《能量原理与变分法》PPT课件.ppt

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1、西安交通大学航天航空学院西安交通大学航天航空学院宋亚勤宋亚勤2013年年9-10月月固体力学非线性数值方法固体力学非线性数值方法10/27/20221第一章弹性力学简介第一章弹性力学简介 第二节：能量原理与变分法第二节：能量原理与变分法1、弹性体形变势能、弹性体形变势能2、泛函与变分、泛函与变分 最小势能原理、里兹（最小势能原理、里兹（Ritz）法、）法、伽辽金（伽辽金（Galerkin）法）法3、位移变分方程、位移变分方程4、应力变分方程、应力变分方程 最小余能原理、卡氏（最小余能原理、卡氏（Castigliano）定理）定理5、自然变分原理和广义变分原理、自然变分原理和广义变分原理6、弹性

2、力学修正变分原理、弹性力学修正变分原理10/27/202221.弹性力学问题的弹性力学问题的微分提法微分提法及其及其解法解法：（1）平衡微分方程）平衡微分方程（2）几何方程）几何方程（3）物理方程）物理方程（4）边界条件）边界条件应力边界条件；应力边界条件；位移边界条件；位移边界条件；定定解解问问题题求解方法求解方法：（1）按位移求解）按位移求解基本方程：基本方程：（a）以位移为基本未知量）以位移为基本未知量的的平衡微分方程平衡微分方程;（2）按应力求解）按应力求解基本方程：基本方程：（a）平衡微分方程；）平衡微分方程；（b）边界条件。）边界条件。（b）相容方程；相容方程；（c）边界条件。边界

3、条件。（a）归结为归结为求解联立的微求解联立的微分方程组分方程组；求解特点：求解特点：（b）难以求得难以求得解析解解析解。从研究从研究微小单元微小单元体入手，考察其体入手，考察其平衡平衡、变形变形、材料性质材料性质，建立基本方程：，建立基本方程：（3）混合解法）混合解法10/27/202232.弹性力学问题的弹性力学问题的变分提法变分提法及其及其解法解法：基本思想基本思想：在在所有可能的解所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；中，求出最接近于精确解的解；将定解问题转变为将定解问题转变为求解线性方程组求解线性方程组。弹性力学中的变分原理弹性力学中的变分原理 能量原理能量原理 直接处理直接处理整

4、个弹性系统整个弹性系统，考虑系统的，考虑系统的能量关系能量关系，建立一些泛函的，建立一些泛函的变分方程变分方程，将弹性力学问题归结为，将弹性力学问题归结为在给定约束条件下求泛函极（驻）在给定约束条件下求泛函极（驻）值的变分问题值的变分问题。（变分解法也称（变分解法也称能量法能量法）（a）以）以位移位移为基本未知量，为基本未知量，得到得到最小势（位）能原理最小势（位）能原理等。等。（b）以）以应力应力为基本未知量，为基本未知量，得到得到最小余能原理最小余能原理等。等。（c）同时以）同时以位移、应力、应变位移、应力、应变为未知量，为未知量，广义（约束）变分原理。广义（约束）变分原理。位移法位移法

5、力法力法 混合法混合法有限单元法有限单元法、边界元法边界元法、离散元法离散元法 等等数值解法数值解法。求解方法求解方法：里兹（里兹（Ritz）法、）法、伽辽金（伽辽金（Galerkin）法、）法、最小二乘法、力矩法等。最小二乘法、力矩法等。10/27/202243.弹性力学问题的弹性力学问题的数值解法数值解法：（a）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程）有限差分法；有限差分法；基本思想：基本思想：将将导数导数运算近似地用运算近似地用差分差分运算代替；运算代替；将定解问题转变为将定解问题转变为求解线性方程组求解线性方程组。典型软件：典型软件：

6、FLAC实质：实质：将将变量离散变量离散。（b）对）对变分方程变分方程进行数值求解进行数值求解 有限单元法有限单元法、边界元法边界元法、离散元法离散元法 等等典型有限元软件：典型有限元软件：ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN，ABAQUS 等；等；基本思想：基本思想：将求解将求解区域离散区域离散，离散成有限个小区域（离散成有限个小区域（单元单元），），在小区域（单元）上假设在小区域（单元）上假设可能解可能解，最后由能量原理最后由能量原理（变分原理）确定其最优解。（变分原理）确定其最优解。将问题转变为将问题转变为求解求解大型大型的线性方程组的线性方程组。10/27/2022

7、51 1 弹性体的变形能（应变能）弹性体的变形能（应变能）1.变形能的一般表达式变形能的一般表达式Pxl0l单向拉伸：单向拉伸：PlO外力所做的功：外力所做的功：由于在静载（缓慢加载）条件下，其由于在静载（缓慢加载）条件下，其它能量损失很小，所外力功全部转化杆件它能量损失很小，所外力功全部转化杆件的变形能（或应变能）的变形能（或应变能）U：杆件的体积杆件的体积令：令：单位体积的变形能（应变能），单位体积的变形能（应变能），称为称为应变能密度应变能密度。10/27/20226三向应力状态：三向应力状态：一点的应力状态：一点的应力状态：xyz整个弹性体的整个弹性体的应变能：应变能：若用张量表示：若

8、用张量表示：应变能密度：应变能密度：整体应变能：整体应变能：由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的次序次序无关无关，只取决于最终的状态。，只取决于最终的状态。假定所有应力分量与应变分量全部按比例增加（线弹假定所有应力分量与应变分量全部按比例增加（线弹性），此时，单元体的性），此时，单元体的应变能密度应变能密度：10/27/202272.应变能的应力分量表示应变能的应力分量表示在线弹性的情况下，由物理方程：在线弹性的情况下，由物理方程：代入应变能密度公式，整理得应变能密度的表达式：代入应变能密度公式，整理得应变能密度的表达式：代入应变能公式，有：代入

9、应变能公式，有：10/27/20228表明：表明：弹性体的应变能密度对于任一应力分量的改变率，就等于相应的应弹性体的应变能密度对于任一应力分量的改变率，就等于相应的应变分量。变分量。3.应变能的应变分量表示应变能的应变分量表示用应变表示的物理方程：用应变表示的物理方程：将应变能密度分别对将应变能密度分别对6 个应力分量求导，并将其结果与物理方程比较，得：个应力分量求导，并将其结果与物理方程比较，得：10/27/20229代入应变能密度公式，代入应变能密度公式，并整理可得：并整理可得：将上式对将上式对6个应变分量分别求导，再与应力表示的物理方程比较，个应变分量分别求导，再与应力表示的物理方程比较

10、，可得：可得：10/27/202210将几何方程代入应变能的表达式，得：将几何方程代入应变能的表达式，得：弹性体的应变能密度对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应弹性体的应变能密度对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应力分量。力分量。4.应变能的位移分量表示应变能的位移分量表示表明：表明：10/27/2022112 2 泛函与变分泛函与变分（1）函数与泛函的概念：）函数与泛函的概念：函数：函数：x 自变量；自变量；y 因变量；因变量；泛函：泛函：x 自变量；自变量；y 为一变函数，泛函的宗量；为一变函数，泛函的宗量；F 为函数为函数 y 的泛函；的泛函；例：例：U 被称为被称为形变势能泛函

11、形变势能泛函。10/27/202212（2）微分）微分 变分变分设函数：设函数：当自变量当自变量 x 有一增量：有一增量：函数函数 y 也有一增量：也有一增量：dx 与与 dy分别称为自变量分别称为自变量 x 与函数与函数 y 的的 微分。微分。设泛函：设泛函：函数函数 y 有一增量：有一增量：泛函泛函 U 也有一增量：也有一增量：泛函的增量泛函的增量 U 等称为变分等称为变分。微分问题微分问题 研究研究自变函数的增量自变函数的增量与与泛函泛函的增量的增量 间关系称为间关系称为变分问题变分问题。是函数取极值的必要条件。是函数取极值的必要条件。是泛函取极值的必要条件。是泛函取极值的必要条件。10

12、/27/202213例如：例如：Pcr（1）压杆稳定问题）压杆稳定问题 寻求压杆形变势能寻求压杆形变势能 U 达到达到最大最大值值时的压力时的压力 P 值。值。（2）最速降线问题）最速降线问题12 球从球从位置位置1下落至下落至位置位置2，所需时间为，所需时间为T，泛函的变分问题泛函的变分问题10/27/202214（3）变分及其性质）变分及其性质定义：定义：泛函泛函增量：增量：函数函数连续性：连续性：称函数称函数 y 在在 x0 点连续。点连续。当当有有称泛函称泛函 U 在在 y0(x)处零阶接近。处零阶接近。当当有有称泛函称泛函 U 在在 y0(x)处一阶接近。处一阶接近。当当有有称泛函称

13、泛函 U 在在 y0(x)处二阶接近。处二阶接近。10/27/202215（4）变分的运算）变分的运算变分与微分运算：变分与微分运算：变分运算与微分运算互相交换变分运算与微分运算互相交换。变分与积分运算：变分与积分运算：变分运算与积分运算互相交换变分运算与积分运算互相交换。10/27/202216泛函的变分：泛函的变分：一阶变分：一阶变分：二阶变分：二阶变分：10/27/202217一阶变分：一阶变分：二阶变分：二阶变分：二阶变分用于判别驻值点是取得二阶变分用于判别驻值点是取得极大值极大值还是还是极小值极小值。10/27/202218建立：弹性体的建立：弹性体的形变势能形变势能与与位移位移间间

14、变分的变分的关系关系 位移变分方程位移变分方程qP应力边界应力边界 S位移边界位移边界 Su设弹性体在外力作用下，处于平衡状态。设弹性体在外力作用下，处于平衡状态。边界：边界：位移场：位移场：应力场：应力场：满足：平衡方程、几何方程、物满足：平衡方程、几何方程、物理方程、边界条件。理方程、边界条件。称为称为真实解真实解3 3 位移变分方程位移变分方程应变场：应变场：10/27/202219任给弹性体一微小的位移变化：任给弹性体一微小的位移变化：满足条件：满足条件：位移边界条件位移边界条件。qP应力边界应力边界 S位移边界位移边界 Su考察弹性体的能量变化考察弹性体的能量变化:（若可能位移为真实

15、位移）（若可能位移为真实位移）由能量守恒原理：由能量守恒原理：弹性体变形势能的增加，等于外力势能的减少。弹性体变形势能的增加，等于外力势能的减少。（在没有温度改变、动能改变的情况下）（在没有温度改变、动能改变的情况下）设：设：表示弹性变形势能的增量；表示弹性变形势能的增量；表示外力在虚位移上所做的功，它在数值上等于外力表示外力在虚位移上所做的功，它在数值上等于外力势能的减少。势能的减少。则有：则有：可能的位移状态：可能的位移状态：称为称为位移的变分位移的变分，或，或虚位移虚位移，对于的应变叫虚应变，满足几何方程。对于的应变叫虚应变，满足几何方程。10/27/202220体力：体力：面力：面力：

16、外力外力代入前式：代入前式：表明：表明：物体应变能的变分，等于外力在虚位移上所做的虚功。物体应变能的变分，等于外力在虚位移上所做的虚功。称为称为位移变分方程位移变分方程，也称，也称 Lagrange 变分方程变分方程。外力的虚功：外力的虚功：外力的虚功外力的虚功表示表示：实际外力在虚位移上所做的虚功实际外力在虚位移上所做的虚功10/27/202221 内力的虚功：内力的虚功：由于由于:两边求变分两边求变分:将将 U1 视为应变视为应变分量的函数分量的函数而而:10/27/202222将上式代入位移变分方程，有将上式代入位移变分方程，有虚位移方程或虚功方程虚位移方程或虚功方程表明表明表明表明：如

17、果如果在虚位移发生前，弹性体处于在虚位移发生前，弹性体处于平衡平衡状态，状态，则则在虚位移发生过程在虚位移发生过程中，中，外力在虚位移上所做的虚功，等于应力在虚应变上所做的虚功。外力在虚位移上所做的虚功，等于应力在虚应变上所做的虚功。虚功方程虚功方程 是是有限单元法有限单元法的理论基础，也是许多的理论基础，也是许多变分原理变分原理的基础。的基础。表示表示：实际应力在虚应变上所做的虚功实际应力在虚应变上所做的虚功 内力的虚功内力的虚功10/27/202223最小势能原理最小势能原理 也是位移变分方程的一个应用也是位移变分方程的一个应用位移变分方程：位移变分方程：由于虚位移为由于虚位移为微小的微小

18、的、满足位移边界条件的（通常称为基本边界条件）满足位移边界条件的（通常称为基本边界条件），所以，可认为在虚位移发生过程中，外力的大小和方向都不变，只是作用点所以，可认为在虚位移发生过程中，外力的大小和方向都不变，只是作用点位置有微小变化。位置有微小变化。于是，有：于是，有：若初始状态为零势能状态，并用若初始状态为零势能状态，并用 V 表示外力势能，则根据能量守恒，外力表示外力势能，则根据能量守恒，外力势能等于外力在实际位移上所做的功的相反值，则势能等于外力在实际位移上所做的功的相反值，则代入前式，有：代入前式，有：外力在实际位移上做的功外力在实际位移上做的功10/27/202224其中：其中：

19、应变能能与外力势能的总和，应变能能与外力势能的总和，称为称为系统的总势能系统的总势能表明：表明：表明：表明：在给定的外力作用下，实际存在的位移应使系统的总势能在给定的外力作用下，实际存在的位移应使系统的总势能的变分为零。的变分为零。平衡状态：平衡状态：（1）稳定平衡状态；）稳定平衡状态；（2）不稳定平衡状态；）不稳定平衡状态；（3）随遇平衡状态；）随遇平衡状态；稳定平衡稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡随遇平衡随遇平衡 势能取势能取极小值极小值 势能取势能取极大值极大值 不定不定最小势能原理最小势能原理最小势能原理最小势能原理：在给定的外力作用下，满足几何方程和在给定的外力作用下，满足几何方程和位移

20、边界条件的各组位移中，实际存在的位位移边界条件的各组位移中，实际存在的位移，应使系统的总势能取最小值。移，应使系统的总势能取最小值。10/27/202225实际存在的实际存在的位移应满足：位移应满足：（1）位移边界条件；）位移边界条件；（2）平衡方程（位移形式）；）平衡方程（位移形式）；（3）应力边界条件。）应力边界条件。（1）位移边界条件）位移边界条件；（基；（基 本边界条件）本边界条件）（2）最小势能原理。）最小势能原理。因而，有：因而，有：（1）平衡方程（位移形式）；）平衡方程（位移形式）；（2）应力边界条件）应力边界条件。（自然边界。（自然边界 条条 件）件）（可互相导出）（可互相导出

21、）最小势能原理最小势能原理伽辽金变分方程伽辽金变分方程 由虚位移方程的建立知道虚位移满足由虚位移方程的建立知道虚位移满足位移边界条件位移边界条件，若还满足，若还满足应力应力边界条件边界条件时，弹性体的时，弹性体的位移变分应满足的方程。位移变分应满足的方程。将将虚应变虚应变用虚位移表示：用虚位移表示：将其代入虚位移方程：将其代入虚位移方程：10/27/20222610/27/202227 同理，可得到其余各项的结果：同理，可得到其余各项的结果：将其代入虚位移方程，有：将其代入虚位移方程，有：00010/27/202228 伽辽金（伽辽金（Galerkin）变分方程）变分方程表明：表明：表明：表明

22、：当所取位移分量当所取位移分量同时满足同时满足位移边界条件、应力边界条件时，位移边界条件、应力边界条件时，其位移变分需满足的方程。其位移变分需满足的方程。10/27/2022291.里兹里兹（Ritz）法法基本思想：基本思想：设定位移函数设定位移函数的表达形式，使其的表达形式，使其满足位移边界条件满足位移边界条件，其中含，其中含有若干待定常数，然后有若干待定常数，然后利用位移变分方程确定这些常数利用位移变分方程确定这些常数，即，即得位移解。得位移解。设取位移的表达式如下：设取位移的表达式如下：其中：其中：为互不相关的为互不相关的 3m 个系数；个系数；为设定的函数，且在边界上有：为设定的函数，

23、且在边界上有：为位移为位移边界上为零边界上为零的设定函数的设定函数显然，上述显然，上述函数满足位移函数满足位移边界条件边界条件。此时，位移的变分此时，位移的变分只能由系数只能由系数 Am、Bm、Cm的变分来实现。的变分来实现。与变分无关。与变分无关。位移变分法：位移变分法：10/27/202230（a）位移的变分：位移的变分：形变势能的变分：形变势能的变分：（b）将式（将式（a）、（）、（b）代入位移变分方程，有：）代入位移变分方程，有：10/27/202231将上式整理、移项、合并，可得：将上式整理、移项、合并，可得：完全任意，且互相独立，完全任意，且互相独立，要使上式成立，则须有：要使上式

24、成立，则须有：10/27/202232 Ritz 法方程法方程或称或称 Rayleigh-Ritz 法方程法方程说明：说明：（1）由由 U 的位移表达式可知，的位移表达式可知，U 是系数是系数的二次函数，的二次函数，因而，上式为各系数的因而，上式为各系数的线性方程线性方程 组组。互不相关，因而，总可以求出全部的系数。互不相关，因而，总可以求出全部的系数。（2）求出了系数求出了系数就可求得其它量，如位移、应力等就可求得其它量，如位移、应力等（3）在假定位移函数时，须保证其在假定位移函数时，须保证其满足全部位移边界条件满足全部位移边界条件。10/27/2022332.伽辽金伽辽金（Galerkin

25、）法法设取位移的表达式如下：设取位移的表达式如下：同时满足：同时满足：（1）位移边界条件；）位移边界条件；（2）应力边界条件；）应力边界条件；位移的变分：位移的变分：将其代入伽辽金变分方程：将其代入伽辽金变分方程：得到：得到：10/27/202234完全任意，且互相独立，完全任意，且互相独立，要使上式成立，则须有：要使上式成立，则须有：10/27/202235将物理方程和几何方程代入，有将物理方程和几何方程代入，有 伽辽金（伽辽金（Galerkin）法方程）法方程说明：说明：（1）与与 Ritz 法类似，得法类似，得 3m 阶的线性方程组，可求出阶的线性方程组，可求出3m个系数。个系数。（2）

26、伽辽金（伽辽金（Galerkin）法与）法与 Ritz 法的区别：在于设位移函数时，法的区别：在于设位移函数时，前者要求前者要求同时满足应力、位移边界条件同时满足应力、位移边界条件，而后者，而后者只要求满足位移只要求满足位移边界条件边界条件。10/27/202236（1）位移变分方程）位移变分方程（2）虚位移方程）虚位移方程位移变分方程小结：位移变分方程小结：也称也称 Lagrange 变分方程变分方程：（3）最小势能原理）最小势能原理说明：说明：说明：说明：（1）只要求：虚位移满足位移边界条件；）只要求：虚位移满足位移边界条件；（2）对虚位移方程，也适用）对虚位移方程，也适用各种材料的物理方

27、程各种材料的物理方程。如：塑性材料、非线性弹性材料等。如：塑性材料、非线性弹性材料等。10/27/202237（4）伽辽金（）伽辽金（Galerkin）变分方程）变分方程要求要求：可能（虚）位移满足：可能（虚）位移满足：（1）位移边界条件；）位移边界条件；（2）应力边界条件。）应力边界条件。10/27/202238x4 4 应力变分方程应力变分方程余能密度余能密度Pl0lO（1）单向应力状态）单向应力状态设：设：一般的应力应变关系一般的应力应变关系形变势能：形变势能：d00 单位体积的形变势能单位体积的形变势能余能密度：余能密度：单位体积的形变余能单位体积的形变余能对线弹性体，显然有：对线弹性

28、体，显然有：应变能密度等于应变能密度等于余能余能密密度度表明：余能密度表明：余能密度在数值上等于图中矩形面积减去在数值上等于图中矩形面积减去 U1 后后余下的面积。余下的面积。一般情形：一般情形：单位体积的形变势能单位体积的形变势能 单位体积的形变余能单位体积的形变余能10/27/202239（2）三向应力状态）三向应力状态对线弹性体，有：对线弹性体，有：弹性体余能：弹性体余能：对线弹性体对线弹性体：物体余能常用应力表示：物体余能常用应力表示：10/27/202240（3）余能的变分）余能的变分对照余能密度的表达式，有：对照余能密度的表达式，有：10/27/202241若将上式中应变分量利用几

29、何方程表示成位移形式，有：若将上式中应变分量利用几何方程表示成位移形式，有：代入余能的变分表达式，有：代入余能的变分表达式，有：10/27/202242 应力变分方程应力变分方程设有任一弹性体，在外力的作用下处于平衡状态。其应力和位移分别为：设有任一弹性体，在外力的作用下处于平衡状态。其应力和位移分别为：实际的应力和位移实际的应力和位移建立：物体建立：物体余能的变分余能的变分与与应力变分应力变分之间的之间的关系关系。（1）应力的变分）应力的变分假设：作用于物体的体力不变，而应力分量发生如下变分：假设：作用于物体的体力不变，而应力分量发生如下变分：常称为常称为虚应力虚应力变化后应力状态：变化后应

30、力状态：（2）应力变分方程（假定可能应力是问题的解）应力变分方程（假定可能应力是问题的解）都满足平衡方程都满足平衡方程并作用于同样的体力，并作用于同样的体力，将其分别代入平衡微分方程，并进行比较，应有：将其分别代入平衡微分方程，并进行比较，应有：此应力状态满足平衡方程以及应力边界条件（基本边界条件）此应力状态满足平衡方程以及应力边界条件（基本边界条件）.10/27/202243（a）张量表示张量表示在在位移给定位移给定的边界上，的边界上，由于应力的变分（增量）将引起一个允许表面力：由于应力的变分（增量）将引起一个允许表面力：由边界上应力与边界面法向余弦关系，在位移给定边界上，应有：由边界上应力

31、与边界面法向余弦关系，在位移给定边界上，应有：（b）张量表示张量表示在应力边界上，满足无外力的边界条件：在应力边界上，满足无外力的边界条件：（c）张量表示张量表示10/27/202244由余能的变分：由余能的变分：利用奥利用奥-高公式，将上式每一项作变换，高公式，将上式每一项作变换，如：如：将其代入余能的变分，并整理有：将其代入余能的变分，并整理有：10/27/202245000得到：得到：上式表明：上式表明：由于应力的变分，由于应力的变分，余能的变分余能的变分等于允许表等于允许表面力的变分在实际面力的变分在实际位移上所做的功位移上所做的功（虚功）。（虚功）。应力变分方程，应力变分方程，也称也

32、称Castigliano变分方程。变分方程。10/27/202246说明：说明：（1）要求应力的变分满足：要求应力的变分满足：平衡微分方程；平衡微分方程；应力边界条件；应力边界条件；（2）由应力变分方程：由应力变分方程：可得；右边的积分仅当在给定可得；右边的积分仅当在给定非零位移的边界非零位移的边界上才不为零；上才不为零；而在而在应力边界应力边界和和固定位移边界固定位移边界均为零。均为零。（3）实际存在的实际存在的应力应力应满足：应满足：（1）平衡方程；）平衡方程；（2）相容方程；）相容方程；（3）应力边界条件；）应力边界条件；（4）位移边界条件。）位移边界条件。（1）平衡方程；）平衡方程；（

33、2）应力边界条件；）应力边界条件；（3）应力变分方程）应力变分方程可见：可见：应力变分方程应力变分方程（1）相容方程；）相容方程；（2）位移边界条件。）位移边界条件。特别当位移边界为特别当位移边界为固定边界固定边界时，时，应力变分方程应力变分方程等价于等价于相容方程，相容方程，且有：且有：10/27/202247最小余能原理最小余能原理将应力变分方程：将应力变分方程：改写为：改写为：（c）在要积分的边界上，位移是给定的，其变分恒为零，在要积分的边界上，位移是给定的，其变分恒为零，上式可写为上式可写为（d）式中：式中：U*为形变余能；为形变余能；外力余能；外力余能；总余能；总余能；于是式（于是式

34、（d）可写成：）可写成：（d）10/27/202248（d）（d）或：或：上式上式表明：表明：在满足平衡微分方程和应力边界条件的各组应力中，实际存在满足平衡微分方程和应力边界条件的各组应力中，实际存在的应力应使弹性体的总余能成为极值。如果考虑二阶变分，在的应力应使弹性体的总余能成为极值。如果考虑二阶变分，可以证明该极值为极小值。可以证明该极值为极小值。最小余能原理最小余能原理最小余能原理：是应力变分方程的一个应用，等价于弹性体的最小余能原理：是应力变分方程的一个应用，等价于弹性体的相容方程相容方程与与位移边界条件位移边界条件。说明：说明：应力变分方程应力变分方程或或最小余能原理最小余能原理，仅

35、限于单连体问题。，仅限于单连体问题。对于多连体问题，还需考虑对于多连体问题，还需考虑位移单值条件，位移单值条件，而在应力变分方程中而在应力变分方程中考虑位移单值是考虑位移单值是非常复杂的问题非常复杂的问题。10/27/2022491.应力分量的设定应力分量的设定 以应力为未知量的近似解法以应力为未知量的近似解法满足平衡微分方程；满足平衡微分方程；应力分量设定的要求：应力分量设定的要求：满足应力边界条件。满足应力边界条件。帕普考维奇帕普考维奇应力分量设定：应力分量设定：其中：其中：（1）Am 为互不相关的为互不相关的 m 个系数；个系数；平衡方程与应力边界条件的设定函数；平衡方程与应力边界条件的

36、设定函数；为满足为满足（2）（3）为满足为满足“没有没有体力与面力体力与面力作用时的作用时的平衡方平衡方程程与与应力边界条件应力边界条件”的设定函数；的设定函数；此时应力的变分仅由系数此时应力的变分仅由系数 Am 的变的变分实现。分实现。应力变分法应力变分法10/27/2022502.应力变分法方程应力变分法方程（1）弹性体的）弹性体的位移边界为固定边界位移边界为固定边界此时，应力变分方程为：此时，应力变分方程为：将设定应力分量代入形变余能表达式：将设定应力分量代入形变余能表达式：将其代入应力变分方程，有：将其代入应力变分方程，有：由于由于 Am为互相独立，且任意为互相独立，且任意，有：，有：

37、由此得到由此得到 m 个线性方程，个线性方程，可确定可确定m个系数个系数Am。10/27/202251（2）弹性体具有）弹性体具有给定给定的的非零位移边界条件非零位移边界条件此时，应力变分方程为：此时，应力变分方程为：（a）式中：式中：u、v、w 为已知函数；为已知函数；而而 为非零位移边界上面力变分：为非零位移边界上面力变分：可由边界上应力应满足的条件确定：可由边界上应力应满足的条件确定：（b）将设定的应力分量式代入上式，并积分式（将设定的应力分量式代入上式，并积分式（a）的右边，得：）的右边，得：（c）式中：式中：Bm 为积分所得的常数。为积分所得的常数。而式（而式（a）左边为：）左边为：

38、（d）10/27/202252由式（由式（c）、（）、（d）、（）、（a）可得：）可得：由于由于 Am为互相独立，且任意为互相独立，且任意，所以有：，所以有：（e）式（式（e）仍为一）仍为一 m 阶的线性方程组，可求解出阶的线性方程组，可求解出 m 个系数个系数 Am，将系数将系数 Am代回应力分量设定式，即得所求的应力。代回应力分量设定式，即得所求的应力。说明：说明：（1）若每一部分边界上，不是面力被给定，就是位移等于零，）若每一部分边界上，不是面力被给定，就是位移等于零，则所有的则所有的 Bm 都为零，此时式（都为零，此时式（e）简化为：）简化为：（2）要求可能的应力分量）要求可能的应力分量既满足平衡微分方程既满足平衡微分方程、又、又满足应力边满足应力边界条件界条件，往往比较困难。，往往比较困难。但若某些问题存在应力函数，但若某些问题存在应力函数，由于应力函数表示的应力分量已由于应力函数表示的应力分量已满足平衡微分方程满足平衡微分方程，所以，所以，假设的应力分量假设的应力分量只需满足应力边界条件只需满足应力边界条件即可。即可。10/27/202253谢谢！谢谢！请提问、进行讨论！请提问、进行讨论！10/27/202254