正态分布的计算、一维连续型函数的分布.ppt

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1、正态分布的概率计算随机变量的函数的分布一维连续型其中其中 为常数，且为常数，且正态分布的分布函数正态分布的分布函数正态分布的密度函数：正态分布的密度函数：怎么求？怎么求？正态分布的概率计算正态分布的概率计算 正态分布的概率计算正态分布的概率计算标准正态分布的概率密度：标准正态分布的概率密度：一般随机变量（包括一般正态分布）的分布函数并无此性质。一般随机变量（包括一般正态分布）的分布函数并无此性质。对于标准正态分布，有以下计算性质：对于标准正态分布，有以下计算性质：若若 正态分布的概率计算正态分布的概率计算设设 X 的分布密度为的分布密度为 ，分布函数为，分布函数为我们有如下计算性质：我们有如下

2、计算性质：设设 正态分布的概率计算正态分布的概率计算证明性质证明性质（4）：证明：证明：正态分布的概率计算正态分布的概率计算设设有有于是于是称称 为为极限误差极限误差。正态分布的概率计算正态分布的概率计算例例1 1 设设 试计算试计算解：解：例例2 若若 且且 求求解：解：因为因为所以所以例例3 设设求求解：解：例例4 设某品种苹果的重量设某品种苹果的重量按重量大小按重量大小把苹果分成四类：把苹果分成四类：为最小，为最小，为中等，为中等，为大苹果，为大苹果，为特大。试求中等苹果的上下限重量。为特大。试求中等苹果的上下限重量。解：设中等苹果的下限为解：设中等苹果的下限为 ，上限为，上限为 。则：

3、则：注意到标准正态分布函数值表中函数值的数据注意到标准正态分布函数值表中函数值的数据查表得：查表得：把苹果分成四类：把苹果分成四类：为最小，为最小，为中等，为中等，例例4 设某品种苹果的重量设某品种苹果的重量按重量大小按重量大小为大苹果，为大苹果，为特大。试求中等苹果的上下限重量。为特大。试求中等苹果的上下限重量。解：设中等苹果的下限为解：设中等苹果的下限为 ，上限为，上限为 。查表得：查表得：查表得：查表得：例例5 5 某零件宽度某零件宽度现规定限度是现规定限度是（1）求零件的废品率。）求零件的废品率。（2）若要）若要求每求每 100 个产品中废品不多于一个，可允许的最大个产品中废品不多于一

4、个，可允许的最大值是多少？值是多少？解：（解：（1）正品率）正品率（2）设废品率）设废品率即正品率即正品率查表得：查表得：故废品率故废品率 一维连续型随机变量的函数的分布一维连续型随机变量的函数的分布设设 是一连续型随机变量，是一连续型随机变量，是它的一个函数。是它的一个函数。若已知若已知 X 的分布，我们希望由此得出的分布，我们希望由此得出 Y 的分布。的分布。为区分起见，为区分起见，Y 的分布函数及分布密度分别为：的分布函数及分布密度分别为：和和和和设设X 的分布函数及分布密度分别为：的分布函数及分布密度分别为：和和因为因为都表示具体事件的概率，都表示具体事件的概率，所以通过它们可找出所以

5、通过它们可找出 X 与与 Y 的分布的关系。的分布的关系。例例6 设圆面积设圆面积 求圆半径求圆半径 Y 的概率密度的概率密度.解：由题设，解：由题设，别处别处所以所以（1）当）当 时，时，（2）当）当 时，时，别处别处别处别处例例6 设圆面积设圆面积 求圆半径求圆半径 Y 的概率密度的概率密度.解：由题设，解：由题设，别处别处综上所述，综上所述，别处别处（1）当）当 时，时，（2）当）当 时，时，别处别处例例7 设正方形边长设正方形边长 X 的分布密度如下，求它的面积的分布密度如下，求它的面积 Y 的的 分布密度。分布密度。别处别处解：解：（1）当）当 时，时，（2）当）当 时，时，别处别处

6、别处别处例例7 设正方形边长设正方形边长 X 的分布密度如下，求它的面积的分布密度如下，求它的面积 Y 的的 分布密度。分布密度。别处别处解：解：综上所述，综上所述，别处别处（1）当）当 时，时，（2）当）当 时，时，别处别处其它其它例例8 设随机变量设随机变量 X 的分布密度是的分布密度是 解：（解：（1）其它其它其它其它，求，求 Y 及及 V 的分布密度。的分布密度。解：（解：（2），求，求 Y 及及 V 的分布密度。的分布密度。当当 时，时，当当 时，时，其它其它综上所述，综上所述，.其它其它例例8 设随机变量设随机变量 X 的分布密度是的分布密度是 例例9 若若 证明证明所以所以 Y 的分布密度为：的分布密度为：解：解：若若则则若若则则即即服从正态分布的随机变量的服从正态分布的随机变量的线性函数仍服从正态分布。线性函数仍服从正态分布。