竞争日趋激烈、数学建模竞赛的竞争日趋激烈数学建模竞赛的发展趋势数学建模竞赛的发展趋势 由于数学建模在创新人才培养中的地位和作用由于数

13、学建模在创新人才培养中的地位和作用所在，数学建模受到了越来越多的人的重视和关所在，数学建模受到了越来越多的人的重视和关注，特别是引起了更多领导们的重视。注，特别是引起了更多领导们的重视。另一方面，也是因为数学建模竞赛有很强的可另一方面，也是因为数学建模竞赛有很强的可比性和竞争性，竞赛成绩是反映能力和水平的一比性和竞争性，竞赛成绩是反映能力和水平的一个实力型指标个实力型指标,也是高校评估的一个重要指标。也是高校评估的一个重要指标。20042004年有年有724724所高校的所高校的68816881个队参赛，个队参赛，20052005年达到年达到795795所院校所院校,8492,8492个队个队

14、(增长增长23.4%),23.4%),可以称为是目可以称为是目前全国最大规模的科技竞赛活动。前全国最大规模的科技竞赛活动。10/27/202291 1、数学建模竞赛的竞争日趋激烈、数学建模竞赛的竞争日趋激烈数学建模竞赛的发展趋势数学建模竞赛的发展趋势数学建模竞赛十四年来的发展情况：数学建模竞赛十四年来的发展情况：平均年增长量平均年增长量30%30%10/27/202210数学建模竞赛的发展趋势数学建模竞赛的发展趋势2 2、数学建模竞赛题目的发展趋势、数学建模竞赛题目的发展趋势 从近几年的竞赛题目来看，题目的水平在不断从近几年的竞赛题目来看，题目的水平在不断提高、难度在增加、实用性在增强提高、难

15、度在增加、实用性在增强;特别是综合性和特别是综合性和开放性也在增强，这是一大潮流，从发展趋势上来开放性也在增强，这是一大潮流，从发展趋势上来看，有逐步走向国际化的趋势，同国际接轨是必然看，有逐步走向国际化的趋势，同国际接轨是必然的；随着计算机技术和工具软件功能的增强的；随着计算机技术和工具软件功能的增强,数据信数据信息量也在逐步地增大，这也是现代应用的特点之一。息量也在逐步地增大，这也是现代应用的特点之一。这些变化都为我们提出了更高的要求，我们应该怎这些变化都为我们提出了更高的要求，我们应该怎么办，如何应对？值得我们研究和思考么办，如何应对？值得我们研究和思考!10/27/202211参加数学

16、建模竞赛的技巧参加数学建模竞赛的技巧（1）摘要是文章的重中之重）摘要是文章的重中之重1 1、写好论文的关键环节、写好论文的关键环节主要是说明你用什么方法；解决了什么问题；主要是说明你用什么方法；解决了什么问题；主要结果是什么；有什么特色和创新点，以及其它主要结果是什么；有什么特色和创新点，以及其它工作。工作。摘要是整篇文章的高度压缩，注意摘要中不要摘要是整篇文章的高度压缩，注意摘要中不要出现公式和表格，文字精练，表达准确。出现公式和表格，文字精练，表达准确。10/27/202212参加数学建模竞赛的技巧参加数学建模竞赛的技巧2 2、写好论文的关键环节、写好论文的关键环节（2）层次分明，重点突出

17、）层次分明，重点突出论文是你们所有工作的完全体现，力争将你们论文是你们所有工作的完全体现，力争将你们的工作和创造性成果或新的研究结果都充分地反映的工作和创造性成果或新的研究结果都充分地反映出来。要求内容充实、论据充分、论证有力、主题出来。要求内容充实、论据充分、论证有力、主题明确、层次分明，通过大小标题分为若于个逻辑段明确、层次分明，通过大小标题分为若于个逻辑段落，让评委各取所需，一目了然。不要给评委留下落，让评委各取所需，一目了然。不要给评委留下更多的疑问和猜测。实事求是，不要过分夸张。更多的疑问和猜测。实事求是，不要过分夸张。10/27/202213参加数学建模竞赛的技巧参加数学建模竞赛的

18、技巧3 3、参加竞赛的七条准则、参加竞赛的七条准则(1)(1)数据处理的实用性和规范性数据处理的实用性和规范性;(2)(2)建模方法的先进性和适用性建模方法的先进性和适用性;(3)(3)模型建立的创新性和正确性模型建立的创新性和正确性;(4)(4)模型表述的准确性和完整性模型表述的准确性和完整性;(5)(5)数据结果的可靠性和正确性数据结果的可靠性和正确性;(6)(6)论文结构的合理性和清晰性论文结构的合理性和清晰性;(7)(7)语言表述的完美性和客观性语言表述的完美性和客观性.10/27/202214数学建模竞赛的发展数学建模竞赛的发展 由于数学建模竞赛有很强的可比性和竞争性，竞由于数学建模

19、竞赛有很强的可比性和竞争性，竞赛成绩是反映能力和水平的一个实力型指标赛成绩是反映能力和水平的一个实力型指标,也是高也是高校评估的一个重要指标，以及数学建模在创新人才培校评估的一个重要指标，以及数学建模在创新人才培养中的地位和作用所在，它受到了越来越多的人的重养中的地位和作用所在，它受到了越来越多的人的重视和关注。视和关注。数学建模竞赛十四年来的发展情况：数学建模竞赛十四年来的发展情况：10/27/202215 数学模型（Mathematical Model）是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题 本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或 能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制

20、某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学建模（Mathematical Modeling）应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。数学模型与数学建模数学模型与数学建模10/27/202216 1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。必要的数据资料。2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计对资料的分析计算，算，找出起主要作用的因素，经必找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。3

21、.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构划各变量之间的关系，建立相应的数学结构即即建立数学模型。建立数学模型。4.模型求解。模型求解。5.模型的分析与检验。模型的分析与检验。在难以得出解析解时，也在难以得出解析解时，也应当借助应当借助计算机计算机求出数值求出数值解。解。数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤实体信实体信息息(数据数据)假设假设建模建模求解求解验证验证应用应用10/27/202217有一市政府建设工程，若有甲乙工程队合做，则需要有一市政府建设工程，若有甲乙工程队合做，则需要12个个月完成：若甲队先做

22、月完成：若甲队先做5个月，剩余部分有甲乙两队合做则还个月，剩余部分有甲乙两队合做则还需要需要9个月才能完成个月才能完成（1）求甲乙两工程队单独完成此项工程的时间）求甲乙两工程队单独完成此项工程的时间（2）已知甲队每个月施工费用）已知甲队每个月施工费用5万元，乙队每个月施工费用万元，乙队每个月施工费用3万元，要使该工程施工费用不超过万元，要使该工程施工费用不超过95万元，则甲工程队至多万元，则甲工程队至多施工多少个月？施工多少个月？回到中学看建模回到中学看建模解：设甲、乙两队单独完成此工程分别需要解：设甲、乙两队单独完成此工程分别需要x、y个月。个月。依题意得：依题意得：1/x+1/y=1/12

23、;(5+9)/x+9/y=1.解这个方程组得：解这个方程组得：x=20;y=30.经检验它们是原方程组的解，且符合题意。经检验它们是原方程组的解，且符合题意。模型的假设模型的假设 模型的建立模型的建立 模型的求解模型的求解 模型的检验模型的检验 10/27/202218数学模型的分类数学模型的分类分类标准分类标准分类标准分类标准具体类别具体类别具体类别具体类别对某个实际问题了解对某个实际问题了解的深入程度的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中变量的特征模型中变量的特征连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型模型等型模型

24、等建模中所用的数学方建模中所用的数学方法法初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等化模型等研究课题的实际范畴研究课题的实际范畴人口模型、生人口模型、生态系统模型态系统模型、交通、交通流模型、经流模型、经济模型、济模型、基因模型等基因模型等10/27/202219例例1某人平时下班总是按预定时间到达某处，然某人平时下班总是按预定时间到达某处，然然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子

25、，这一天，他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？间？一些简单实例一些简单实例似乎条件不够哦似乎条件不够哦 。换一种想法，问题就迎刃而换一种想法，问题就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍解了。假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前的天他就不会提前回家了。提前的十分钟时间从何而来？十分钟时间从何而来？显然是由于节省了从相遇点到显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇

26、点到会合点需段路的缘故，故由相遇点到会合点需开开5分钟。而此人提前了三十分钟到分钟。而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。五分钟。请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设？10/27/202220例例2 2 交通灯在绿灯转换成红灯时，有交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态一个过渡状态亮一段时间的黄灯。亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。请分析黄灯应当亮多久。设想一下黄灯的作用是什么，不难看设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯

27、起的是警告的作用，意思是出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请马上要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。停车是需要时间的，在这立即停车。停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离离L。这就是说，在离街口距离为。这就是说，在离街口距离为L处处存在着一条停车线（尽管它没被画在存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见图地上），见图1-4。对于那些黄灯亮时。对于那些黄灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍能已过线的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路。穿过马路。马路的宽度马路的宽度D是容易测得是容易测得的，问题的关键在的，问题的关键在

28、于于L的确定。为确定的确定。为确定L，还应当将，还应当将L划分为两段：划分为两段：L1和和L2，其中其中L1是司机在发现黄灯亮及判断应当刹是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应时间内驶过的路程车的反应时间内驶过的路程，L2为刹车制动后为刹车制动后车辆驶过的路程。车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对司较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间机的平均反应时间t1早有测算，反应时间过长早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度将考不出驾照），而此街道的行驶速度v也是也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，从而可另建模

29、型研究，从而L1=v*t1。刹车距离。刹车距离L2既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来律计算出来。黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第一步，先计算出一步，先计算出L应多大才能使看见黄灯的司机应多大才能使看见黄灯的司机停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线的车顺利穿过马路，即的车顺利穿过马路，即T至少应当达到至少应当达到（L+D）/v。DL10/27/202221例例3 3 将形状质量相同的砖块一一向右往外将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲

30、尽可能地延伸到远方，问最远可叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可以延伸多大距离。以延伸多大距离。设砖块是均质的，长度与重量均设砖块是均质的，长度与重量均 为为1 1，其，其 重重心在中点心在中点1/21/2砖长处，现用砖长处，现用归纳法归纳法推导。推导。Zn(n1)n(n1)由第由第n块砖受到的两个力的力矩相等，有：块砖受到的两个力的力矩相等，有：1/2-Zn=(n1)Zn故故Zn=1/(2n)，从而上面，从而上面n块砖向右推出的块砖向右推出的总距离为总距离为，故砖块向右可叠至故砖块向右可叠至故砖块向右可叠至故砖块向右可叠至 任意远任意远任意远任意远 ，这一结果多少，这一结果多少，这一结果多少

31、，这一结果多少有点出人意料。有点出人意料。有点出人意料。有点出人意料。10/27/202222例例5 5 某人住在某公交线附近，该公交线路某人住在某公交线附近，该公交线路为在为在A A、B B两地间运行，每隔两地间运行，每隔 10 10分钟分钟A A、B B两两地各发出一班车，此人常在离家最近的地各发出一班车，此人常在离家最近的 C C点等车，他发现了一个令他感到奇怪的现点等车，他发现了一个令他感到奇怪的现象：在绝大多数情况下，先到站的总是由象：在绝大多数情况下，先到站的总是由 B B去去A A的车，难道由的车，难道由 B B去去A A的车次多些吗？请的车次多些吗？请你帮助他找一下原因你帮助他

32、找一下原因ABABABAB发出车次显然是一样多的，发出车次显然是一样多的，发出车次显然是一样多的，发出车次显然是一样多的，否则一处的车辆将会越积越多。否则一处的车辆将会越积越多。否则一处的车辆将会越积越多。否则一处的车辆将会越积越多。由于距离不同，设由于距离不同，设 A A到到C C行驶行驶3131分分钟，钟，B B到到C C要行驶要行驶 3030分钟，考察一分钟，考察一个时间长度为个时间长度为1010分钟的区间，例如，分钟的区间，例如，可以从可以从A A方向来的车驶离方向来的车驶离C C站时开始，站时开始，在其后的在其后的9 9分钟内到达的乘客见到分钟内到达的乘客见到先来的车均为先来的车均为

33、 B B开往开往A A的，仅有最的，仅有最 后后1 1分钟到达的乘客才见到分钟到达的乘客才见到 由由A A来来的车先到。由此可见，如果此人到的车先到。由此可见，如果此人到C C站等车的时间是随机的，则他先站等车的时间是随机的，则他先遇上遇上B B方向来的车的概率为方向来的车的概率为 90%90%。10/27/202223最优化是工程技术、经济管理、科学研究、最优化是工程技术、经济管理、科学研究、社会生活中经常遇到的问题社会生活中经常遇到的问题,如如:优化模型和优化软件优化模型和优化软件结构设计结构设计资源分配资源分配生产计划生产计划运输方案运输方案解决优化问题的手段解决优化问题的手段经验积累，

34、主观判断经验积累，主观判断作试验，比优劣作试验，比优劣建立数学模型建立数学模型(优化模型优化模型)，求最优策略，求最优策略(决策决策)(最最)优化优化:在一定条件下在一定条件下,寻求使目标最大寻求使目标最大(小小)的决策的决策 CUMCMCUMCM赛题：约一半以上与优化有关，需用软件求解赛题：约一半以上与优化有关，需用软件求解10/27/2022运筹学运筹学(OR:Operations/OperationalResearch)管理科学管理科学(MS:ManagementScience)决策科学决策科学(DS:DecisionScience)(最最)优化理论是运筹学的基本内容优化理论是运筹学的基

35、本内容无无约约束束优优化化OR/MS/DS优化优化(Optimization),规划规划(Programming)线线性性规规划划非非线线性性规规划划网网络络优优化化组组合合优优化化整整数数规规划划不不确确定定规规划划多多目目标标规规划划目目标标规规划划动动态态规规划划10/27/202225优化问题三要素：优化问题三要素：决策变量决策变量；目标函数目标函数；约束条件约束条件约约束束条条件件决策变量决策变量优化问题的一般形式优化问题的一般形式可行解（满足约束）与可行域（可行解的集合）可行解（满足约束）与可行域（可行解的集合）最优解（取到最小大值的可行解）最优解（取到最小大值的可行解）目标函数目

36、标函数10/27/202226约束优化的约束优化的简单分类简单分类线性规划线性规划(LP)目标和约束均为线性函数目标和约束均为线性函数非线性规划非线性规划(NLP)目标或约束中存在非线性函数目标或约束中存在非线性函数二次规划二次规划(QP)目标为二次函数、约束为线性目标为二次函数、约束为线性整数规划整数规划(IP)决策变量决策变量(全部或部分全部或部分)为整数为整数整数整数线性线性规划规划(ILP)，整数，整数非线性非线性规划规划(INLP)纯整数规划纯整数规划(PIP),混合整数规划混合整数规划(MIP)一般整数规划，一般整数规划，0-1（整数）规划（整数）规划连连续续优优化化离离散散优优化

37、化数学规划数学规划10/27/202227问题问题1.如何下料最节省如何下料最节省?例例 钢管下料钢管下料 问题问题2.客户增加需求：客户增加需求：原料钢管原料钢管:每根每根19米米 4米米50根根 6米米20根根 8米米15根根 客户需求客户需求节省的标准是什么？节省的标准是什么？由于采用不同切割模式太多，会增加生产和管理成本，由于采用不同切割模式太多，会增加生产和管理成本，规定切割模式不能超过规定切割模式不能超过3种。如何下料最节省？种。如何下料最节省？5米米10根根 10/27/202228按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。切

38、割模式切割模式余料余料1 1米米 4米米1根根 6米米1根根 8米米1根根余料余料3米米4米米1根根6米米1根根6米米1根根合理切割模式合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸余料余料3米米8米米1根根8米米1根根钢管下料钢管下料 10/27/202229为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式切割多少根原料钢管，最为节省？切割多少根原料钢管，最为节省？合理切割模式合理切割模式合理切割模式合理切割模式2.所用原料钢管总根数最少所用原料钢管总根数最少模式模式4米钢管根数米钢管根数6米钢管根数米钢管根数8米钢管

39、根数米钢管根数余料余料(米米)14003231013201341203511116030170023钢管下料问题钢管下料问题1 1 两种两种标准标准1.原料钢管剩余总余量最小原料钢管剩余总余量最小10/27/202230 xi 按第按第i 种模式切割的原料钢管根数种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,7)约束约束满足需求满足需求 决策变量决策变量 目标目标1（总余量）（总余量）按模式按模式2切割切割12根根,按模式按模式5切割切割15根，余料根，余料27米米模模式式4米米根数根数6米米根数根数8米米根数根数余余料料14003231013201341203511116030170023需需求求5

40、02015最优解：最优解：x2=12,x5=15,其余为其余为0；最优值：最优值：27整数约束：整数约束：xi 为整数为整数10/27/202231当余料没有用处时，当余料没有用处时，通常以总根数最少为目标通常以总根数最少为目标 目标目标2（总根数）（总根数）钢管下料问题钢管下料问题1 1 约束条约束条件不变件不变 最优解：最优解：x2=15,x5=5,x7=5,其余为其余为0；最优值：最优值：25。xi 为整数按模式按模式2切割切割15根，根，按模式按模式5切割切割5根，根，按模式按模式7切割切割5根，根，共共25根，余料根，余料35米米虽余料增加虽余料增加8米，但减少了米，但减少了2根根与

41、与目标目标1的结果的结果“共切割共切割27根，余料根，余料27米米”相比相比10/27/202232钢管下料问题钢管下料问题2 2对大规模问题，用模型的约束条件界定合理模式对大规模问题，用模型的约束条件界定合理模式增加一种需求：增加一种需求：5米米10根；切割根；切割模式不超过模式不超过3种。种。现有现有4种种需求：需求：4米米50根，根，5米米10根，根，6米米20根，根，8米米15根，用枚举法确定合理切割模式，过于复杂。根，用枚举法确定合理切割模式，过于复杂。决策变量决策变量 xi 按第按第i 种模式切割的原料钢管根数种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,3)r1i,r2i,r3i,r4i

42、 第第i 种切割模式下，每根原料钢种切割模式下，每根原料钢管生产管生产4米、米、5米、米、6米和米和8米长的钢管的数量米长的钢管的数量10/27/202233满足需求满足需求模式合理：每根模式合理：每根余料不超过余料不超过3米米整数非线性规划模型整数非线性规划模型钢管下料问题钢管下料问题2 2目标函数（目标函数（总根数）总根数）约束约束条件条件整数约束：整数约束：xi,r1i,r2i,r3i,r4i(i=1,2,3)为整数为整数10/27/202234增加约束，缩小可行域，便于求解增加约束，缩小可行域，便于求解原料钢管总根数下界：原料钢管总根数下界：特殊生产计划：对每根原料钢管特殊生产计划：对

43、每根原料钢管模式模式1：切割成：切割成4根根4米钢管，需米钢管，需13根；根；模式模式2：切割成：切割成1根根5米和米和2根根6米钢管，需米钢管，需10根；根；模式模式3：切割成：切割成2根根8米钢管，需米钢管，需8根。根。原料钢管总根数上界：原料钢管总根数上界：31模式排列顺序可任定模式排列顺序可任定钢管下料问题钢管下料问题2 2需求：需求：4米米50根，根，5米米10根，根，6米米20根，根，8米米15根根每根原料钢管长每根原料钢管长19米米10/27/202235LINGOLINGO求解整数非线性规划模型求解整数非线性规划模型模式模式1：每根原料钢管切割成：每根原料钢管切割成3根根4米和米和1根根6米钢管，共米钢管，共10根；根；模式模式2：每根原料钢管切割成：每根原料钢管切割成2根根4米、米、1根根5米和米和1根根6米米钢管，共钢管，共10根；根；模式模式3：每根原料钢管切割成：每根原料钢管切割成2根根8米钢管，共米钢管，共8根。根。原料钢管总根数为原料钢管总根数为28根。根。10/27/202236