《方差和标准差》PPT课件.ppt

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1、1温故而知新温故而知新1、离散型随机变量、离散型随机变量 X 的的均值均值（数学期望）（数学期望）2、均值的性质、均值的性质3、两种特殊分布的均值、两种特殊分布的均值（1）若随机变量若随机变量X服从两点分布，则服从两点分布，则（2）若若 ，则，则反映了离散型随机变量取值的平均水平反映了离散型随机变量取值的平均水平.2 复习复习 3 如果其他对手的射击成如果其他对手的射击成绩都在绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？环左右，应派哪一名选手参赛？已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数 1、2的分布列如下：的分布列如下：试比较两名射手的射击水平试比较两

2、名射手的射击水平.x18910P0.20.60.2x28910P0.40.20.4 如果其他对手的如果其他对手的射击成绩都在射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？环左右，应派哪一名选手参赛？显然两名选手显然两名选手的水平是不同的的水平是不同的,这里要进一步去这里要进一步去分析他们的成绩分析他们的成绩的稳定性的稳定性.探究探究 4方差定义方差定义一组数据的方差：一组数据的方差：方差反映了这组方差反映了这组数据的波动情况数据的波动情况 在一组数：在一组数：x1 1,x2 2,xn 中，各数据的平均数为中，各数据的平均数为 ，则这组数据的方差为：，则这组数据的方差为：类似于这个概念类似于这个概念

3、,我们可以定义随机变量的方差我们可以定义随机变量的方差.新课新课 5离散型离散型随机变量的方差和标准差随机变量的方差和标准差:则称则称一般地一般地,若离散型随机变量若离散型随机变量 的概率分布列为：的概率分布列为：定义定义 称称 为随机变量的标准差为随机变量的标准差6 它们都是反映离散型随机变量偏离于均它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值于均值.7 1.已知随机变量已知随机变量x的分布列的分布列x01234P0.10.20.40.20.1求

4、求D（）和和 .解：解：2.若随机变量若随机变量x 满足满足P（x1）p，P（x0）q其中其中p+q=1，求，求E（x)和和 D(x).E(x)pD(x)pq 练习练习 8结论结论1：则则 ;结论结论2：若：若B(n，p)，则，则E()=np.服从二点分布则服从二点分布则E()=p可以证明可以证明,对于方差有下面两个重要性质：对于方差有下面两个重要性质：则则 结论结论 91.已知随机变量已知随机变量x的分布列为则的分布列为则Ex与与Dx的值为的值为()和和和和0.3 和和和和2.已知已知xB(100,0.5),则则Ex=_,Dx=_,E(2x-1)=_,D(2x-1)=_ 12P0.30.7D

5、5025991003、有一批数量很大的商品，其中次品占、有一批数量很大的商品，其中次品占1，现，现从中任意地连续取出从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为件商品，设其次品数为X，求，求EX和和DX.2，练习练习 10 例题：甲乙两人每天产量相同，它们的次品个数例题：甲乙两人每天产量相同，它们的次品个数分别为分别为 ，其分布列为，其分布列为 0 1 2 3P0.30.30.20.2 0 1 2 P0.10.50.4判断甲乙两人生产水平的高低？判断甲乙两人生产水平的高低？解答解答 例题例题 11E(）E()D()=(01.3)20.3+(11.3)20.3（21.3）20.2（3-1.3)2

6、 结论：甲乙两人次品个数的平均值结论：甲乙两人次品个数的平均值相等，但甲的稳定性不如乙，乙的生产相等，但甲的稳定性不如乙，乙的生产水平高水平高.期望值高，平均值大，水平高期望值高，平均值大，水平高方差值小，稳定性高，水平高方差值小，稳定性高，水平高12例例2:有甲乙两个单位都愿意聘用你有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息：而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资甲单位不同职位月工资X1/元元1200140016001800获得相应职位的概率获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资乙单位不同职位月工资X2/元元1000140018002200获得相应职位的概率

7、获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：解：在两个单位工资的数学期望相等的情况下在两个单位工资的数学期望相等的情况下,如果认为自如果认为自己能力很强己能力很强,应选择工资方差大的单位应选择工资方差大的单位,即乙单位即乙单位;如果认为如果认为自己能力不强自己能力不强,就应选择工资方差小的单位就应选择工资方差小的单位,即甲单位即甲单位.例题例题 13（2）若若 ，则，则再回顾：两个特殊分布的方差再回顾：两个特殊分布的方差（1）若若 X 服从两点分布，则服从两点分布，则（2）若若 ，则，则两种特殊分布的

8、均值两种特殊分布的均值（1）若若X服从两点分布，则服从两点分布，则14方差的性质方差的性质平移变化不改变方差，但是伸缩变化改变方差平移变化不改变方差，但是伸缩变化改变方差.均值的性质均值的性质推论：常数的方差为推论：常数的方差为_.015机动练习机动练习11710=ppnBX,n1.6,DX8,EX),(1则则，、已知、已知=+=DD则则，且，且、已知、已知,138132163.若随机变量若随机变量 服从二项分布，且服从二项分布，且E=6，D =4,则此二项分布是则此二项分布是 。设设二项分布为二项分布为 B(n,p),则则E=np=6D=np(1-p)=4n=18p=1/317 对随机变量对

9、随机变量X的均值的均值(期望期望)的理解：的理解：(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义上的平均；均值是算术平均值概念的推广，是概率意义上的平均；(2)E(X)是一个实数，由是一个实数，由X的分布列唯一确定，也就是说随的分布列唯一确定，也就是说随 机变量机变量X可以取不同的值，而可以取不同的值，而E(X)是不变的，它描述的是是不变的，它描述的是 X取值的平均状态；取值的平均状态；(3)E(X)的公式直接给出了的公式直接给出了E(X)的求法的求法18例例1.(2010衡阳模拟衡阳模拟)一厂家向用户提供的一箱产品共一厂家向用户提供的一箱产品共10件，件，其中有其中有n件次品，用户先对产品进行

10、抽检以决定是否接收件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收抽检规则是这样的：一次取一件产品检查抽检规则是这样的：一次取一件产品检查(取出的产品不放取出的产品不放回箱子回箱子)，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品接收这箱产品(1)若这箱产品被用户接收的概率是若这箱产品被用户接收的概率是 ，求，求n的值；的值；(2)在在(1)的条件下，记抽检的产品件数为的条件下，记抽检的产品件数为X，求，求X的分布列的分布列和数学期望和数学期望1

11、9（1）利用古典概型易求）利用古典概型易求.（2）X的取值为的取值为1、2、3，求出分布列代入期望，求出分布列代入期望 公式公式.20【解】【解】(1)设设“这箱产品被用户接收这箱产品被用户接收”为事件为事件A，n2.(2)X的可能取值为的可能取值为1,2,3.P(A)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=21X的概率分布列为：的概率分布列为：X123P22(3)设设X为签约人数为签约人数X的分布列如下：的分布列如下：P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=23题型二题型二 求随机变量的方差求随机变量的方差【例2】编号1，2，3的三位学生随意入座编号1，2，

12、3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是X.（1）求随机变量X的概率分布列；（2）求随机变量X的期望与方差.24分析 （1）随机变量X的意义是对号入座的学生个数，所有取值为0,1,3.若有两人对号入座，则第三人必对号入座.由排列与等可能事件概率易求分布列;（2）直接利用数学期望与方差公式求解.X013P解 （1）P（X=0）=,P（X=1）=,P（X=3）=,故X的概率分布列为(2)E(X)=D(X)=25举一反三举一反三2.设在15个同类型的零件中有2个次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出后不再放回.若用X表示取出次品的个数.（1）求X的分布列；（2）求X的均值E

13、(X)和方差D(X).学后反思 求离散型随机变量X的方差的步骤：（1）写出X的所有取值；（2）计算P（X=xi）;(3)写出分布列，并求出期望E(X)；（4）由方差的定义求出D(X).26解析：(1)P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.故X的分布列为(2)X的均值E(X)和方差D(X)分别为E(X)=;D(X)=X012P27题型三题型三 期望与方差的综合应用期望与方差的综合应用【例3】(14分)（2008广东）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产

14、1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位：万元）为.(1)求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%,一等品率提高为70%,如果此时要求1件产品的平均利润不小于万元，则三等品率最多是多少？28分析 求的分布列时，要先求取各值时的概率.解 （1）的所有可能取值有6,2,1,-21P(=6)=0.63,.2P(=2)=0.25,.3P(=1)=0.1,4P(=-2)=.5故的分布列为 7621-2p0.630.250.10.0229(2)E()=60.63+20.25+10.1+（-2）0.02=4.34.9(3)设技术革新后

15、的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为E(=4.76-x(0 x0.29).12依题意，E()4.73,即4.76-x4.73,解得x0.0313所以三等品率最多为3%.14学后反思 本题主要考查学生运用知识，迁移知识的能力.解决该类实际问题的关键是将实际问题化为数学问题，利用已学的知识进行处理，这也是今后高考的一大热点.30例例4.4.（20112011辽宁理辽宁理19）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验选取物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验选取两大块地，每大块地分成两大块地，每

16、大块地分成n小块地，在总共小块地，在总共2n小块地中，随机选小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙小块地种植品种乙 （I）假设）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为为X，求，求X的分布列和数学期望；的分布列和数学期望；（II）试验时每大块地分成）试验时每大块地分成8小块，即小块，即n=8，试验结束后得到品种，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：）如下表：品种甲品种甲403 397390404388400

17、412406品种乙品种乙419 403412418408423400413 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？其中其中 表示样本平均值表示样本平均值附：样本数据：样本方差：附：样本数据：样本方差：例题精析例题精析31解：解：(1)x的可能取值为：的可能取值为：0,1,2,3,4，且，且x的分布列为：的分布列为：x的数学期望为：的数学期望为：例题精析例题精析32（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：）品种甲的每公顷产量的样本平

18、均数和样本方差分别为：品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙不大，故应该选择种植品种乙.例题精析例题精析33知知 识识 回回 顾顾求离散型随机变量的期望、方差通常有哪些步骤？求离散型随机变量的期望、方差通常有哪些步骤？在解决上述问题中经常要用到哪些性质、公式？在解决上述问题中经常要用到哪些性质、公式？求分布列求分布列求期望求期望求方差求方差分布列

19、性质分布列性质346.根据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的概率为，根据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的概率为，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费费100元，若在一年以内，万元以上财产被盗，保险公司赔偿元，若在一年以内，万元以上财产被盗，保险公司赔偿a元（元（a100），问），问a如何确定，可使保险公司期望获利？如何确定，可使保险公司期望获利？7、每人交保险费、每人交保险费1000元，出险概率为元，出险概率为3%，若保险公司的，若保险公司的赔偿金为赔偿金为a（a1000）元，为使保险公司收益的期望值不）元

20、，为使保险公司收益的期望值不低于低于a的百分之七，则保险公司应将最大赔偿金定为多少元？的百分之七，则保险公司应将最大赔偿金定为多少元？8、设、设X是一个离散型随机变量是一个离散型随机变量，其概率分布为，其概率分布为 求求：（1）q的值；（的值；（2）EX，DX。X-101P1/21-2q359.（11.全国）某商场经销某商品，根据以往资料全国）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分起付款期数统计，顾客采用的分起付款期数 的分布列为：的分布列为：12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为期付款，其利润为200元，分元，分

21、2期或期或3期付款，其利润为期付款，其利润为250元，分元，分4期或期或5期付款，其利润为期付款，其利润为300元，元，表示经销一件该商品的表示经销一件该商品的利润。利润。（1）求事件）求事件A：”购买该商品的购买该商品的3位顾客中，至少有位顾客中，至少有一位采用一位采用1期付款期付款”的概率的概率P(A)；（2）求）求 的分布列及期望的分布列及期望E 。3637析析:审清题意是解决该题的关键审清题意是解决该题的关键.1.抓住蝇子一个个有顺序地飞出抓住蝇子一个个有顺序地飞出,易联想到把易联想到把8只蝇子看作只蝇子看作8个元素有序排个元素有序排列列.，由于，由于=0“表示表示”，最后一只必为，最

22、后一只必为果蝇，所以有果蝇，所以有=1“表示表示 ”P（=0）=，同理有，同理有P（=1）=2“表示表示 ”有有P（=2）=3“表示表示 ”有有P（=3）=4“表示表示 ”有有P（=4）=5“表示表示 ”有有P（=5）=6“表示表示 ”有有P（=6）=3801234563911、（、（10，重庆）某单位有三辆汽车参加某种事故，重庆）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司交纳保险，单位年初向保险公司交纳900元的保险金，对元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）。设这三辆元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）。设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为车在一年内发生此种事故的概率分别为1/9、1/10、1/11，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：单位在此保险中：（1）获赔的概率；）获赔的概率；（2）或赔金额）或赔金额 的分布列与期望。的分布列与期望。4012、若随机事件、若随机事件A在一次试验中发生的概率为在一次试验中发生的概率为p(0p1),用随机变量用随机变量X表示表示A在在1次试验中发生次试验中发生的次数。的次数。（1）求方差）求方差DX的最大值；的最大值；（2）求）求 的最大值。的最大值。41