《极大线性无关组》PPT课件.ppt

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1、1.是是 的线性组合的线性组合(可由可由 线性表示线性表示)2.任一任一n维向量维向量 都可由都可由Rn的基本的基本单位向量组唯一线性表示单位向量组唯一线性表示:有解有解 (组合系数就是组合系数就是方程组的一个解方程组的一个解)3.可表示为可表示为的线性组合的线性组合10/27/20221有非零解有非零解(无无)(只有零解只有零解)r 向量维数向量维数，其排成的其排成的行列式值为行列式值为0向量组线性相关向量组线性相关.4.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性4.1 n维向量概念维向量概念 4.3 极大无关组极大无关组4.4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构一一、极大线性无关组、极大线

2、性无关组 i)线性无关；线性无关；极大线性无关组极大线性无关组，简称，简称极大无关组极大无关组.一个部分组一个部分组若满足若满足 定义定义为为中的一个向量组，它的中的一个向量组，它的设设线性表出线性表出；ii)对任意的对任意的,可经可经则称则称 为向量组为向量组 的一个的一个4.3 极大无关组极大无关组注注:(2)线性无关向量组的极大无关组线性无关向量组的极大无关组向量组含有非零向量向量组含有非零向量(1)向量组有极大无关组向量组有极大无关组(3)为为Rn的一个极大无关组的一个极大无关组.(4)向量组的极大无关组可能不止一个向量组的极大无关组可能不止一个.例：例：(5)向量组的所有极大无关组含

3、向量个数相同向量组的所有极大无关组含向量个数相同线性无关线性无关,而而3个二维向量必线性相关个二维向量必线性相关.故故是是 的一个极大无关组的一个极大无关组和和 等也是等也是 的极大无关组的极大无关组.就是该向量组就是该向量组.定义定义向量组向量组 的极大无关组所含向量个的极大无关组所含向量个数称为这个向量组的数称为这个向量组的秩秩.性质：性质：一个向量组线性相关的充要条件是一个向量组线性相关的充要条件是它的秩与它所含向量个数相同；它的秩与它所含向量个数相同；它的秩它所含向量个数它的秩它所含向量个数.二二、向量组的秩、向量组的秩 1）一个向量组线性无关的充要条件是）一个向量组线性无关的充要条件

4、是线性无关线性无关线性相关线性相关2）若向量组）若向量组可经向量组可经向量组 线性表出，则秩线性表出，则秩 秩秩 3）等价向量组必有相同的秩）等价向量组必有相同的秩.例例1 求向量求向量组组的一个极大无关的一个极大无关组组，将其余向量用此极大无关，将其余向量用此极大无关组线组线性表示，并写出向量性表示，并写出向量组组的秩的秩.对应分量不成比例，线性无关对应分量不成比例，线性无关线性相关线性相关线性相关线性相关为极大无关组为极大无关组繁！繁！解解1 重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系.线线性性无无关关为极大无关组为极大无关组10/27/202210例

5、例2 求向量求向量组组的一个极大无关的一个极大无关组组，将其余向量用此极大无关，将其余向量用此极大无关组线组线性表示，性表示，并写出向量并写出向量组组的秩的秩.为为例例2 求向量求向量组组的一个极大无关的一个极大无关组组，将其余向量用此极大无关，将其余向量用此极大无关组线组线性表示，并写出向量性表示，并写出向量组组的秩的秩.为为例例4 设有两个向量组设有两个向量组(I)的秩为的秩为r1,向量组向量组(II)的秩为的秩为r2,且且向量组向量组(I)可由向量组可由向量组(II)线性表示，则线性表示，则r1与与r2 的关系为的关系为 r1 r2D例例3 若向量若向量组组 的秩的秩为为r，则则()(A

6、)必定必定 r s (B)向量组中任意小于向量组中任意小于r个的部分向量组线性无关个的部分向量组线性无关 (C)向量组中任意向量组中任意r个向量线性无关个向量线性无关 (D)向量组中任意向量组中任意r+1个向量必线性相关个向量必线性相关 附附 求向量组的极大无关组的一般步骤：求向量组的极大无关组的一般步骤：则就是一个极大无关组则就是一个极大无关组.第一步第一步：作矩阵：作矩阵或或为列向量时为列向量时为行向量时为行向量时第二步第二步：用初等：用初等行行变换化矩阵变换化矩阵A为阶梯阵为阶梯阵 J.若若 J 中有中有 r 个非零行，则秩个非零行，则秩设设 J 中第中第 i 个非零行第一个非零元所在列

7、标号为个非零行第一个非零元所在列标号为习题习题12.12.设向量组设向量组（1 1）当）当P P为何值时，该向量组线性无关？为何值时，该向量组线性无关？解：解：作矩阵作矩阵对矩阵对矩阵A作初等行变换化阶梯形作初等行变换化阶梯形，（2 2）当）当P P为何值时，该向量组线性相关？此时，为何值时，该向量组线性相关？此时，求出它的秩和一个极大线性无关组求出它的秩和一个极大线性无关组.由矩阵由矩阵 B 知线性无关且为极大无关组知线性无关且为极大无关组.（1 1）所以，当）所以，当时时，该该向量向量组线组线性无关性无关.（2 2）当）当时时，该该向量向量组线组线性相关性相关.11.求下列向量求下列向量组

8、组的秩和一个极大的秩和一个极大线线性无关性无关组组：（1）（2）.所以，向量所以，向量组组的秩的秩为为极大极大线线性无关性无关组为组为 所以，向量所以，向量组组的秩的秩为为极大极大线线性无关性无关组为组为(1)a4时，时，D0，方程组有唯一解，方程组有唯一解解解:设设,则该方程组的系数行列式则该方程组的系数行列式(a4)即即:a4时时,可由可由 线性表示线性表示,且表示唯一且表示唯一.(2)不能由不能由 线性表示；线性表示；(3)可由可由练习练习(00考研考研)设向量组设向量组件时，件时，(1)可由可由 线性表示，且表示唯一；线性表示，且表示唯一；试问试问a、b、c满足什么条满足什么条线性表示，但表示不唯一？并求出一般表达式线性表示，但表示不唯一？并求出一般表达式.(2)a4时，对增广矩阵作初等行变换，有时，对增广矩阵作初等行变换，有x3=2b1x2b12x1由由 得一般表达式得一般表达式:(3)a4且且3bc1时时,(k为任意常数为任意常数)3bc1时，方程组无解时，方程组无解即即:a4且且3bc1时时,不能由不能由 线性表示线性表示.可由可由 线性表示线性表示,但表示不唯一但表示不唯一.方程组有无穷多组解，方程组有无穷多组解，