《滤波器设计方法》PPT课件.ppt

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1、第第7章章 滤波器设计方法滤波器设计方法7.0 引言引言7.1 由连续时间滤波器设计离散时间由连续时间滤波器设计离散时间IIR滤波器滤波器7.2 用窗函数法设计用窗函数法设计FIR滤波器滤波器7.3 IIR系统的基本结构系统的基本结构7.4 FIR滤波器的最佳逼近滤波器的最佳逼近7.6 IIR和和 FIR滤波器的评价滤波器的评价7.0 引言引言选频滤波器选频滤波器 能让某些频率分量通过，而完全拒绝其他能让某些频率分量通过，而完全拒绝其他频率分量的系统。频率分量的系统。广义滤波器广义滤波器 任何能对频率进行修正的系统。任何能对频率进行修正的系统。我们需要的线性时不变的因果系统。我们需要的线性时不

2、变的因果系统。滤波器的设计步骤：滤波器的设计步骤：给出系统的性能指标；给出系统的性能指标；用一个离散的时间系统逼近这些性能指标；用一个离散的时间系统逼近这些性能指标；实现该系统。实现该系统。一般我们利用数字计算的方法实现系统，一般我们利用数字计算的方法实现系统，所以，将该离散时间滤波器称为数字滤波所以，将该离散时间滤波器称为数字滤波器。器。滤波器的指标往往是以频域的形式给出的，尤滤波器的指标往往是以频域的形式给出的，尤其是低通、带通、高通和带阻这些选频滤波器。其是低通、带通、高通和带阻这些选频滤波器。如图所示的一个线性时不变离散系统，如果输如图所示的一个线性时不变离散系统，如果输入是带限的，且

3、采样率满足奈奎斯特采样率，入是带限的，且采样率满足奈奎斯特采样率，这系统是一个线性时不变的连续系统。这系统是一个线性时不变的连续系统。例例 7.1 离散时间滤波器指标的确定离散时间滤波器指标的确定通带通带过渡带过渡带阻带阻带通带通带过渡带过渡带阻带阻带通带通带宽度宽度阻带阻带宽度宽度过渡带过渡带容限图容限图相位除了隐含的稳定性、因果性外没有其相位除了隐含的稳定性、因果性外没有其他限制。他限制。滤波器设计分为：滤波器设计分为：IIR和和FIR两大类两大类7.1 由连续时间滤波器设计离散时间由连续时间滤波器设计离散时间IIR滤波器滤波器原因：原因：连续时间连续时间IIR滤波器设计方法已经成熟。滤波

4、器设计方法已经成熟。许多有用的连续时间许多有用的连续时间IIR滤波器设计方法有比滤波器设计方法有比较简单完整的设计公式。较简单完整的设计公式。但是将连续时间但是将连续时间IIR滤波器设计方法直接用滤波器设计方法直接用于离散时间于离散时间IIR滤波器并不能得到简单的设滤波器并不能得到简单的设计公式。计公式。主要方法有冲击响应不变法、双线性变换法。主要方法有冲击响应不变法、双线性变换法。注意有连续时间系统的注意有连续时间系统的S平面到平面到Z平面的变平面的变换关系。换关系。虚轴虚轴单位圆单位圆收敛于收敛于 左平面左平面单位圆内单位圆内s-planeUnit circlez-planeOne-to-

5、One transformation7.1.1 冲击响应不变法冲击响应不变法变换原理变换原理h(n)为为DF的单位冲激响应序列，的单位冲激响应序列，为为AF的冲的冲激响应，冲激响应不变法就是使激响应，冲激响应不变法就是使h(n)正好等于正好等于 的抽样值，即的抽样值，即则则采样系统有可能产生频谱混叠。采样系统有可能产生频谱混叠。拉氏变换拉氏变换 上式表明，先沿虚轴作周期延拓，再经过映射上式表明，先沿虚轴作周期延拓，再经过映射关系映射到关系映射到Z平面。平面。s-planeUnit circlez-planeMany-to-One transformation根据取样定理，只有当根据取样定理，只

6、有当AF的频响带限于折叠频的频响带限于折叠频率以内时，即率以内时，即才能使才能使DF在折叠频率在折叠频率内重现内重现AF的频响，而不产的频响，而不产生混叠失真。但是，任何一个实际生混叠失真。但是，任何一个实际AF的频响却不的频响却不是严格带限的，就会产生混迭失真，如下图是严格带限的，就会产生混迭失真，如下图0 混叠问题混叠问题 设计步骤设计步骤首先利用首先利用 将离散时间滤波器的指标转化为连续时间滤波器的将离散时间滤波器的指标转化为连续时间滤波器的技术指标。即如果产生的混叠可以忽略，我们可以技术指标。即如果产生的混叠可以忽略，我们可以利用下式利用下式 设计连续系统。设计连续系统。再将其转换为离

7、散域。即利用再将其转换为离散域。即利用 这时采样参数这时采样参数Td不能控制混叠。不能控制混叠。这是由于若采样率增加，连续时间系统的截至频率这是由于若采样率增加，连续时间系统的截至频率必须成比例的增加。必须成比例的增加。解决方法，设计连续系统时，超标设计，尤其时阻解决方法，设计连续系统时，超标设计，尤其时阻带指标。带指标。S平面平面 z平面平面Sk 极点极点 e SkTd稳定稳定 Sk Re0 e SkTd幅度幅度1 稳定稳定设计并不是设计并不是S到到Z的简单映射的简单映射注意，离散时间系统中的零点时部分分式展注意，离散时间系统中的零点时部分分式展开中的极点和开中的极点和TdAk的函数。的函数

8、。例例 7.2 设计模拟的巴特沃兹滤波器设计模拟的巴特沃兹滤波器离散时间滤波器的技术指标离散时间滤波器的技术指标连续时间滤波器的技术指标连续时间滤波器的技术指标由于模拟的巴特沃兹滤波器是频率的单调函数由于模拟的巴特沃兹滤波器是频率的单调函数,所以所以巴特沃兹的幅度巴特沃兹的幅度 带入得带入得0.7032s-平面平面三对极点在s平面的位置如图7.1.2 双线性变换法双线性变换法冲击响应不变法只能设计冲击响应不变法只能设计带限系统，无法设计高通带限系统，无法设计高通系统。系统。双线性变换法双线性变换法将将映射到映射到变换公式如下变换公式如下Unit circlez-planes-planeOne-

9、to-One transformation注意收敛域，即注意收敛域，即s的左半平面和的左半平面和z平面单位圆平面单位圆之间的映射关系之间的映射关系虚轴的映射关系虚轴的映射关系的映像（单位圆）左半平面的映像Z平面s平面图示图示用双线性变换法由用双线性变换法由s平面到平面到z平面的映射平面的映射预失真预失真连续时间系统选频连续时间系统选频特性特性巴特沃兹：通带、巴特沃兹：通带、阻带内单调阻带内单调I型切比雪夫：通型切比雪夫：通带等波纹、阻带内带等波纹、阻带内单调单调II型切比雪夫：通型切比雪夫：通带纹内单调、阻带带纹内单调、阻带等波纹等波纹椭圆：通带、阻带椭圆：通带、阻带内等波纹内等波纹 相位特性

10、相位特性双线性变换对线性相位特性的影响双线性变换对线性相位特性的影响（虚线表示线性相位，实线表示由双线性变换得到的相位）（虚线表示线性相位，实线表示由双线性变换得到的相位）例例 0.766s-平面平面双线性变换是将整个双线性变换是将整个虚轴映射到单位圆上，虚轴映射到单位圆上，所以幅频特性下降的所以幅频特性下降的快一些。快一些。另外在连续时间系统另外在连续时间系统 有一个有一个6阶零点，阶零点，因此在离散时间系统因此在离散时间系统中对应的中对应的z1处有处有一个一个6阶零点。阶零点。和连续时间系统比较：和连续时间系统比较：频率响应相同频率响应相同具有最平特性具有最平特性 离散时间系统的响应是周期

11、的离散时间系统的响应是周期的离散时间系统的频率响应下降的快一点离散时间系统的频率响应下降的快一点巴特沃兹逼近巴特沃兹逼近I型切比雪夫逼近型切比雪夫逼近II型切比雪夫逼近型切比雪夫逼近椭圆逼近椭圆逼近7.2 用窗函数法设计用窗函数法设计FIR滤波器滤波器IIR滤波器中有延迟回路，因此设计中有滤波器中有延迟回路，因此设计中有迭代出现，所以增加了设计难度。迭代出现，所以增加了设计难度。离散离散FIR设计简单。同时由于大多数情况设计简单。同时由于大多数情况下假定为线性相位，避免了设计中复杂的下假定为线性相位，避免了设计中复杂的频谱因式分解问题。频谱因式分解问题。最简单的方法：窗函数法。最简单的方法：窗

12、函数法。给定一个频谱响应给定一个频谱响应根据傅里叶逆变换根据傅里叶逆变换是无限长的非因果序列是无限长的非因果序列窗函数法窗函数法得到一个因果的系统得到一个因果的系统即即根据傅里叶变换中的调制（加窗）定理根据傅里叶变换中的调制（加窗）定理 (1)时，时，正好与正好与 的一半相重叠。这时有的一半相重叠。这时有 。(2)时，时，的主瓣全部在的主瓣全部在 的通带内，这时应出现正的肩峰。的通带内，这时应出现正的肩峰。(3)时，主瓣全部在通带外，时，主瓣全部在通带外，出现负的肩峰。出现负的肩峰。(4)当 时，随时，随增加，增加，左边左边旁瓣的起伏部分扫过通带，卷积旁瓣的起伏部分扫过通带，卷积也随着也随着的

13、旁瓣在通带内的面积的旁瓣在通带内的面积变化而变化，故变化而变化，故将围绕着零值而波动。将围绕着零值而波动。(5)当当时，时，的右边旁瓣将进的右边旁瓣将进入入的通带，右边旁瓣的起伏造成的通带，右边旁瓣的起伏造成值围绕值围绕值而波动。值而波动。加窗后，加窗后，使频响产生一过渡带，其宽度正好使频响产生一过渡带，其宽度正好等于窗的频响的主瓣宽度等于窗的频响的主瓣宽度。在在处出现肩峰，肩峰两侧形成起伏处出现肩峰，肩峰两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的多少则取决于旁瓣的多少。多少则取决于旁瓣的多少。几点结论几点结论过渡带宽过渡带宽：由窗

14、函数傅立叶变换的主瓣决定。：由窗函数傅立叶变换的主瓣决定。通带和阻带的波纹：由窗函数旁瓣的积分决定。通带和阻带的波纹：由窗函数旁瓣的积分决定。吉布斯吉布斯(Gibbs)效应效应因为窗函数的频响的幅度函数为因为窗函数的频响的幅度函数为这是一个很特殊的函数，分析表明，当改变这是一个很特殊的函数，分析表明，当改变N时仅能时仅能改变改变的绝对值的大小，和主瓣的宽度的绝对值的大小，和主瓣的宽度，旁瓣的宽度，旁瓣的宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例，也就是说，不会改变归一化频响对比例，也就是说，不会改变归一化频响的肩的肩峰的相对值。对于矩形窗最大相对肩峰峰的相对值。对于矩形窗最

15、大相对肩峰8.95%，不管，不管N怎样改变，最大肩峰总是怎样改变，最大肩峰总是8.95%，这种现象称作吉，这种现象称作吉布斯效应。布斯效应。窗函数长度的选取窗函数长度的选取计算量计算量越短越好越短越好逼近程度逼近程度越长越好越长越好吉布斯现象吉布斯现象7.2.1 常用窗函数的性质常用窗函数的性质1、基本概念、基本概念 (1)窗谱：窗函数的频响的幅度函数亦称作窗谱。窗谱：窗函数的频响的幅度函数亦称作窗谱。(2)对窗函数要求：对窗函数要求：a)希望窗谱主瓣尽量窄，以获得较陡的过渡带，希望窗谱主瓣尽量窄，以获得较陡的过渡带，这是因为过渡带等于主瓣宽度。这是因为过渡带等于主瓣宽度。b)尽量减少窗谱最大

16、旁瓣的相对幅度，这样可使尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度，这样可使肩峰和波纹减少。肩峰和波纹减少。常用的窗函数常用的窗函数矩形窗矩形窗Bartlett(三角三角)窗窗Hanning窗窗Hamming窗窗Blackman窗窗名称名称最大旁最大旁瓣幅度瓣幅度主瓣近似主瓣近似宽度宽度最大逼最大逼近误差近误差等效等效Kaiser窗窗等效等效Kaiser过过渡带宽渡带宽矩形矩形-134/(M+1)21dB01.8/M巴特利巴特利特特-258/M25dB1.332.37/M汉宁汉宁-318/M44dB3.865.01/M哈明哈明-418/M51dB4.866.27/M布莱克布莱克曼曼-5712/M74dB7

17、.049.19/M旁瓣降低。旁瓣降低。主瓣展宽。主瓣展宽。矩形窗矩形窗Bartlett窗窗Hanning窗窗Hamming窗窗Blackman窗窗7.2.2 广义线性相位的合并广义线性相位的合并广义线性相位是我们需要的广义线性相位是我们需要的。注意到窗函数的对称性质注意到窗函数的对称性质即即若所需的脉冲响应也以若所需的脉冲响应也以M/2对称，则加窗后的脉冲对称，则加窗后的脉冲响应也以响应也以M/2对称。对称。若所需的脉冲响应也以若所需的脉冲响应也以M/2反对称，则加窗后的脉反对称，则加窗后的脉冲响应也以冲响应也以M/2反对称。反对称。如果冲击响应对称，则如果冲击响应对称，则即即化简化简可见：可

18、见：系统为广义线性相位系统为广义线性相位可用周期卷积求可用周期卷积求例例7.7 线性相位低通滤波器线性相位低通滤波器 要求的频率响应定义要求的频率响应定义 则则 由于由于 所以如果使用对称窗函数便能得到广义线性所以如果使用对称窗函数便能得到广义线性相位系统相位系统理想频率响应间断点处得到的逼近形式的说明理想频率响应间断点处得到的逼近形式的说明7.2.3 Kaiser窗滤波器设计法窗滤波器设计法利用第一类利用第一类Bessel函数可以构造一种近似最佳函数可以构造一种近似最佳的窗函数。的窗函数。Kaiser窗的定义为：窗的定义为：除了长度参数外，还有形状参数。除了长度参数外，还有形状参数。过渡带宽

19、过渡带宽M=10M=20M=40例例 7.8 用用Kaiser窗设计滤波器窗设计滤波器1.给出技术指标；给出技术指标；2.求出截至频率；求出截至频率；3.确定确定Kaiser窗的参数；窗的参数；4.计算滤波器冲击响应。计算滤波器冲击响应。7.2.4 Kaiser窗与其他窗之间的关系窗与其他窗之间的关系 上述几种窗函数：矩形窗、汉宁窗、海明窗等，上述几种窗函数：矩形窗、汉宁窗、海明窗等，为了压制旁瓣，是以加宽主瓣为代价的。而且，每为了压制旁瓣，是以加宽主瓣为代价的。而且，每一种窗的主瓣和旁瓣之比是固定不变的，而凯泽窗一种窗的主瓣和旁瓣之比是固定不变的，而凯泽窗可以在主瓣宽度与旁瓣衰减之间自由选择

20、。可以在主瓣宽度与旁瓣衰减之间自由选择。7.3 Kaiser窗设计窗设计FIR滤波器举例滤波器举例7.3.1 高通滤波器高通滤波器响应响应例例 7.9 用用Kaiser窗设计高通滤波器窗设计高通滤波器技术指标技术指标I类类II类类 多频带选频滤波器多频带选频滤波器每个间断点足够远，每个间断点足够远，则间断点的特性相同。则间断点的特性相同。所以误差逼近是成比所以误差逼近是成比例的，即幅度为例的，即幅度为1的的间断点产生间断点产生 峰值峰值逼近误差，则幅度为逼近误差，则幅度为1/2的间断点产生的间断点产生 峰值逼近误差。峰值逼近误差。7.3.2 离散时间微分器离散时间微分器由于由于hn=-hM-n

21、，所以得到的系统为，所以得到的系统为III 或或IV型型FIR。Kaiser公式是针对单幅度间断点的频率响应，所公式是针对单幅度间断点的频率响应，所以不能直接用于微分器。以不能直接用于微分器。例例 7.10 用用Kaiser窗设计微分器窗设计微分器III类类IV类类7.4 FIR滤波器的最佳逼近滤波器的最佳逼近以矩形窗为例以矩形窗为例特点：最好的均方逼近。特点：最好的均方逼近。缺点：间断点的特性不好。缺点：间断点的特性不好。窗函数不能单独控制不同频率上的逼近误差。窗函数不能单独控制不同频率上的逼近误差。引出了最大最小准则（最大误差最小化）。引出了最大最小准则（最大误差最小化）。逼近误差在一个频

22、率处逼近误差在一个频率处正好满足要求，而在其正好满足要求，而在其他频率处超标。他频率处超标。通带和阻带误差相同。通带和阻带误差相同。逼近误差在频率上是均逼近误差在频率上是均匀分布的，可以分别调匀分布的，可以分别调节通带和阻带内的波纹。节通带和阻带内的波纹。频率响应间断点两边的频率响应间断点两边的误差最大，离开间断点误差最大，离开间断点后误差逐渐减小。后误差逐渐减小。IIR窗函数窗函数7.6 IIR和和 FIR滤波器的评价滤波器的评价包括幅度和相位包括幅度和相位只有幅度响应只有幅度响应DSP中一般有乘加单中一般有乘加单元。元。可控性好，因为有最可控性好，因为有最佳理论。佳理论。可以逼近任意的的频

23、可以逼近任意的的频率响应。设计复杂。率响应。设计复杂。迭代法。迭代法。精确的广义线性相位，精确的广义线性相位，但不存在完整的设计但不存在完整的设计方法。方法。可以用完整的设计公可以用完整的设计公式设计各种选频滤波式设计各种选频滤波器。器。FIRIIR作业：作业：作业：作业：1版版 P409 7.7 及第及第2版的版的 2版版 P414 7.9 7.10 7.11 7.13 7.14 7.23 1版版 P407 7.1a 7.4 7.8a 7.11 7.12 及第及第2版的版的 7.11 7.13 7.15 2版版 P412 7.1a 7.2 7.4a 7.11 7.13 7.15 及第及第1版的版的 作业：作业：