机械工程控制基础第六章.ppt

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1、第六章第六章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制系统能实际应用的首要条件控制系统能实际应用的首要条件系统稳定系统稳定。判别系统稳定性的准则判别系统稳定性的准则系统的稳定性判据系统的稳定性判据。劳劳斯斯判判据据:依依据据闭闭环环系系统统特特征征方方程程式式对对系系统统的的稳定性做出判别，是一种代数判据。稳定性做出判别，是一种代数判据。奈奈奎奎斯斯特特判判据据:依依据据系系统统的的开开环环极极坐坐标标图图与与（1，0）点点之之间间的的位位置置关关系系对对闭闭环环系系统统的的稳稳定性作出判别，是一种几何判据。定性作出判别，是一种几何判据。波波德德判判据据:是是奈奈奎奎斯斯特特判判据据的的另

2、另一一种种描描述述法法，它它们之间有着相互对应的关系。们之间有着相互对应的关系。1跨跨越越华华盛盛顿顿州州塔塔科科马马峡峡谷谷的的首首座座大大桥桥，开开通通于于1940年年7月月1日日。只只要要有有风风，这这座座大大桥桥就就会会晃动。晃动。第一节第一节 控制系统稳定性的基本概念控制系统稳定性的基本概念 21940年年11月月7日日，在在一一阵阵每每小小时时42英英里里的的“和风和风”吹拂下坍塌了。吹拂下坍塌了。彩彩色色图图为为1949年年重重建建的塔科马。的塔科马。3一稳定性概念一稳定性概念控制系统的稳定性：控制系统的稳定性：系系统统在在给给定定信信号号作作用用下下，输输出出应应能能达达到到新

3、新的平衡状态；的平衡状态；在在扰扰动动去去掉掉之之后后，系系统统的的输输出出能能以以足足够够的的精度恢复到原来的平衡状态。精度恢复到原来的平衡状态。曲曲线线1 1：系系统统经经过过衰衰减振荡后趋于稳定减振荡后趋于稳定曲曲线线2 2：系系统统达达到到一一定的峰值后趋于稳定定的峰值后趋于稳定4控制系统的稳定性是由系统本身的结构所决定的，控制系统的稳定性是由系统本身的结构所决定的，而与输入信号的形式无关。而与输入信号的形式无关。若系统承受的外界扰动终止作用后，系统输出不若系统承受的外界扰动终止作用后，系统输出不能再恢复原先的平衡状态位置，或发生不衰减的能再恢复原先的平衡状态位置，或发生不衰减的持续振

4、荡，这样的系统就是不稳定的。持续振荡，这样的系统就是不稳定的。1等幅振荡等幅振荡2发散振荡发散振荡5系系统统的的稳稳定定性性：系系统统存存在在干干扰扰，干干扰扰信信号号为为脉脉冲信号。冲信号。系统系统1：衰减振荡，系统稳定；：衰减振荡，系统稳定；系统系统2：等幅振荡，系统处于临界状态；：等幅振荡，系统处于临界状态；系统系统3：发散振荡，系统不稳定。：发散振荡，系统不稳定。61.稳定平衡点稳定平衡点a：作用在小球上的有限干扰力消失：作用在小球上的有限干扰力消失以后，小球总能回到以后，小球总能回到a点；点；2.不稳定平衡点不稳定平衡点b：只要有干扰力作用于小球，小：只要有干扰力作用于小球，小球就不

5、会再回到这点；球就不会再回到这点；3.若控制系统在任何足够小的初始偏差作用下，其若控制系统在任何足够小的初始偏差作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能，则该系统稳定。具有恢复原平衡状态的性能，则该系统稳定。小球的稳定性小球的稳定性7二系统稳定的条件二系统稳定的条件即：即：即：即：8撤除扰动：撤除扰动：根据齐次微分方程的有关定义知道，该齐次微分根据齐次微分方程的有关定义知道，该齐次微分方程的特征方程和解的一般形式为：方程的特征方程和解的一般形式为：即：即：cn为由初始条件决定的积分常数，为由初始条件决定的积分常数，s

6、n为特征方程为特征方程的根。的根。9(2)可改写成：可改写成：由由(3)、(4)可知，若可知，若si、i都是负的，则当都是负的，则当t 时时，y(t)0。这说明控制系统的特征方程式的根这说明控制系统的特征方程式的根是负实根或共轭复根具有负实部时，系统是稳定是负实根或共轭复根具有负实部时，系统是稳定的。的。如果如果(1)中有中有k个实根，个实根，2r个复根，则个复根，则(1)可改写成：可改写成：10线性定常系统稳定的充要条件（三种说法）：线性定常系统稳定的充要条件（三种说法）：对于闭环传递函数的特征根来说，下述四个条对于闭环传递函数的特征根来说，下述四个条件缺一不可：件缺一不可：没有零根没有零根

7、；没有共轭纯虚根没有共轭纯虚根：Re(s)=0，系统等幅振荡；，系统等幅振荡；所有实根都是负的所有实根都是负的；共轭复根具有负实部共轭复根具有负实部。该系统该系统闭环传递函数特征方程的所有根闭环传递函数特征方程的所有根必须必须是负实数或具有负实部的共轭复根。是负实数或具有负实部的共轭复根。该系统该系统全部极点全部极点必须位于复平面的左半部分。必须位于复平面的左半部分。11例：某单位负反馈系统的开环传递函数为：例：某单位负反馈系统的开环传递函数为：其中其中T、K均大于零，且均大于零，且 ,则系统的则系统的 闭环传递函数：闭环传递函数：特征方程式为：特征方程式为：特征根为：特征根为：因为特征方程根

8、具有负实部，所以该闭环系因为特征方程根具有负实部，所以该闭环系统稳定。统稳定。12第二节劳斯稳定判据第二节劳斯稳定判据判判别别系系统统是是否否稳稳定定，就就是是要要确确定定系系统统特特征征方方程程的的根根是是否否全全部部具具有有负负的的实实部部，或或者者说说特特征征根根是是否否全全部位于部位于s平面的虚轴左侧。有两种判别方法：平面的虚轴左侧。有两种判别方法：n解解特特征征方方程程确确定定特特征征根根，对对于于高高阶阶系系统统来来说说是是困难的；困难的；n讨讨论论根根的的分分布布，研研究究特特征征方方程程的的根根是是否否包包含含右右根及有几个右根。（根及有几个右根。（逆向思维逆向思维）劳劳斯斯稳

9、稳定定判判据据是是基基于于特特征征方方程程根根的的分分布布与与系系数数间间的的关关系系来来判判别别系系统统的的稳稳定定性性。无无需需解解特特征征方方程程而而能能迅迅速速判判定定根根的的分分布布情情况况。这这是是一一种种简简单单而实用的稳定性判据。而实用的稳定性判据。13设系统的特征方程式为：设系统的特征方程式为：则系统稳定的则系统稳定的必要条件必要条件是：是：1.1.特征方程的各项系数特征方程的各项系数 均不为零。均不为零。2.2.特征方程的各项系数符号一致。特征方程的各项系数符号一致。以上只是系统稳定的必要条件而非充要条件。以上只是系统稳定的必要条件而非充要条件。1.劳斯稳定判据的必要条件劳

10、斯稳定判据的必要条件14特征方程系数的劳斯阵列：特征方程系数的劳斯阵列：2劳斯稳定判据的充要条件劳斯稳定判据的充要条件设系统的特征方程式为：设系统的特征方程式为：S S的的的的偶偶偶偶次次次次项项项项(或或或或奇奇奇奇次次次次项项项项)系系系系数数数数，且且且且按按按按S S的降幂排列。的降幂排列。的降幂排列。的降幂排列。S S的的的的奇奇奇奇次次次次项项项项(或或或或偶偶偶偶次次次次项项项项)系系系系数数数数，且且且且按按按按S S的的的的降幂排列。降幂排列。降幂排列。降幂排列。根根根根据据据据上上上上两两两两列列列列的的的的数数数数据据据据计算得到。计算得到。计算得到。计算得到。15其它系

11、数的计算：其它系数的计算：由上两行产生新的一行。可以得由上两行产生新的一行。可以得到一个（到一个（n+1）行的劳斯阵列。行的劳斯阵列。而最后两行每行只有一个元素。而最后两行每行只有一个元素。每行计算到出现零元素为止每行计算到出现零元素为止。16劳劳斯斯稳稳定定判判据据的的充充要要条条件件是是：特特征征方方程程系系数数所所组组成成的的劳劳斯斯阵阵列列第第一一列列元元素素符符号号一一致致，则则系系统统稳定。否则系统不稳定。稳定。否则系统不稳定。第第一一列列元元素素符符号号改改变变的的次次数数就就是是特特征征方方程程中中所所包含的包含的右根数目右根数目。把把an，an-1，b1，c1，d1，e1 称

12、为劳斯阵列中称为劳斯阵列中的第一列元素。的第一列元素。17试用劳斯判据判别系统的稳定性。试用劳斯判据判别系统的稳定性。解：闭环系统的特征方程式为：解：闭环系统的特征方程式为：例例6-1 某一系统的闭环传递函数为：某一系统的闭环传递函数为：由于第一列所有元素都为正，因而系统稳定。由于第一列所有元素都为正，因而系统稳定。特征方程式的系数均为正，进一步使用劳斯判特征方程式的系数均为正，进一步使用劳斯判据进行判断。据进行判断。18例例6-2 单位负反馈控制系统的开环传递函数为：单位负反馈控制系统的开环传递函数为：试确定试确定K值的闭环稳定范围。值的闭环稳定范围。解：该单位负反馈系统的闭环传递函数为：解

13、：该单位负反馈系统的闭环传递函数为：特征方程式为：特征方程式为：闭环系统要想稳定，首先特征方程式的系数闭环系统要想稳定，首先特征方程式的系数均要为大于零的正数，即均要为大于零的正数，即K0，然后进一步，然后进一步使用劳斯判据进行判断。使用劳斯判据进行判断。19由稳定条件得：由稳定条件得：做题心得做题心得使用劳斯判据的时候，使用的一定是系统的使用劳斯判据的时候，使用的一定是系统的闭环传递函数闭环传递函数的特征方程。的特征方程。劳斯阵列为：劳斯阵列为：20例例6-3 设单位负反馈系统的开环传递函数为设单位负反馈系统的开环传递函数为:若要求闭环特征方程式的根的实部均小于若要求闭环特征方程式的根的实部

14、均小于-1，问问K值应取在什么范围？如果要求根的实部均值应取在什么范围？如果要求根的实部均小于小于-2，情况又如何？，情况又如何？我们需要做的工作：我们需要做的工作：1.开环开环闭环，列出其特征方程；闭环，列出其特征方程；2.实实部部小小于于1：首首先先系系统统要要稳稳定定，即即实实部部小小于于0，其次才是实部小于，其次才是实部小于1；3.列写劳斯阵列。列写劳斯阵列。21解：系统的闭环传递函数为：解：系统的闭环传递函数为：系统的特征方程式为：系统的特征方程式为：s3+9s2+18s+18K=0令令u=s+1得如下得如下u 特征方程：特征方程：由由于于要要求求特特征征方方程程式式的的系系数数均均

15、为为大大于于零零的的正正数数，所所以以首首先先要要求求18K-100。进进一一步使用劳斯判据：步使用劳斯判据：22因为特征方程的系数的符号有正有负，所以由因为特征方程的系数的符号有正有负，所以由稳定条件知：不论稳定条件知：不论K取何值，都不能使原特征取何值，都不能使原特征方程的根的实部小于方程的根的实部小于-2。令令u=s+2得如下得如下u 特征方程：特征方程：劳斯阵列为：劳斯阵列为：23 例例 6-4 已知某单位负反馈系统的开环传递函已知某单位负反馈系统的开环传递函 数分别是：数分别是：试用劳斯判据分析试用劳斯判据分析k分别为分别为6、15时系时系 统的稳定性。从上述计算中，你能得统的稳定性

16、。从上述计算中，你能得 出什么结论？出什么结论？24(1)解：解：由此可知，比例放大系数的取值范围对系统由此可知，比例放大系数的取值范围对系统的稳定性有影响。的稳定性有影响。25(2)解：解：故故 时不在时不在(-1，0)范围内，这时系统不范围内，这时系统不稳定。稳定。263劳斯判据的特殊情况劳斯判据的特殊情况例例6-5 设有特征方程为：设有特征方程为：试判断系统的稳定性。试判断系统的稳定性。1.某行的第一列元素为零，而其余项不为零的情况某行的第一列元素为零，而其余项不为零的情况如果在计算劳斯阵列的各元素值时，出现某行第如果在计算劳斯阵列的各元素值时，出现某行第一列元素为零，则在计算下一行的各

17、元素值时将一列元素为零，则在计算下一行的各元素值时将出现无穷大而无法继续进行计算。为克服这一困出现无穷大而无法继续进行计算。为克服这一困难，计算时难，计算时可用无穷小正数可用无穷小正数 来代替零元素来代替零元素，然，然后继续进行计算。后继续进行计算。27劳斯阵列：劳斯阵列：此时此时第三行第一列元素为零第三行第一列元素为零，用一无限小用一无限小 代替代替0，然后计算其余各项，得到劳斯阵列如上。然后计算其余各项，得到劳斯阵列如上。解：解：观察第一列各项数值，当观察第一列各项数值，当 0时，则时，则:28由于第一列有的元素为负值，且由于第一列有的元素为负值，且第一列的第一列的元素符号有两次变化元素符

18、号有两次变化，即特征方程在，即特征方程在s平面的平面的右半平面内有两个根右半平面内有两个根，该闭环系统该闭环系统是不稳定系统是不稳定系统。292.某行全部元素值为零的情况某行全部元素值为零的情况这说明在系统的特征根中存在对称的根：这说明在系统的特征根中存在对称的根：存在两个符号相异，绝对值相同的实根存在两个符号相异，绝对值相同的实根（系统自由响应发散，系统不稳定）（系统自由响应发散，系统不稳定）；30存在实部符号相异、虚部数值相同的两对存在实部符号相异、虚部数值相同的两对共轭复根（系统自由响应发散，系统不稳定）共轭复根（系统自由响应发散，系统不稳定）；以上几种根的组合。以上几种根的组合。存在一

19、对共轭纯虚根（系统自由响应存在一对共轭纯虚根（系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡，系统临界会维持某一频率的等幅振荡，系统临界稳定）；稳定）；31在这种情况下，劳斯阵列表将在全为零的一行在这种情况下，劳斯阵列表将在全为零的一行处中断；处中断；为了写出下面各行，可将该行的上一行的各项为了写出下面各行，可将该行的上一行的各项组成组成“辅助方程式辅助方程式”；辅助方程式中辅助方程式中s 的方次均为的方次均为偶次降偶次降；方程式方程式对对s 求导求导，用求导得到的各项系数来代，用求导得到的各项系数来代替为零的一行系数；替为零的一行系数；然后然后继续继续按照劳斯阵列表的列写方法，计算余按照劳斯阵列表的列

20、写方法，计算余下各行直至计算完下各行直至计算完（n+1）行为止。行为止。这些大小相等、符号相反的特征根可由辅这些大小相等、符号相反的特征根可由辅助方程得到助方程得到。解决办法：解决办法：32例例6-6 设某一系统的特征方程式为：设某一系统的特征方程式为：试判断系统的稳定性。试判断系统的稳定性。解：特征方程各系数为正，劳斯阵列表如下：解：特征方程各系数为正，劳斯阵列表如下：该行系数全为零。该行系数全为零。使用该行写出一个使用该行写出一个辅助方程式，辅助方程式，s的最的最高次数就是系统虚高次数就是系统虚根的个数。根的个数。33取出全部为零元素前一行的元素，得到辅助方程取出全部为零元素前一行的元素，

21、得到辅助方程为：为：将将A(s)对对s求导得：求导得：以上式的系数代替以上式的系数代替全部为零的一行，全部为零的一行，然后继续作出劳斯然后继续作出劳斯阵列表为：阵列表为：34 从从劳劳斯斯阵阵列列表表的的第第一一列列可可以以看看出出，各各项项并并无无符符号号变变化化，因因此此特特征征方方程程无无正正根根和和实实部部为为正正的的共共轭轭复复根根。但但因因s3行行出出现现全全为为零零的的情情况况，可可见见必必有有共共轭轭纯纯虚虚根根存存在在，通通过过求求解解辅辅助助方方程程A(s)可可以以得得到系统的两对共轭虚根到系统的两对共轭虚根为：为：这两对根，同时也是原方程的根，它们位于虚这两对根，同时也是

22、原方程的根，它们位于虚轴上，因此该控制系统处于轴上，因此该控制系统处于临界状态（不稳定临界状态（不稳定状态）状态），等幅振荡等幅振荡。35例例6-7 系统的传递函数方框图如图所示。试确系统的传递函数方框图如图所示。试确定定K和和a取何值时，系统将维持以角频率取何值时，系统将维持以角频率 =2s-1持续振荡。持续振荡。36解：由已知，系统一定存在一对共轭纯虚根解：由已知，系统一定存在一对共轭纯虚根 s1,2=2j。由框图得，系统特征方程为：由框图得，系统特征方程为：s3+as2+(2+K)s+(1+K)=0，列出劳斯阵列如下：列出劳斯阵列如下：分析：分析：系统系统持续振荡持续振荡系统存在共轭纯虚

23、根系统存在共轭纯虚根角频率角频率=2s-1共扼纯虚根的形式：共扼纯虚根的形式：s1,2=2 j传递函数方框图传递函数方框图闭环传递函数以及特征方程闭环传递函数以及特征方程37 当劳斯阵列中当劳斯阵列中S1 行的元素全为行的元素全为0时，该特征方程时，该特征方程才会有一对共轭纯虚根（因为只有当才会有一对共轭纯虚根（因为只有当S1 行的元行的元素全为素全为0时，使用时，使用S2行的作为辅助方程，求出的行的作为辅助方程，求出的才是一对共轭纯虚根才是一对共轭纯虚根）：）：3839 例例6-8 设闭环系统特征方程如下，试确定有几设闭环系统特征方程如下，试确定有几 个根在右半个根在右半s平面。平面。(1)

24、解：解：第一列元素符号变化第一列元素符号变化2次，在次，在s右半平面有右半平面有2个根，系统不稳定。个根，系统不稳定。40取全部为零元素前一行的元素，得到辅助方程：取全部为零元素前一行的元素，得到辅助方程：(2)解：解：41 第一列系数元素符号变化第一列系数元素符号变化1次，在次，在s右半平面右半平面有有1个根，系统不稳定。个根，系统不稳定。（另外，通过解辅助特征方程可知，系统还有两（另外，通过解辅助特征方程可知，系统还有两个位于虚轴上的根个位于虚轴上的根s1,2=j和两个绝对值相等的位和两个绝对值相等的位于实轴上的根于实轴上的根s3,4=2。）。）421奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据奈奎斯

25、特稳定判据奈奎斯特稳定判据 奈奎斯特稳定判据利用系统奈奎斯特稳定判据利用系统奈奎斯特稳定判据利用系统奈奎斯特稳定判据利用系统开环开环开环开环奈奎斯特图判断奈奎斯特图判断奈奎斯特图判断奈奎斯特图判断闭环闭环闭环闭环系统稳定性的频率域图解方法，是几何判据。系统稳定性的频率域图解方法，是几何判据。系统稳定性的频率域图解方法，是几何判据。系统稳定性的频率域图解方法，是几何判据。第三节奈奎斯特稳第三节奈奎斯特稳定判据定判据1.奈氏判据不必求取闭环系统特征根，而是通过系统奈氏判据不必求取闭环系统特征根，而是通过系统奈氏判据不必求取闭环系统特征根，而是通过系统奈氏判据不必求取闭环系统特征根，而是通过系统开环

26、频率特性开环频率特性开环频率特性开环频率特性(j j )HH(j j )曲线分析闭环系统稳定性。曲线分析闭环系统稳定性。曲线分析闭环系统稳定性。曲线分析闭环系统稳定性。2.由于系统的频率特性可以用实验方法获得，所以奈由于系统的频率特性可以用实验方法获得，所以奈由于系统的频率特性可以用实验方法获得，所以奈由于系统的频率特性可以用实验方法获得，所以奈氏判据对无法用分析法获得传递函数的系统来说，氏判据对无法用分析法获得传递函数的系统来说，氏判据对无法用分析法获得传递函数的系统来说，氏判据对无法用分析法获得传递函数的系统来说，具有重要的意义。具有重要的意义。具有重要的意义。具有重要的意义。3.奈氏判据

27、能表明奈氏判据能表明奈氏判据能表明奈氏判据能表明系统的稳定裕度系统的稳定裕度系统的稳定裕度系统的稳定裕度，即相对稳定性，即相对稳定性，即相对稳定性，即相对稳定性，进而指出提高系统稳定性的途径。进而指出提高系统稳定性的途径。进而指出提高系统稳定性的途径。进而指出提高系统稳定性的途径。43如图所示的闭环系统，其传递函数为：如图所示的闭环系统，其传递函数为：奈奎斯特稳定判据为：奈奎斯特稳定判据为：在在开环传递函数开环传递函数G(s)H(s)中，令中，令s=j，当，当 在在至至范围内变化时，闭合的奈氏曲线以范围内变化时，闭合的奈氏曲线以逆逆时针方向时针方向绕绕(1，j0)点的圈数为点的圈数为N，设，设

28、开环极开环极点点在在s右半平面的个数为右半平面的个数为P，若，若N=P，则，则闭环闭环系统系统是稳定的。是稳定的。注：注：N有正负，逆正顺负有正负，逆正顺负44例例6-9(a)如图所示系统开如图所示系统开环极坐标图，开环传递函环极坐标图，开环传递函数为：数为：1.由由G(s)H(s)可知，开环传递函数有可知，开环传递函数有2个极点在个极点在s右半平面，即右半平面，即P=2；2.当频率当频率 由由变化至变化至时，以逆时针绕点时，以逆时针绕点(-1，j0)2圈，即圈，即N=2；3.N=P，所以对应的闭环系统是稳定的。，所以对应的闭环系统是稳定的。试判断其闭环系统是否稳试判断其闭环系统是否稳定。定。

29、451.由由G(s)H(s)可知，开环传递函数有可知，开环传递函数有1个极点在个极点在s右半平面，即右半平面，即P=1；2.当频率当频率 由由变化至变化至时，以顺时针绕点时，以顺时针绕点(-1，j0)2圈，即圈，即N=2；3.NP，所以对应的闭环系统是不稳定的。，所以对应的闭环系统是不稳定的。例例6-9(b)如图所示系统开如图所示系统开环极坐标图，开环传递函环极坐标图，开环传递函数为：数为：试判断其闭环系统是否稳试判断其闭环系统是否稳定。定。46例例例例6-10 46-10 4个单位负反馈系统的开环系统奈氏曲个单位负反馈系统的开环系统奈氏曲个单位负反馈系统的开环系统奈氏曲个单位负反馈系统的开环

30、系统奈氏曲线如图线如图线如图线如图(a)-(d)(a)-(d)所示。并已知各系统开环不稳定所示。并已知各系统开环不稳定所示。并已知各系统开环不稳定所示。并已知各系统开环不稳定特征根的个数特征根的个数特征根的个数特征根的个数P P，试判别各闭环系统的稳定性。，试判别各闭环系统的稳定性。，试判别各闭环系统的稳定性。，试判别各闭环系统的稳定性。解：解：解：解：a)a)、b)b)：N N=0=0，P P=0=0，P P=N N，闭环系统稳闭环系统稳闭环系统稳闭环系统稳定。定。定。定。c)c)：P P=0=0，当，当，当，当 从从从从-+变化时，变化时，变化时，变化时，N N=2 2，P P N N，闭

31、环系统不稳定。，闭环系统不稳定。，闭环系统不稳定。，闭环系统不稳定。d)d)：P P=2=2，图中所示为，图中所示为，图中所示为，图中所示为 从从从从0 0变化，因此由图变化，因此由图变化，因此由图变化，因此由图知当知当知当知当 从从从从-+变化时，变化时，变化时，变化时，N N=2=2，P P=N N，闭环稳，闭环稳，闭环稳，闭环稳定。定。定。定。47注注 意意1.开环右极点数目开环右极点数目开环右极点数目开环右极点数目P P：虚轴上的开环极点按左极：虚轴上的开环极点按左极：虚轴上的开环极点按左极：虚轴上的开环极点按左极点处理点处理点处理点处理2.开环奈氏曲线围绕点开环奈氏曲线围绕点开环奈氏

32、曲线围绕点开环奈氏曲线围绕点(-1(-1，j0)j0)的圈数的圈数的圈数的圈数N N ：“穿穿穿穿越越越越”穿越穿越穿越穿越 ：奈氏曲线穿过：奈氏曲线穿过：奈氏曲线穿过：奈氏曲线穿过(-1(-1，j0)j0)左边的实轴左边的实轴左边的实轴左边的实轴(-1(-1，-)-)。1 1次正穿越次正穿越次正穿越次正穿越N N+：奈氏曲线由上而下穿过：奈氏曲线由上而下穿过：奈氏曲线由上而下穿过：奈氏曲线由上而下穿过(-1(-1，j0)j0)左边的左边的左边的左边的实轴一次；实轴一次；实轴一次；实轴一次；1 1次负穿越次负穿越次负穿越次负穿越N N-：奈氏曲线由下而上穿越一次。奈氏曲线由下而上穿越一次。奈氏

33、曲线由下而上穿越一次。奈氏曲线由下而上穿越一次。半次正穿越：半次正穿越：半次正穿越：半次正穿越：奈氏曲线始于图奈氏曲线始于图奈氏曲线始于图奈氏曲线始于图a)a)上上上上(-1(-1，j0)j0)以左的实轴，以左的实轴，以左的实轴，以左的实轴，穿越数为穿越数为穿越数为穿越数为+1/2+1/2；半次负穿越半次负穿越半次负穿越半次负穿越：奈氏曲线止于图奈氏曲线止于图奈氏曲线止于图奈氏曲线止于图b)b)上上上上(-1(-1，j0)j0)以左的实轴，穿越数为以左的实轴，穿越数为以左的实轴，穿越数为以左的实轴，穿越数为-1/2-1/2。48图图a)：P=1开环不稳定开环不稳定半次正穿越半次正穿越 闭环稳定

34、闭环稳定 图图b)：P=0开环稳定开环稳定半次负穿越半次负穿越 闭环不稳定闭环不稳定 493.3.当开环传递函数含有积分环节当开环传递函数含有积分环节当开环传递函数含有积分环节当开环传递函数含有积分环节1/1/s sN N(即含有落即含有落即含有落即含有落在原点的极点在原点的极点在原点的极点在原点的极点)，其开环奈氏曲线不和实轴封闭，其开环奈氏曲线不和实轴封闭，其开环奈氏曲线不和实轴封闭，其开环奈氏曲线不和实轴封闭，难以说明难以说明难以说明难以说明 在零附近变化时奈氏曲线的变化，在零附近变化时奈氏曲线的变化，在零附近变化时奈氏曲线的变化，在零附近变化时奈氏曲线的变化，以及它们是否包围了临界点以

35、及它们是否包围了临界点以及它们是否包围了临界点以及它们是否包围了临界点(-1(-1，j0)j0)，如图中，如图中，如图中，如图中实线所示。为此，可以作辅助圆实线所示。为此，可以作辅助圆实线所示。为此，可以作辅助圆实线所示。为此，可以作辅助圆(如图中虚线所如图中虚线所如图中虚线所如图中虚线所示示示示)，这就很容易看出图中曲线是否包围临界点，这就很容易看出图中曲线是否包围临界点，这就很容易看出图中曲线是否包围临界点，这就很容易看出图中曲线是否包围临界点(-1(-1，j0)j0)。辅助圆的作法是以无穷大为半径，辅助圆的作法是以无穷大为半径，辅助圆的作法是以无穷大为半径，辅助圆的作法是以无穷大为半径，

36、从从从从G G(j0)(j0)HH(j0)(j0)端实轴起顺时针补画无穷大半径圆端实轴起顺时针补画无穷大半径圆端实轴起顺时针补画无穷大半径圆端实轴起顺时针补画无穷大半径圆心角为心角为心角为心角为N N9090的圆弧至的圆弧至的圆弧至的圆弧至 G G(0(0+)HH(0(0+)。50例例例例6-116-11若系统开环传递函数为：若系统开环传递函数为：若系统开环传递函数为：若系统开环传递函数为：试用奈氏判据判别其闭环系统的稳定性。试用奈氏判据判别其闭环系统的稳定性。试用奈氏判据判别其闭环系统的稳定性。试用奈氏判据判别其闭环系统的稳定性。解解解解:画出开环系统奈氏图，画出开环系统奈氏图，画出开环系统

37、奈氏图，画出开环系统奈氏图，如图所示如图所示如图所示如图所示由图可知，由图可知，由图可知，由图可知，N N=1 1由由由由G G(s s)HH(s s)表达式可知，表达式可知，表达式可知，表达式可知，P P=0=0根据奈氏判据有：根据奈氏判据有：根据奈氏判据有：根据奈氏判据有：P P-2-2N N=0-2(-1)=2=0-2(-1)=2 综上，闭环系统不稳综上，闭环系统不稳综上，闭环系统不稳综上，闭环系统不稳定。定。定。定。511.对于最小相位系统来说，对于最小相位系统来说，对于最小相位系统来说，对于最小相位系统来说，P P=0(=0(在在在在s s右平面没有开右平面没有开右平面没有开右平面没

38、有开环极点环极点环极点环极点)，因此闭环系统如若稳定，必须，因此闭环系统如若稳定，必须，因此闭环系统如若稳定，必须，因此闭环系统如若稳定，必须N N=0=02.当当当当频率频率频率频率 由由由由 变化到变化到变化到变化到0 0，再由，再由，再由，再由0 0变化到变化到变化到变化到+时，所对时，所对时，所对时，所对应的奈奎斯特图是对称的，所以只取应的奈奎斯特图是对称的，所以只取应的奈奎斯特图是对称的，所以只取应的奈奎斯特图是对称的，所以只取0 0到到到到+时这一时这一时这一时这一频率段研究即可。频率段研究即可。频率段研究即可。频率段研究即可。2最小相位系统的奈奎斯特稳定判据最小相位系统的奈奎斯特

39、稳定判据最小相位系统的奈奎斯特稳定判据最小相位系统的奈奎斯特稳定判据对于最小相位系统而言，如果系统在开环状态下是稳定对于最小相位系统而言，如果系统在开环状态下是稳定对于最小相位系统而言，如果系统在开环状态下是稳定对于最小相位系统而言，如果系统在开环状态下是稳定的，闭环系统稳定的的，闭环系统稳定的的，闭环系统稳定的的，闭环系统稳定的充要条件充要条件充要条件充要条件是：是：是：是：左图：开环极坐标图不包围左图：开环极坐标图不包围左图：开环极坐标图不包围左图：开环极坐标图不包围(-1(-1，j0)j0)，闭环系统稳定，闭环系统稳定，闭环系统稳定，闭环系统稳定右图：开环极坐标图包围右图：开环极坐标图包

40、围右图：开环极坐标图包围右图：开环极坐标图包围(-1(-1，j0)j0)，闭环系统不稳定，闭环系统不稳定，闭环系统不稳定，闭环系统不稳定中图：开环极坐标图通过中图：开环极坐标图通过中图：开环极坐标图通过中图：开环极坐标图通过(-1(-1，j0)j0)，闭环系统临界稳定，闭环系统临界稳定，闭环系统临界稳定，闭环系统临界稳定523稳定裕度稳定裕度稳定裕度稳定裕度系统参数对系统稳定性是有影响的系统参数对系统稳定性是有影响的系统参数对系统稳定性是有影响的系统参数对系统稳定性是有影响的。适当选取。适当选取。适当选取。适当选取系统某些参数，不但可以使系统获得稳定，而系统某些参数，不但可以使系统获得稳定，而

41、系统某些参数，不但可以使系统获得稳定，而系统某些参数，不但可以使系统获得稳定，而且可以使系统具有良好的动态响应。且可以使系统具有良好的动态响应。且可以使系统具有良好的动态响应。且可以使系统具有良好的动态响应。在线性控制系统中，劳斯判据主要用来判断系在线性控制系统中，劳斯判据主要用来判断系在线性控制系统中，劳斯判据主要用来判断系在线性控制系统中，劳斯判据主要用来判断系统是否稳定。而对于系统统是否稳定。而对于系统统是否稳定。而对于系统统是否稳定。而对于系统稳定的程度稳定的程度稳定的程度稳定的程度如何及是如何及是如何及是如何及是否具有满意的动态过程，否具有满意的动态过程，否具有满意的动态过程，否具有

42、满意的动态过程，劳斯判据无法确定劳斯判据无法确定劳斯判据无法确定劳斯判据无法确定。由奈奎斯特稳定判据可以推知：由奈奎斯特稳定判据可以推知：由奈奎斯特稳定判据可以推知：由奈奎斯特稳定判据可以推知：对于开环稳定对于开环稳定对于开环稳定对于开环稳定(P P=0)=0)的闭环稳定系统，开环频率的闭环稳定系统，开环频率的闭环稳定系统，开环频率的闭环稳定系统，开环频率特性的奈奎斯特曲线距点特性的奈奎斯特曲线距点特性的奈奎斯特曲线距点特性的奈奎斯特曲线距点(-1(-1，j0)j0)越远，则闭越远，则闭越远，则闭越远，则闭环系统的稳定性越高；曲线距点环系统的稳定性越高；曲线距点环系统的稳定性越高；曲线距点环系

43、统的稳定性越高；曲线距点(-1(-1，j0)j0)越近，越近，越近，越近，则其闭环系统的稳定性越低。则其闭环系统的稳定性越低。则其闭环系统的稳定性越低。则其闭环系统的稳定性越低。531.当开环频率特性的极坐标曲线包围当开环频率特性的极坐标曲线包围当开环频率特性的极坐标曲线包围当开环频率特性的极坐标曲线包围(-1(-1，j0)j0)时，时，时，时，对应闭环系统单位阶跃响应发散，闭环不稳定对应闭环系统单位阶跃响应发散，闭环不稳定对应闭环系统单位阶跃响应发散，闭环不稳定对应闭环系统单位阶跃响应发散，闭环不稳定(图图图图(a)(a)；2.当开环奈奎斯特曲线通过当开环奈奎斯特曲线通过当开环奈奎斯特曲线通

44、过当开环奈奎斯特曲线通过(-1(-1，j0)j0)时，对应闭环时，对应闭环时，对应闭环时，对应闭环系统单位阶跃响应呈等幅振荡系统单位阶跃响应呈等幅振荡系统单位阶跃响应呈等幅振荡系统单位阶跃响应呈等幅振荡(图图图图(b)(b)；3.当开环奈奎斯特曲线不包围当开环奈奎斯特曲线不包围当开环奈奎斯特曲线不包围当开环奈奎斯特曲线不包围(-1(-1，j0)j0)时，闭环系时，闭环系时，闭环系时，闭环系统稳定统稳定统稳定统稳定(图图图图(c)(c)、(d)(d)。(a)(b)(c)(d)P=0P=0P=0P=0544.由图由图由图由图(c)(c)、(d)(d)可见，开环奈奎斯特曲线距可见，开环奈奎斯特曲线距

45、可见，开环奈奎斯特曲线距可见，开环奈奎斯特曲线距(-1(-1，j0)j0)点的远近程度不同，闭环系统稳定的程度也点的远近程度不同，闭环系统稳定的程度也点的远近程度不同，闭环系统稳定的程度也点的远近程度不同，闭环系统稳定的程度也不同（图不同（图不同（图不同（图(d)(d)较较较较(c)(c)的稳定性高）。这便是通常所的稳定性高）。这便是通常所的稳定性高）。这便是通常所的稳定性高）。这便是通常所说的系统的相对稳定性。通常以稳定裕度来表示说的系统的相对稳定性。通常以稳定裕度来表示说的系统的相对稳定性。通常以稳定裕度来表示说的系统的相对稳定性。通常以稳定裕度来表示系统的相对稳定性。系统的相对稳定性。系

46、统的相对稳定性。系统的相对稳定性。(c)(d)P=0P=0551.1.稳定裕度的极坐标表示稳定裕度的极坐标表示稳定裕度的极坐标表示稳定裕度的极坐标表示系统的相对稳定性即稳定裕度用系统的相对稳定性即稳定裕度用系统的相对稳定性即稳定裕度用系统的相对稳定性即稳定裕度用相位裕度相位裕度相位裕度相位裕度 和和和和幅值裕幅值裕幅值裕幅值裕度度度度g g 来定量描述。来定量描述。来定量描述。来定量描述。56 相位裕度相位裕度相位裕度相位裕度 如图所示，以原点为圆心，以单位值为半径，如图所示，以原点为圆心，以单位值为半径，如图所示，以原点为圆心，以单位值为半径，如图所示，以原点为圆心，以单位值为半径，做单位圆

47、，必通过做单位圆，必通过做单位圆，必通过做单位圆，必通过Q Q(-1(-1，j0)j0)，并与奈氏曲线交于，并与奈氏曲线交于，并与奈氏曲线交于，并与奈氏曲线交于A A点，连接点，连接点，连接点，连接O O、A A点得点得点得点得OAOA，OAOA与负虚轴的夹角与负虚轴的夹角与负虚轴的夹角与负虚轴的夹角 称称称称为相位裕度：为相位裕度：为相位裕度：为相位裕度：c c ：剪切频率或幅值穿越频率，其对应的幅值为剪切频率或幅值穿越频率，其对应的幅值为剪切频率或幅值穿越频率，其对应的幅值为剪切频率或幅值穿越频率，其对应的幅值为1 1。57幅值裕度幅值裕度幅值裕度幅值裕度g g 开环奈氏曲线与负实轴相交于

48、开环奈氏曲线与负实轴相交于开环奈氏曲线与负实轴相交于开环奈氏曲线与负实轴相交于Q Q点，该点的频点，该点的频点，该点的频点，该点的频率率率率 g g时的幅值为时的幅值为时的幅值为时的幅值为|G G(j(j g g)HH(j(j g g)|)|，其倒数定义为，其倒数定义为，其倒数定义为，其倒数定义为幅值裕度幅值裕度幅值裕度幅值裕度g g ：g g ：相位穿越频率，对应这点的频率的相角为相位穿越频率，对应这点的频率的相角为相位穿越频率，对应这点的频率的相角为相位穿越频率，对应这点的频率的相角为-180180。系统稳定条件：系统稳定条件：系统稳定条件：系统稳定条件：稳定系统稳定系统稳定系统稳定系统:

49、0 0，g g1 1；不稳定系统；不稳定系统；不稳定系统；不稳定系统:0 0，g g1 1。g g(dB)=(6(dB)=(620)dB20)dB =30 60=30 60系统的稳定程度由系统的稳定程度由系统的稳定程度由系统的稳定程度由 ，g g两项指标来衡量，两项指标来衡量，两项指标来衡量，两项指标来衡量，g g(dB)(dB)、越大系统的稳定性越好。越大系统的稳定性越好。越大系统的稳定性越好。越大系统的稳定性越好。但稳定裕度过大会影响系统的其它性能，如但稳定裕度过大会影响系统的其它性能，如但稳定裕度过大会影响系统的其它性能，如但稳定裕度过大会影响系统的其它性能，如响应的快速性等。工程上一般

50、取：响应的快速性等。工程上一般取：响应的快速性等。工程上一般取：响应的快速性等。工程上一般取：582.稳定裕度波德图表示稳定裕度波德图表示稳定裕度波德图表示稳定裕度波德图表示 幅值裕度幅值裕度幅值裕度幅值裕度g g 的分贝值为：的分贝值为：的分贝值为：的分贝值为：59对于闭环稳定系统，应有对于闭环稳定系统，应有对于闭环稳定系统，应有对于闭环稳定系统，应有 00，且，且，且，且K Kg g11 即即即即K Kg g(dB)0(dB)0。如图。如图。如图。如图(a)(a)所示。在波德图上，所示。在波德图上，所示。在波德图上，所示。在波德图上，必在必在必在必在-180180线以上；线以上；线以上；线