《导数概念》PPT课件.ppt

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1、第一节 导数概念 第二章第二章 三、导数的几何意义三、导数的几何意义二、导数的定义二、导数的定义一、引一、引 例例四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系五、小结与思考题五、小结与思考题（The Concept of Derivative）10/27/20221一、引 例（Introduction）1.变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为自由落体运动10/27/20222曲线在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T(当 时)2.曲线的切线斜率曲线的切线斜率割线 M N 的斜率切线 MT 的斜率10

2、/27/20223瞬时速度切线斜率两个问题的共性共性:所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变变化化率率问问题题10/27/20224二、导数的定义（Definition of Derivatives）1.函数在一点的导数与导函数函数在一点的导数与导函数 定义定义1 设函数在点存在,并称此极限为记作则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导可导,在点的导数导数.即10/27/20225若上述极限不存在,在点 不可导.若也称在若函数在开区间

3、 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注注:就说函数就称函数在 I 内可导.的导数为无穷大.10/27/20226由此可见，运动质点的位置函数在 时刻的瞬时速度曲线在 M 点处的切线斜率10/27/20227(C 为常数)的导数.解解:即例例2 求函数解解:例例1 求函数2.求导数举例求导数举例 10/27/20228对一般幂函数(为常数)例如，例如，说明：说明：10/27/20229类似可证得类似可证得:例例3解解:即即10/27/202210例例4解解:即即特别地，特别地，10/27/202211例例5解：解：即即特别地，特别地，10/27/202212在点的某个右右

4、 邻域内若极限则称此极限值为在 处的右右 导数导数,记作(左)(左左)定义定义2 设函数有定义,存在,3.单侧导数单侧导数 在点可导的充分必要条件充分必要条件注注1：函数且是注注2：若函数与在开区间 内可导,且都存在,则称在闭区间 上可导.10/27/202213在 x=0 不可导.例例6 证明函数证证:因此，函数在 x=0 不可导.10/27/202214三、导数的几何意义(Geometric Interpretation)曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;若切线与 x 轴垂直.曲线在点处的切线方程切线方程:法线方程法线方程:10/27/20

5、2215哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解解:故在原点(0,0)有垂直切线例例7 问曲线令得对应则在点(1,1),(1,1)处与直线平行的切线方程分别为即10/27/202216四、函数的可导性与连续性的关系定理定理证证:设在点 x 处可导,存在,故即所以函数在点 x 连续.注意注意:函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:在 x=0 处连续,但不可导.10/27/202217例例8解：解：在在 处的处的讨论函数讨论函数是有界函数是有界函数,在在 处连续性处连续性.但但在在处有处有当当时，时，在在1和和1之间振荡而极限不存在之间振荡而极限不存在.在在 处不

6、可导处不可导.连续性与可导性连续性与可导性.10/27/202218内容小结1.本节通过两个引例抽象出导数的定义：本节通过两个引例抽象出导数的定义：10/27/2022192.利用导数的定义得出以下导数公式：利用导数的定义得出以下导数公式：3.判断可导性判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.4.导数的几何意义导数的几何意义:切线的斜率;5.函数的可导性与连续性的关系：函数的可导性与连续性的关系：可导必连续;但连续不一定可导。10/27/202220思考与练习1.函数 在某点 处的导数有什么区别与联系?与导函数区别:是函数,是数值;联系:注意注意:？10/27/2022213.已知则存在,则2.设4.设存在,求极限解解:原式10/27/202222,问 a 取何值时,在都存在,并求出解解:故时此时在都存在,显然该函数在 x=0 连续.5.设10/27/202223解解:因为存在,且求所以6.设10/27/202224在 处连续,且存在，证明:在处可导.证证：因为存在，则有又在处连续,所以即在处可导.故7.设10/27/202225