数字电子技术第2章逻辑代数.ppt

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1、第一章第一章 数字逻辑基础数字逻辑基础基本要求基本要求1 1、掌握数制转换与几种常见的二进制码、掌握数制转换与几种常见的二进制码3 3、掌握逻辑函数代数化简法、掌握逻辑函数代数化简法1.11.1数字电路与数字信号数字电路与数字信号一、电信号分类一、电信号分类模拟信号模拟信号随时间连续变化随时间连续变化 如：热电偶输出的电压信号。如：热电偶输出的电压信号。数字信号数字信号时间上、幅度上不连续变化时间上、幅度上不连续变化(离散的离散的)一般的电子系统均包括：模拟电路、数字电路。如一数字温控系统。一般的电子系统均包括：模拟电路、数字电路。如一数字温控系统。2 2、掌握几种基本逻辑运算及逻辑运算的基本

2、定律、掌握几种基本逻辑运算及逻辑运算的基本定律模拟电路、数字电路模拟电路、数字电路4 4、掌握逻辑函数卡诺图化简法、掌握逻辑函数卡诺图化简法5 5、逻辑函数几种描述方法间的相互转换、逻辑函数几种描述方法间的相互转换包括包括1 1、2 2章内容章内容数字温控系统数字温控系统A/D运算运算处理处理工业控工业控制对象制对象温度传温度传感器感器放大放大执行执行机构机构显示显示D/A数字信号便于存储、运算处理、传递；数字信号便于存储、运算处理、传递；而模拟电路也是必不可少的（与工业现场相接触）。而模拟电路也是必不可少的（与工业现场相接触）。二、数字电路的特点二、数字电路的特点1 1.元器件工作在开关状态

3、元器件工作在开关状态2 2.研究的对象：输入输出数字信号之间的逻辑关系研究的对象：输入输出数字信号之间的逻辑关系3 3.分析的工具：逻辑代数（布尔代数）分析的工具：逻辑代数（布尔代数）4 4 4 4.功能描述：逻辑表达式、逻辑图、真值表、卡诺图、功能描述：逻辑表达式、逻辑图、真值表、卡诺图、功能描述：逻辑表达式、逻辑图、真值表、卡诺图、功能描述：逻辑表达式、逻辑图、真值表、卡诺图、波形图波形图波形图波形图5 5.采用二进制：对元器件要求低采用二进制：对元器件要求低 集成度集成度(一芯片中一芯片中BJTBJT或或 FET FET的个数或逻辑门的个数）的个数或逻辑门的个数）高高 6.6.稳定性高、

4、抗干扰性强，有一定的噪声容限稳定性高、抗干扰性强，有一定的噪声容限7.7.含记忆单元，信息可长期保存含记忆单元，信息可长期保存8.8.通用性强，并可实现在线系统编程通用性强，并可实现在线系统编程可编程逻辑器件、多功能专用集成电路106以上甚大规模大型存储器、微处理器10,00099,999超大规模小型存储器、门阵列1009999大规模计数器、加法器1299中规模逻辑门、触发器最多12个小规模典型集成电路门的个数分类表表(1.1.1)P4(1.1.1)P4发展特点发展特点:以电子器件的发展为基础以电子器件的发展为基础电子管时代电子管时代1906年，福雷斯特等发明了电子管；电子管体积年，福雷斯特等

5、发明了电子管；电子管体积大、重量重、耗电大、寿命短。目前在一些大功大、重量重、耗电大、寿命短。目前在一些大功率发射装置中使用。率发射装置中使用。电真空技术电真空技术电压控制器件电压控制器件晶体管时代晶体管时代半导体技术半导体技术电流控制器件电流控制器件 半导体二极管、三极管半导体二极管、三极管器件器件半导体集成电路半导体集成电路数字技术数字技术的应用的应用的应用的应用1.2 数制数制一、数制一、数制数码中每一位的构成方法以及从低位到高位的进位数码中每一位的构成方法以及从低位到高位的进位规则1 1.十进制：十进制：每一位由每一位由0909组成，组成，逢十进一，用逢十进一，用D D或或1010表示

6、表示2 2.二进制：二进制：每一位每一位有有 0 0、1 1两个数码，逢二进一，用两个数码，逢二进一，用B B或或2 2表示表示4 4.十六进制：十六进制：每一位每一位有有 09 09，AF 16AF 16个数码，逢十六进一个数码，逢十六进一,用用H H或或1616表示表示3 3.八进制：八进制：每一位有每一位有 07 07 8 8个数码个数码,逢八进一逢八进一,用用O O或或8 8表示表示数字系统的计数多采用二进制。数字系统的计数多采用二进制。(143.75)D=十进制数：十进制数：N N为计数基数；为计数基数；N Ni i 为第为第i i位的权；位的权；k ki i为第为第i i位的系数位

7、的系数vN N N N进制数的进制数的幂级数展开式（化成十进制）：(101.11)B=(5.75)D二进制数二进制数八进制数：八进制数：(207.64)207.64)O O十六进制数十六进制数：(2A.7F)H=2 161+10 160+7 16-1+15 16-2=(42.4960937)D?=2=2 8 82 2+0+0 8 81 1+7+7 8 80 0+6+6 8 8-1 1+4+4 8 8-2-2 =(135.8125)=(135.8125)D D1 1、二、八、十六、二、八、十六十进制转换十进制转换:2 2、十、十二、八、十六进制转换二、八、十六进制转换v数制转换数制转换即按各位的

8、权展开成即按各位的权展开成幂级数展开式幂级数展开式十进制数十进制数二进制数二进制数八、十六进制八、十六进制（1 1）十进制数）十进制数二进制数二进制数十进制数展开成基数为十进制数展开成基数为2 2的幂基数展开式的幂基数展开式如：如：(21.75)D=(10101.11)(10101.11)B B例如：将例如：将(173)(173)1010化为二进制数可如下进行化为二进制数可如下进行(173)(173)1010=(10101101)=(10101101)2 22余余102173余余1862余余0432余余052余余012余余1102余余1212余余12低位低位高位高位v整数转换采用除基取余法，直

9、到商为整数转换采用除基取余法，直到商为0 0算式法：算式法：v小数转换采用乘基取整法，直到小数部分为小数转换采用乘基取整法，直到小数部分为0 0例如：将（例如：将（0.81250.8125）1010化为二进制小数可如下进行化为二进制小数可如下进行0.812521.6250整数部分整数部分=10.625021.2500整数部分整数部分=1整数部分整数部分=00.250020.50000.500021.0000整数部分整数部分=1故（故（0.81250.8125）1010=（0.11010.1101）2 2低位低位高位高位注意：小数转换注意：小数转换不一定能算尽，不一定能算尽，达到一定精度的达到一

10、定精度的位数为止！位数为止！例：例：101 011 011.110 101 11 101 011 011.110 101 110 0（2 2）二二 八进制转换八进制转换则则(101011011.1101011101011011.11010111)1)B B整数和小数分别转换整数和小数分别转换整数整数：从小数点左第一位开始，每三位一组：从小数点左第一位开始，每三位一组小数小数：从小数点右第一位开始，每三位一组，：从小数点右第一位开始，每三位一组，不足补零不足补零写出每组二进制数对应的八进制数。写出每组二进制数对应的八进制数。5 3 3 .6 5 65 3 3 .6 5 6=(533.65=(53

11、3.656)6)O O(0101,1110.1011,01(0101,1110.1011,010000)B B3.3.八、十六八、十六二进制转换二进制转换 (3)(3)二二十六进制转换十六进制转换 （714.26714.26）O O=(8FA.76)(8FA.76)H H=把每位八进制数展开成三位二进制数。把每位八进制数展开成三位二进制数。把每位十六进制数展开成四位二进制数。把每位十六进制数展开成四位二进制数。（111111，001001，100.010,110)100.010,110)B B1000,1111,1010.0111,0110)1000,1111,1010.0111,0110)B

12、 B=(5E.B4)=(5E.B4)H H习习 题题(725)(725)1010=（？)8 8(?)l6 l6 (67.731)(67.731)8 8(?)(?)2 2(1111101(111110101001111)01001111)2 2(?)1616(?)8 8(725)(725)10 10=(1325)(1325)8 8(2D5)(2D5)1616(67.731)(67.731)8 8(110111(110111111011001)111011001)2 2(1111101(111110101001111)01001111)2 2(7D.4F)(7D.4F)1616(175.236)(

13、175.236)8 8习习 题题1.4 1.4 二进制代码二进制代码数字系统中，用特定的二进制码表示数值、字符数字系统中，用特定的二进制码表示数值、字符(包括控制符）等包括控制符）等一类信息。一类信息。编码编码：把特定的二进制码与所表示的信息一一对应起来。：把特定的二进制码与所表示的信息一一对应起来。n n位代码可以有位代码可以有2 2n n个不同的组合，即可以代表个不同的组合，即可以代表2 2n n种不同信息。种不同信息。编码时，应使编码时，应使 2 2n nNN几种常见编码方式几种常见编码方式1 1、自然二进制码、自然二进制码用四位二进制码表示十进制数用四位二进制码表示十进制数0 0 15

14、15，与自然二进制数结构、顺序是，与自然二进制数结构、顺序是一致的。一致的。这些特定的二进制码这些特定的二进制码代码代码2 2、二、二-十进制编码十进制编码-BCD-BCD码码用四位二进制码表示用四位二进制码表示0-90-9十个十进制数十个十进制数包括包括84218421码码、24212421码码、余三码等余三码等。表表1.4.11.4.1（P26P26）从从四位二进制码的四位二进制码的1616种组合中，选取种组合中，选取1010种来代表种来代表0909十个十进制数；十个十进制数；选取方法不同，选取方法不同，得到几种不同的得到几种不同的BCDBCD码码84218421码码与自然二进制数一一对应

15、，用与自然二进制数一一对应，用0000111100001111 中的前中的前1010种组合种组合0000100100001001来表示来表示0909十个十个 十进制数，其余六种组合无意义十进制数，其余六种组合无意义84218421码码24212421码码有权码有权码余余3 3码码是在是在84218421码的基础上加码的基础上加00110011而得而得,为为无权码无权码不能用加权系数和展开式3 3、格雷码、格雷码 P28P28表表1.4.21.4.2用四位二进制码的用四位二进制码的1616种组合表示十进制数种组合表示十进制数015015，但与自然二进制码的结构顺序不同。但与自然二进制码的结构顺序

16、不同。且与自然二进制码存在一定的关系。且与自然二进制码存在一定的关系。由自然二进制码由自然二进制码的本位与高位异的本位与高位异或而得或而得最高位（最高位（n n位）位）从次高位从次高位(n-1(n-1位位)起起该特点常用于模拟该特点常用于模拟量的转换。当模拟量量的转换。当模拟量发生微小变化，发生微小变化，格雷格雷码仅仅改变一位，这码仅仅改变一位，这与其它码同时改变与其它码同时改变2位或更多的情况相比，位或更多的情况相比，更加可靠更加可靠,且容易检且容易检错。错。格雷码具有循环格雷码具有循环邻接性邻接性1.5 基本基本逻辑运算与普通代数运算相比与普通代数运算相比相同点：相同点：都有变量与函数，变

17、量与函数均用字母表示都有变量与函数，变量与函数均用字母表示不同点不同点)无论变量与函数均只有两种取值无论变量与函数均只有两种取值0 0、1 1 )0 )0、1 1只表示两种对立的逻辑状态，只表示两种对立的逻辑状态，无数量大小的概念无数量大小的概念 )基本代数运算基本代数运算 、基本逻辑运算基本逻辑运算 与、或、非与、或、非 代数运算与逻辑运算，遵循不同的运算规则代数运算与逻辑运算，遵循不同的运算规则数字电路：研究输入、输出变量之间的逻辑关系数字电路：研究输入、输出变量之间的逻辑关系ABCFGF(A,B,C)G(A,B,C)逻辑函数逻辑函数逻辑运算逻辑运算逻辑代数逻辑代数布尔代数布尔代数L=A

18、B=ABL=A B=ABA、B：开关闭合为：开关闭合为1，断开为，断开为0；L L:灯亮为灯亮为 1 1，熄灭为，熄灭为 0 0；设设输入量输入量为开关的状态为开关的状态A、B；输出量（函数）输出量（函数）为灯的状态为灯的状态L L；(2)(2)逻辑式逻辑式AB+L_一、三种基本逻辑运算一、三种基本逻辑运算1 1、与逻辑（逻辑乘）、与逻辑（逻辑乘）(1)(1)定义定义只有当全部条件都同时满足时，只有当全部条件都同时满足时，结果才发生结果才发生(3)(3)真值表真值表用表格的形式表示变量与函数的逻辑关系用表格的形式表示变量与函数的逻辑关系 列出输入量的所有组合方式列出输入量的所有组合方式。ABL

19、000010100111有有 0 0 出出 0 0全全 1 1 出出 1 1(4)(4)逻辑符号逻辑符号ABLABL&国标国标国外国外推广到推广到n个逻辑变量情况，与运算的布尔代数表达式为：个逻辑变量情况，与运算的布尔代数表达式为：L=A1A2A3 An2 2、或逻辑（逻辑加）、或逻辑（逻辑加）ABL000011101111设设 开关闭合为开关闭合为 1 1，断开为，断开为 0 0灯亮为灯亮为 1 1，熄灭为，熄灭为 0 0有有 1 1 出出 1 1全全 0 0 出出 0 0(4)(4)逻辑符号逻辑符号国标国标国外国外ABLABL 1+_ABL(1)(1)定义定义只要有一个条件满足，结果就会发

20、生。只要有一个条件满足，结果就会发生。只要有一个条件满足，结果就会发生。只要有一个条件满足，结果就会发生。(2)(2)逻辑式逻辑式L=A+BL=A+B(3)(3)真值表真值表(1)(1)定义定义条件与结果反相条件与结果反相条件与结果反相条件与结果反相(2)(2)逻辑式逻辑式3 3、非逻辑（逻辑反）、非逻辑（逻辑反）设设 开关闭合为开关闭合为 1 1，断开为，断开为 0 0灯亮为灯亮为 1 1，熄灭为，熄灭为 0 0(4)(4)逻辑符号逻辑符号国标国标(3)(3)真值表真值表AL0110ALAL1国外国外A+L_R有有0出出1；有；有1出出0。二、几种常用的复合逻辑二、几种常用的复合逻辑二、几种

21、常用的复合逻辑二、几种常用的复合逻辑(1)(1)逻辑式逻辑式1 1、与非逻辑、与非逻辑(3)(3)逻辑符号逻辑符号(2)(2)真值表真值表L1AB&有有 0 0 出出 1 1全全 1 1 出出 0 0ABL001011101110国外国外ABL国标国标ABL&(1)(1)逻辑式逻辑式(3)(3)逻辑符号逻辑符号(2)(2)真值表真值表L1AB 1有有 1 1 出出 0 0全全 0 0 出出 1 1ABL0010101001102 2、或非逻辑、或非逻辑国外国外ABL国标国标ABL 1(1)(1)逻辑式逻辑式(3)(3)逻辑符号逻辑符号(2)(2)真值表真值表同入出同入出 0 0异入出异入出 1

22、 1ABL0000111011103 3、异或逻辑、异或逻辑国标国标ABL=1国外国外ABL4 4、同或逻辑、同或逻辑(3)(3)逻辑符号逻辑符号(2)(2)真值表真值表同入出同入出 1 1异入出异入出 0 0ABL001010100111(1)(1)逻辑式逻辑式L L=A A B B国标国标ABL=国外国外ABL注意注意当多个变量作异或运算时：当多个变量作异或运算时：若变量中有奇数个若变量中有奇数个1 1，则运算结果为，则运算结果为1 1；若变量中有偶数个若变量中有偶数个1 1，则运算结果为，则运算结果为0 0。当多个变量作同或运算时：当多个变量作同或运算时：若变量中有偶数个若变量中有偶数个

23、0 0，则运算结果为，则运算结果为1 1；若变量中有奇数个若变量中有奇数个0 0，则运算结果为，则运算结果为0 0。三、由工程问题建立逻辑函数方法或步骤三、由工程问题建立逻辑函数方法或步骤1 1.分析工程问题，确定变量与函数分析工程问题，确定变量与函数2 2.对变量、函数逻辑赋值对变量、函数逻辑赋值3 3.列真值表，表示变量与函数的关系列真值表，表示变量与函数的关系4 4.由真值表写出输出函数的逻辑表达式由真值表写出输出函数的逻辑表达式例：例：楼梯照明电路楼梯照明电路 A A、B B单刀双掷开关单刀双掷开关AB-+解解:1 1.确定变量与函数确定变量与函数变量为变量为A A、BB开关状态开关状

24、态;函数函数L L 灯状态灯状态2 2.逻辑赋值逻辑赋值设设 A A、B B向上为向上为“1”“1”；向下为；向下为“0”“0”L L灯亮为灯亮为“1”“1”；灯灭为；灯灭为“0”“0”3 3.列真值表列真值表ABL0010101001114 4.写逻辑式（与或式）写逻辑式（与或式）)取值为取值为1 1用原变量表示用原变量表示 取值为取值为0 0用反变量表示用反变量表示)变量组合之间的关系变量组合之间的关系 是或逻辑是或逻辑,而同一组合而同一组合 中的变量之间为与逻辑中的变量之间为与逻辑 L L=A AB B上节问题上节问题1、BCD码码2、逻辑赋值问题、逻辑赋值问题数字电路是研究输入、输出变

25、量之间的逻辑关系。数字电路是研究输入、输出变量之间的逻辑关系。逻辑代数（布尔代数）逻辑代数（布尔代数）逻辑运算遵循自己的定律、规则。逻辑运算遵循自己的定律、规则。逻辑函数、逻辑运算逻辑函数、逻辑运算分析、设计数字逻辑电路的基本工具分析、设计数字逻辑电路的基本工具2.1 2.1 逻逻辑代数辑代数 一、逻辑代数的基本定律一、逻辑代数的基本定律交换律交换律A+B=B+AA+B=B+AAB=BAAB=BA结合律结合律(A+B)+C=A+(B+C)(A+B)+C=A+(B+C)(AB)C=(AB)C=A(BC)A(BC)分配律分配律A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A

26、+C)A+BC=(A+B)(A+C)反演律反演律吸收律吸收律A=0A+=1=AAA=AA+A=AA1=AA+1=1A0=0A+0=A非非与与或或A(A+B)=AA(A+B)=A(A+B)(A+C)=A+BC(A+B)(A+C)=A+BCA+AB=AA+AB=AA+A+B=A+BB=A+B研究逻辑运算所遵循的定律、规则。研究逻辑运算所遵循的定律、规则。A+B+C+A+B+C+=A A B B C CA AB BC C=A+B+C+A+B+C+验证方法验证方法:检验等式两边函数的真值表是否相同检验等式两边函数的真值表是否相同逻辑代数的基本逻辑代数的基本定律定律验证验证逻辑代数的逻辑代数的基本基本定

27、律：定律：用其来证明其他的逻辑恒等式。其本身往往用其来证明其他的逻辑恒等式。其本身往往不能由其他定律得到证明。不能由其他定律得到证明。如二变量摩根定律如二变量摩根定律A+B=A+B=A A B BAB=A+BAB=A+B二、逻辑代数常用恒等式二、逻辑代数常用恒等式三三.逻辑运算的规则逻辑运算的规则 1 1、代入规则、代入规则等式两边的某变量用一个函数代替，等式仍然成立等式两边的某变量用一个函数代替，等式仍然成立可证明多变量的摩根律（反演律）可证明多变量的摩根律（反演律）二变量的摩根律：二变量的摩根律：以以BCBC代入代入B B注意：注意：1)1)变换过程必须保持原来运算的优先顺序变换过程必须保

28、持原来运算的优先顺序v遵循先遵循先“与与”后后“或或”的顺序的顺序v保持括号的优先权保持括号的优先权2 2、反演规则、反演规则:可用于求函数的反函数可用于求函数的反函数原变量原变量1 1将函数中将函数中反变量反变量0 0例例1 12)2)在几个变量上的非号必须保持不变在几个变量上的非号必须保持不变例例2 2：Y=(A+BC)(C+D)Y=(A+BC)(C+D)例例3 3用摩根定律验证：用摩根定律验证：3 3、对偶规则、对偶规则 指当某个逻辑恒指当某个逻辑恒等式成立时，则其两边的对偶式等式成立时，则其两边的对偶式也相等。也相等。注意：注意：变换过程变换过程 必须遵循原函数中先必须遵循原函数中先“

29、与与”后后“或或”的顺序的顺序 注意注意()()的优先权的优先权 在几个变量上的非号必须保持不变在几个变量上的非号必须保持不变其中其中变量不变变量不变将函数中将函数中1 10 0对偶式的取得：对偶式的取得：对偶式的取得：对偶式的取得：应用：当要证明某两个逻辑式相等时，可以证明他们的对偶式相应用：当要证明某两个逻辑式相等时，可以证明他们的对偶式相等，某些情况证明对偶式更加容易。等，某些情况证明对偶式更加容易。例例1 1：证明：证明A+BC=(A+B)(A+C)显然显然A(B+C)=AB+AC（分配律），（分配律），A(B+C)AB+AC所以由对偶规则所以由对偶规则A+BC=(A+B)(A+C)例

30、例2 2：证明：证明 对偶式对偶式对偶式对偶式对偶式对偶式对偶式对偶式=四四.逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法1 1、逻辑函数的不同形式、逻辑函数的不同形式对于对于同一个同一个逻辑问题逻辑问题，真值表真值表唯一唯一，但，但逻辑表达式逻辑表达式及其实现电路及其实现电路并并不唯一不唯一。利用逻辑代数的基本利用逻辑代数的基本定律定律和恒等式和恒等式反演定律反演定律反演定律反演定律分配律分配律二次取反二次取反冗余项冗余项L=AC+CDL=AC+CD=AC+CD=AC+CD=AC=AC CDCD=(A+C)=(A+C)(C+D)(C+D)=AC+CC+AD+CD=AC+CC+AD+CD=AC+C

31、D=AC+CD与或式与或式与非与非-与非式与非式与或非式与或非式二次取反二次取反摩根律摩根律摩根律摩根律摩根律摩根律=AC=AC CDCD=(A+C)(C+D)=(A+C)(C+D)=A+C+C+D=A+C+C+D或与式或与式或非或非-或非式或非式=(A+C)(C+D)=(A+C)(C+D)例例与或式可从真值表直接得到与或式可从真值表直接得到（乘积和的形式）（乘积和的形式），且可，且可容易地转容易地转换成其它形式换成其它形式。（如很容易转化成与非与非式）。（如很容易转化成与非与非式）重点讨论把逻辑函数化简成重点讨论把逻辑函数化简成最简与或式最简与或式。与或式最简标准与或式最简标准:)所含乘积项

32、最少所含乘积项最少)每个乘积项所含变量因子数亦最少每个乘积项所含变量因子数亦最少与或式两次取反再利用反演律与或式两次取反再利用反演律例例：将逻辑式变换成与非：将逻辑式变换成与非-与非形式与非形式首先化成与首先化成与-或式：或式：例：并项法并项法利用利用两项并一项且消去一变量两项并一项且消去一变量2 2、将逻辑函数化成最简与或式、将逻辑函数化成最简与或式吸收法吸收法利用利用A+AB=A消去多余项消去多余项例：消项法消项法利用利用消去冗余项消去冗余项冗余项冗余项冗余项冗余项冗余项冗余项消因子法消因子法 利用利用消去多余因子消去多余因子配项法配项法（利用（利用A+A=1)A+A=1)规律规律：配项展

33、开后，：配项展开后，用用吸收律消掉冗余项吸收律消掉冗余项综合运用综合运用冗余项冗余项例例例例)例例2.1.8 已知逻辑函数表达式为已知逻辑函数表达式为，要求：（要求：（1）最简的与）最简的与-或逻辑函数表达式，并画出相应的逻辑图；或逻辑函数表达式，并画出相应的逻辑图；（2）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。解：解：)例例2.1.9试对逻辑函数表达式试对逻辑函数表达式进行变换，仅用或非门画出该表达式的逻辑图。进行变换，仅用或非门画出该表达式的逻辑图。解：解：代数化简法的缺点：代数化简法的缺点：需熟练应用逻辑代数公式的技巧需熟练应用逻辑代数公式的技巧 很难判断是否得到最简很难判断是否得到最简v可利用卡诺图得到最简的与或式可利用卡诺图得到最简的与或式1、用基本公式和定理证明：、用基本公式和定理证明：2、求下列函数的对偶式和反函数：、求下列函数的对偶式和反函数：小测验小测验