《材料研究方法》PPT课件.ppt
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1、倒易点阵与倒易点阵与X X射线衍射射线衍射1.1.18951895年年伦伦琴琴发发现现X X射射线线后后,认认为为是是一一种种波波,但无法证明。但无法证明。2.2.当当时时晶晶体体学学家家对对晶晶体体构构造造(周周期期性性)也也没没有有得到证明。得到证明。19121912年劳厄将年劳厄将X X射线用于射线用于CuSOCuSO4 4晶体衍射同时证明晶体衍射同时证明了这两个问题了这两个问题,从此诞生了从此诞生了X X射线晶体衍射学射线晶体衍射学劳厄用X射线衍射同时证明了这两个问题1.人们对可见光的衍射现象有了确切的了解:光栅常数(a+b)只要与点光源的光波波长为同一数量级,就可产生衍射,衍射花样取
2、决于光栅形状。2.晶体学家和矿物学家对晶体的认识:晶体是由原子或分子为单位的共振体(偶极子)呈周期排列的空间点阵,各共振体的间距大约是10-8-10-7cm,已计算出14种点阵类型。本节研究X射线衍射可归结为两方面的问题:v衍射方向和衍射强度。v衍射方向问题是依靠布拉格方程(或倒易点阵)的理论导出的;v衍射强度主要介绍多晶体衍射线条的强度,将从一个电子的衍射强度研究起,接着研究一个原子的、一个晶胞的以至整个晶体的衍射强度,最后引入一些几何与物理上的修正因数,从而得出多晶体衍射线条的积分强度。第二节:倒易点阵第二节:倒易点阵 v晶体中的原子在三维空间周期性排列,这种点阵称为正点阵或真点阵。v以长
3、度倒数为量纲与正点阵按一定法则对应的虚拟点阵-称倒易点阵定义倒易点阵v定义倒易点阵的初基矢量垂直于正点阵异名矢量构成的平面v所以有:v(仅当正交晶系)立方点阵的倒易点阵v简立方v面心立方v体心立方a=,b=c=,a=,b=c=,正、倒点阵参数之间的关系v正点阵与倒点阵二者互为倒易的。v点阵参数之间的关系式v书中P公式()至()倒易点阵性质v根据定义在倒易点阵中,从倒易原点到任一倒易点的矢量称倒易矢量ghkl vg*hkl =v可以证明:v1.g*矢量的长度等于其对应晶面间距的倒数 g*hklhkl =1/d=1/dhklhkl,其方向与晶面相垂直即 g*/N(晶面法线)v.倒点阵矢量与正点阵矢
4、量的点积比为整数倒易点阵性质证明:()利用向量几何的知识。以下就与r*及其性质有关的两个问题进行说明倒易阵点与正点阵(倒易阵点与正点阵(HKLHKL)晶面的对应关系)晶面的对应关系 ,g*g*的基本性质确切表达了的基本性质确切表达了其与(其与(HKLHKL)的)的 对应关系,即一个对应关系,即一个g*g*与一组(与一组(HKLHKL)对应;)对应;g*g*的方向与大小表达了(的方向与大小表达了(HKLHKL)在正点阵中的方位与晶面间距;反之,)在正点阵中的方位与晶面间距;反之,(HKLHKL)决定了)决定了g*g*的方向与大小的方向与大小g*g*的基本性质也建立了作为终点的的基本性质也建立了作
5、为终点的倒易(阵)点与(倒易(阵)点与(HKLHKL)的)的 对应关系:对应关系:正点阵中每正点阵中每(HKLHKL)对)对应着一个倒易点应着一个倒易点,该倒易点在倒易点阵中坐标(可称阵点指数)即,该倒易点在倒易点阵中坐标(可称阵点指数)即为(为(HKLHKL);反之,一个阵点指数为);反之,一个阵点指数为HKLHKL的倒易点对应正点阵中一组的倒易点对应正点阵中一组(HKLHKL),(),(HKLHKL)方位与晶面间距由该倒易点相应的决定,下图为)方位与晶面间距由该倒易点相应的决定,下图为晶面与倒易矢量(倒易点)对应关系示例。晶面与倒易矢量(倒易点)对应关系示例。倒易点阵的建立:倒易点阵的建立
6、:若已知晶体点阵参数,即有定义可求得其相应倒易点若已知晶体点阵参数,即有定义可求得其相应倒易点阵参数,从而建立其倒易点阵也可依据与(阵参数,从而建立其倒易点阵也可依据与(HKLHKL)的对应关系,通)的对应关系,通过作图法建立倒易点阵。即在正点阵中取若干不同方位的(过作图法建立倒易点阵。即在正点阵中取若干不同方位的(HKLHKL),),并据其作出对应的,各终点的阵列即为倒易点阵并据其作出对应的,各终点的阵列即为倒易点阵晶面与倒易结点的关系 晶面间距和晶面夹角v晶面间距和晶面夹角公式的推导是根据向量几何的知识,在根据晶体学的知识,很容易的推出。这里必须强调的是,这些公式(P17表)不要求大家记住
7、,但是一定会推导出。晶带轴v在晶体中如果若干个晶面同时平行于某一轴向时,则这些晶面属于同一晶带,而这个轴向就称为晶带轴。v若晶带轴的方向指数为uvw,晶带中某晶面的指数为(hkl),则(hkl)的倒易矢量g必定垂直于uvw。则vuvw=ua+ub+wcv v这两个矢量互相垂直,则其数量积必为零,故v将上式展开,得v 晶带轴指数v当某晶带中二晶面的指数已知时,则对应倒易矢量的矢积必行晶带轴矢量,可通过联立方程来求解晶带轴的指数。但为了方便,一般采用交叉法求解。例如两晶面的指数分别为(h1k1l1)及(h2k2l2),其相应的晶带轴uvw为vh1 k1 l1 h1 k1 l1v vh2 k2 l2
8、 h2 k2 l2v u v wv即 v采用类似的方法可求出同属二已知晶向的晶面指数。v作业:利用倒易点阵的概念推导晶面间距公式P17表中,晶带轴指数第三节:X射线衍射几何条件v一、前言:一个衍射花样的特征有两个方面的特征:v()衍射线在空间的分布规律晶胞的大小、形状和位向劳厄方程与布拉格方程v()衍射线束的强度原子在晶胞中的位置几何结构因子劳厄方程v从一维出发:点阵常数为a入射角为衍射角为如图所示。根据衍射物理学可知,只有光程差为波长的整数倍时,才能发生衍射,即vBDACa(cos-cos)=n劳厄方程v推广到三维:v 其中为 点阵常数。为衍射方向角v写成矢量形式劳厄方程v注1v劳厄方程能够
9、给出衍射线在空间分布规律与晶体结构之间的关系。v由高等数学的知识可知对任意一组H,K,L方程并不一定有解,只有选择合适的或者选择适当的入射方向,才可能有解,布拉格方程布拉格方程 v用劳厄方程描述x射线被晶体的衍射现象时,入射线、衍射线与晶轴的六个夹角不易确定,用该方程组求点阵常数比较困难。所以,劳厄方程虽能解释衍射现象,但使用不便。1912年英国物理学家布拉格父子(Bragg,W.H.Bragg,W.L.)从x射线被原子面“反射”的观点出发,推出了非常重要和实用的布拉格定律。v可以说,劳厄方程是从原子列散射波的干涉出发,去求射线照射晶体时衍射线束的方向,而布拉格定律则是从原子面散射波的干涉出发
10、,去求x射线照射晶体时衍射线束的方向,两者的物理本质相同。布拉格定律的推证v当射线照射到晶体上时,考虑一层原子面上散射射线的干涉。当射线以角入射到原子面并以角散射时,相距为a的两原子散射x射的光程差为:v v当光程差等于波长的整数倍()时,在 角方向散射干涉加强。即程差=0,从上式可以看出一层原子面上所有散射波干涉将会加强。与可见光的反射定律相类似,射线从一层原子面呈镜面反射的方向,就是散射线干涉加强的方向,因此,常将这种散射称从晶面反射。布拉格定律的推证vx x射线有强的穿透能力,在射线有强的穿透能力,在x x射线作用下晶体的散射线来自若干层原子面,射线作用下晶体的散射线来自若干层原子面,除
11、同一层原子面的散射线互相干涉外,各原子面的散射线之间还要互相除同一层原子面的散射线互相干涉外,各原子面的散射线之间还要互相干涉。这里只讨论两相邻原子面的散射波的干涉。过干涉。这里只讨论两相邻原子面的散射波的干涉。过D D点分别向入射线和点分别向入射线和反射线作垂线,则反射线作垂线,则ADAD之前和之前和CDCD之后两束射线的光程相同,它们的程差为之后两束射线的光程相同,它们的程差为AB+8CAB+8C2dsin2dsin当光程差等于波长的整数倍时,相邻原子面散射波干当光程差等于波长的整数倍时,相邻原子面散射波干涉加强,即干涉加强条件为:涉加强,即干涉加强条件为:布拉格定律的讨论-(1)选择反射
12、v射线在晶体中的衍射,实质上是晶体中各原子相干散射射线在晶体中的衍射,实质上是晶体中各原子相干散射波之间互相干涉的结果。但因衍射线的方向恰好相当于原波之间互相干涉的结果。但因衍射线的方向恰好相当于原子面对入射线的反射,故可用布拉格定律代表反射规律来子面对入射线的反射,故可用布拉格定律代表反射规律来描述衍射线束的方向。描述衍射线束的方向。v但应强调指出,但应强调指出,x x射线从原子面的反射和可见光的镜面反射线从原子面的反射和可见光的镜面反射不同,前者是有选择地反射,其选择条件为布拉格定律;射不同,前者是有选择地反射,其选择条件为布拉格定律;而一束可见光以任意角度投射到镜面上时都可以产生反射,而
13、一束可见光以任意角度投射到镜面上时都可以产生反射,即反射不受条件限制。即反射不受条件限制。v因此,将因此,将x x射线的晶面反射称为射线的晶面反射称为选择反射选择反射,反射之所以有,反射之所以有选择性,是晶体内若干原子面反射线干涉的结果。选择性,是晶体内若干原子面反射线干涉的结果。布拉格定律的讨论-(2)衍射的限制条件 v由布拉格公式由布拉格公式2dsin=n2dsin=n可知,可知,sin=n/2dsin=n/2d,因,因sin1sin1,故,故n/2d 1n/2d 1。v为使物理意义更清楚,为使物理意义更清楚,现考虑现考虑n n1 1(即(即1 1级反射)的情况,级反射)的情况,此时此时/
14、2d/2/2d/2的晶面才能产生衍射。的晶面才能产生衍射。v例如的一组晶面间距从大到小的顺序:,例如的一组晶面间距从大到小的顺序:,1.01 1.01,0.90 0.90,0.83 0.83,0.76 0.76 当用波长为的铁靶照射时,当用波长为的铁靶照射时,因,只有四个因,只有四个d d大于它,故产生衍射的晶面组有四个。如大于它,故产生衍射的晶面组有四个。如用铜靶进行照射,用铜靶进行照射,因,因,故前六个晶面组都能产生衍射。故前六个晶面组都能产生衍射。布拉格定律的讨论-(2)衍射的限制条件v当d一定,是否对任意的都能得到衍射线?都能得到衍射线?v由由/2d/2d,可知,可知2d2d,对于波长
15、较大的,对于波长较大的X X射射线,不可能所有的晶面都有衍射线。线,不可能所有的晶面都有衍射线。布拉格定律的讨论-(3)干涉面和干涉指数 v为了使用方便,为了使用方便,常将布拉格公式改写成。常将布拉格公式改写成。v如令如令 ,则,则v这样由(这样由(hklhkl)晶面的)晶面的n n级反射,可以看成由面间级反射,可以看成由面间距为的(距为的(HKLHKL)晶面的)晶面的1 1级反射,(级反射,(hklhkl)与)与(HKLHKL)面互相平行。面间距为的)面互相平行。面间距为的 d dHKLHKL 晶面不晶面不一定是晶体中的原子面,而是为了简化布拉格公一定是晶体中的原子面,而是为了简化布拉格公式
16、而引入的反射面,常将它称为干涉面。式而引入的反射面,常将它称为干涉面。布拉格定律的讨论-(3)干涉面和干涉指数v干涉指数有公约数干涉指数有公约数n,而晶面指数只能是互,而晶面指数只能是互质的整数。当干涉指数也互为质数时,它质的整数。当干涉指数也互为质数时,它就代表一组真实的晶面,因此,干涉指数就代表一组真实的晶面,因此,干涉指数为晶面指数的推广,是广义的晶面指数。为晶面指数的推广,是广义的晶面指数。布拉格定律的讨论-(4)衍射线方向与晶体结构的关系 v从从 看出,波长选定之后,衍射线束的方向(用看出,波长选定之后,衍射线束的方向(用 表表示)是晶面间距示)是晶面间距d d的函数。如将立方、正方
17、、斜方晶系的面间的函数。如将立方、正方、斜方晶系的面间距公式代入布拉格公式,并进行平方后得:距公式代入布拉格公式,并进行平方后得:v立方系立方系v正方系正方系v斜方系斜方系v从上面三个公式可以看出,波长选定后,不同晶系或同一晶系从上面三个公式可以看出,波长选定后,不同晶系或同一晶系而晶胞大小不同的晶体,其衍射线束的方向不相同。而晶胞大小不同的晶体,其衍射线束的方向不相同。因此,研因此,研究衍射线束的方向,可以确定晶胞的形状大小。究衍射线束的方向,可以确定晶胞的形状大小。另外,从上述另外,从上述三式还能看出,衍射线束的方向与原子在晶胞中的位置和原子三式还能看出,衍射线束的方向与原子在晶胞中的位置
18、和原子种类无关,只有通过衍射线束强度的研究,才能解决这类问题。种类无关,只有通过衍射线束强度的研究,才能解决这类问题。布拉格方程应用布拉格方程应用v布拉格方程是X射线衍射分布中最重要的基础公式,它形式简单,能够说明衍射的基本关系,所以应用非常广泛。从实验角度可归结为两方面的应用:v一方面是用已知波长的X射线去照射晶体,通过衍射角的测量求得晶体中各晶面的面间距d,这就是结构分析-X X射线衍射学射线衍射学;v另一方面是用一种已知面间距的晶体来反射从试样发射出来的X射线,通过衍射角的测量求得X射线的波长,这就是X X射线光谱学射线光谱学。该法除可进行光谱结构的研究外,从X射线的波长还可确定试样的组
19、成元素。电子探针就是按这原理设计的。衍射矢量方程vx x射线照射晶体产生的衍射射线照射晶体产生的衍射线束的方向,不仅可以用布线束的方向,不仅可以用布拉格定律描述,在引入倒易拉格定律描述,在引入倒易点阵后,还能用衍射矢量方点阵后,还能用衍射矢量方程描述。程描述。v在图中,在图中,P P为原子面,为原子面,N N为它为它的法线。假如一束的法线。假如一束x x射线被射线被晶面反射,入射线方向的单晶面反射,入射线方向的单位矢量为位矢量为S S0 0,衍射线方向的,衍射线方向的单位矢量为单位矢量为S S,则称为衍射,则称为衍射矢量矢量 v 衍射矢量方程v如前所述,衍射矢量 ,即平行于倒易矢量。而上式的右
20、端就是倒易矢量的大小,因此,去掉左端的绝对值符号而用倒易矢量替换右端后有 厄瓦尔德图解厄瓦尔德图解 衍射矢量方程可以用等腰矢量三衍射矢量方程可以用等腰矢量三角形表达,它表示产生衍射角形表达,它表示产生衍射时,入射线方向矢量时,入射线方向矢量,衍射,衍射线方向矢量线方向矢量 和倒易矢量和倒易矢量 之之间的几何关系。这种关系说间的几何关系。这种关系说明,要使(明,要使(HKL)晶面发生)晶面发生反射,入射线必须沿一定方反射,入射线必须沿一定方向入射,向入射,以保证反射线方向以保证反射线方向的矢量的矢量 端点恰好落在倒易端点恰好落在倒易矢量矢量 的端点上,即的端点上,即 的端的端点应落在点应落在HK
21、L 倒易点上。倒易点上。v爱瓦尔德爱瓦尔德 将等腰三角形置于圆将等腰三角形置于圆中便构成了非常简单的衍射方程中便构成了非常简单的衍射方程图解法图解法厄瓦尔德图解厄瓦尔德图解v首先作晶体的倒易点阵,首先作晶体的倒易点阵,O O为倒易原点。为倒易原点。入射线沿入射线沿OOOO方向入射,且令方向入射,且令OO OO=S=S0 0/。以以00为球心,以为球心,以1/1/为半径画为半径画一球,称反射球。若球面与倒易点一球,称反射球。若球面与倒易点B B相交,相交,连连OBOB则有则有OB-SOB-S0 0/=OB=OB,这里,这里OBOB为一为一倒易矢量。因倒易矢量。因OO=OB=1/OO=OB=1/,
22、故,故OOBOOB为与等腰三角形等效,为与等腰三角形等效,OBOB是一衍射线方是一衍射线方向。由此可见,当向。由此可见,当x x射线沿射线沿OOOO方向入射方向入射的情况下,所有的情况下,所有能发生反射的晶面,其倒能发生反射的晶面,其倒易点都应落在以易点都应落在以OO为球心。以为球心。以1/1/为半为半径的球面上径的球面上,从,从球心球心OO指向倒易点的方指向倒易点的方向是相应晶面反射线的方向。以上求衍射向是相应晶面反射线的方向。以上求衍射线方向的作图法称爱瓦尔德图解,它是解线方向的作图法称爱瓦尔德图解,它是解释各种衍射花样的有力工具。释各种衍射花样的有力工具。v那些落在球面上的倒易点才能产生
23、衍射!衍射方法v从布拉格方程入手可以得到以下几种衍射方法:劳厄法、旋转晶体法,粉晶法,(衍射仪法)P25 表v注:一定理解掌握思考题v在X衍射试验中,对于给定的某一晶体的某一晶面,采取适当的实验条件,总可以得到衍射线。这句话对吗?为什么?劳埃法v劳埃法是德国物理学家劳埃劳埃法是德国物理学家劳埃在在19121912年首先提出的,是最年首先提出的,是最早的早的X X射线分析方法,它用射线分析方法,它用垂直于入射线的平底片记录垂直于入射线的平底片记录衍射线而得到劳埃斑点。衍射线而得到劳埃斑点。v如图所示,如图所示,图中图中A A为透射相,为透射相,B B为背射相为背射相,目前劳埃法用目前劳埃法用于单
24、晶体取向测定及晶体对于单晶体取向测定及晶体对称性的研究。称性的研究。劳埃法 采用采用连续连续X X射线射线照射照射不动的单晶体不动的单晶体v连续谱的波长有一个范围,从连续谱的波长有一个范围,从0 0(短短波限波限)到到mm。右图为零层倒易点阵以。右图为零层倒易点阵以及两个极限波长反射球的截面。及两个极限波长反射球的截面。v大球以大球以B B为中心,其半径为为中心,其半径为0 0的倒数的倒数;小球以小球以A A为中心,其半径为为中心,其半径为mm的倒数的倒数。在在这两个球之间,以线段这两个球之间,以线段ABAB上的点为上的点为中心有无限多个球,其半径从中心有无限多个球,其半径从(BO)(BO)连
25、连续变化到续变化到(AO)(AO)。凡是落到这两个球面。凡是落到这两个球面之间的区域的倒易结点,均满足布拉之间的区域的倒易结点,均满足布拉格条件,它们将与对应某一波长的反格条件,它们将与对应某一波长的反射球面相交而获得衍射。射球面相交而获得衍射。周转晶体法 v周转晶体法采用周转晶体法采用单色单色X X射线射线照射照射转动的单晶体转动的单晶体,并用一张以旋转并用一张以旋转轴为轴的圆筒形底片来记录轴为轴的圆筒形底片来记录 v晶体绕晶轴旋转相当于其倒易点晶体绕晶轴旋转相当于其倒易点阵围绕过原点阵围绕过原点O O并与反射球相切并与反射球相切的一根轴转动,于是某些结点将的一根轴转动,于是某些结点将瞬时地
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