《振动学基础》PPT课件.ppt

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1、第第 6 章章(Vibration)(6)振动和波动振动和波动(Vibration and wave)1 一般地说一般地说,任何一个物理量在某一量值附近随任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期性变化都可以称为时间作周期性变化都可以称为振动振动。振动有机械振动、电磁振动、光振动振动有机械振动、电磁振动、光振动.。本章着重研究机械振动。本章着重研究机械振动。而振动中最简单最基而振动中最简单最基本最有代表性的是本最有代表性的是简谐振动简谐振动，这将是我们学习的，这将是我们学习的重点。重点。学习中的重点和难点是：学习中的重点和难点是：相相(phase)26-1 6-1 简谐振动的一般概念简谐振动的一

2、般概念简谐振动的一般概念简谐振动的一般概念一一.简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程 一质点沿一质点沿x轴作直线运动，取轴作直线运动，取平衡位置为坐标平衡位置为坐标原点原点，若质点对平衡位置的位移，若质点对平衡位置的位移(坐标坐标)x随时间随时间t按按余弦变化余弦变化,即即则称质点作则称质点作简谐振动简谐振动(谐振动谐振动)。式。式(6-3)也称为振也称为振动方程。动方程。上式中上式中:A,为谐振动的为谐振动的三个特征量三个特征量,均为均为常量。常量。x=Acos(t+)(6-3)3 如图如图6-1所示所示,取取平衡位置为坐标原点平衡位置为坐标原点，物体对平，物体对平衡位置的位移为衡位置的

3、位移为x时时,所受的弹性力为所受的弹性力为图6-1xmko(平衡位置平衡位置)x(6-1)式中式中:k为弹簧的倔强为弹簧的倔强(劲度劲度)系数系数;负号表示力与位移负号表示力与位移的方向相反。的方向相反。根据牛顿第二定律，物体在此弹性力的作用下的根据牛顿第二定律，物体在此弹性力的作用下的力学方程是力学方程是二二.简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程4(6-2)上式就是上式就是简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程。这个方程的解为这个方程的解为 x=Acos(t+)这正是这正是简谐振动的运动学方程。简谐振动的运动学方程。注意注意:研究简谐振动时研究简谐振动时,坐标原点只能取在平衡位置坐标原

4、点只能取在平衡位置。平衡位置平衡位置:ox(原长原长)m(平衡位置平衡位置)k图6-2图6-25x=Acos(t+)(6-12)A 振幅振幅(对平衡位置最大位移的绝对值对平衡位置最大位移的绝对值)。角频率角频率 初相初相(t=0时的相时的相)。等幅振动，等幅振动，A不变；不变；周期振动，周期振动，x(t)=x(t+T)。(t+)相相(位相，相位，周相位相，相位，周相)。三三.三个特征量三个特征量6加速度：加速度：速度：速度：a=-2x显然，它们都是谐振动。显然，它们都是谐振动。运动学特性运动学特性(动力学方程动力学方程),m=A(6-5),am=2A(6-6)动力学特性动力学特性k=m 2(6

5、-13)x=Acos(t+)7(t+)=0,x=A,=0 正最大正最大(t+)在第在第1象限象限,x0,0(t+)=+/2,x=0,0 平衡位平衡位置置(t+)在第在第2象限象限,x0,0(t+)=,x=-A,=0 负最大负最大(t+)在第在第3象限象限,x0(t+)=3/2,x=0,0 平衡位平衡位置置(t+)在第在第4象限象限,x0,0(t+)=2 ,x=A,=0 正最大正最大x=Acos(t+)显然，它们由相位唯一确定。显然，它们由相位唯一确定。8六六.振动的超前与落后振动的超前与落后设有两个同频率的谐振动：设有两个同频率的谐振动：x1=A1cos(t+1)x2=A2cos(t+2)0,

6、振动振动x2超前超前x1(2-1)；0,振动振动x2落后落后x1(2-1)；=0,振动振动x2和和x1同相同相；=,振动振动x2和和x1反相反相。相差相差=2-1例例1 x=Acos(t+)=-Asin(t+)=Acos(t+/2)a=-2Acos(t+)=2Acos(t+)=-2x 超前超前x /2；a 超前超前 /2；a与与 x反相反相。9例例2 x1=0.3cos(t)x2=0.4cos(t )x2 超前超前 x1=0.4cos(t )x1 超前超前 x212图6-410 x、a 的位相关系：的位相关系：图6-511x=Acos(t+)=-Asin(t+)振动势能：振动势能：振动动能：振

7、动动能：对弹簧振子对弹簧振子(任何一个谐振动也都可以等效为一个任何一个谐振动也都可以等效为一个弹簧振子弹簧振子)，有，有 k=m 2(6-8)(6-9)=恒量恒量(6-10)总能：总能：12 (1)谐谐振振系系统统的的动动能能和和势势能能都都随随时时间间t作作周周期期性性的的变变化化；而而且且,动动能能和和势势能能的的周周期期为为其其振振动动周周期期的的二二分分之之一。一。(2)平均势能：平均势能：平均动能：平均动能：=恒量恒量 势势能能最最大大时时,动动能能最最小小;动动能能最最大大时时,势势能能最最小小。但系统的但系统的 总机械能守恒总机械能守恒。13(3)振动势能与弹性势能一般是不相同的

8、。振动势能与弹性势能一般是不相同的。振动势能：振动势能：其中其中x是对平衡位置的位移。是对平衡位置的位移。弹性势能：弹性势能：其中其中x是弹簧的伸长量。是弹簧的伸长量。例例xo(原长原长)(平衡位置平衡位置)xmxomxo(原长原长)(平衡位置平衡位置)x14：x=Acos(t+)角频率角频率 由由谐振系统确定。谐振系统确定。(6-13)对弹簧振子：对弹簧振子：顺便指出，顺便指出，弹簧弹簧的串联和并联公式与的串联和并联公式与电阻电阻的串联的串联和并联公式是和并联公式是相反相反。例如例如:一根倔强系数为一根倔强系数为k的轻弹簧的轻弹簧,减去一半后减去一半后,倔倔强系数是多少强系数是多少?6-2

9、6-2 简谐振动的描述简谐振动的描述简谐振动的描述简谐振动的描述 !15 振幅振幅A和初相和初相 由由初始条件初始条件(即即t=0时刻物体的运时刻物体的运动状态动状态)来确定：来确定：x=Acos(t+)=-Asin(t+)o=-Asin 当当t=0时，时，xo=Acos (6-16)(6-17)16 例题例题6-1 一质点沿一质点沿x轴作谐振动，周期轴作谐振动，周期T=s,t=0时，时，求振动方程。求振动方程。解：解：+代入：代入：x=Acos(t+)17 例题例题6-2 有一轻弹簧，当下端挂一个质量有一轻弹簧，当下端挂一个质量m1=80g的的物体而平衡时，伸长量为物体而平衡时，伸长量为4.

10、9cm。用这个弹簧和质量。用这个弹簧和质量m2=40g的物体组成一弹簧振子。若取平衡位置为原的物体组成一弹簧振子。若取平衡位置为原点，向上为点，向上为x轴的正方向。将轴的正方向。将m2从平衡位置向下拉从平衡位置向下拉2cm后，给予向上的初速度后，给予向上的初速度 o=10cm/s并开始计时，并开始计时，试求振动方程。试求振动方程。解：由解：由 m1g=k x,得得t=0时时,xo=-2cm,o=10cm/s=xo oxot=0图6-6m18=radt=0时时,xo=-2cm,o=10cm/s应取：应取：=+=3.38(rad)所求振动方程为所求振动方程为 x=2.06cos(20t+3.38)

11、cm把把 A=2.06cm,=20,=3.38 代入代入 x=Acos(t+)xo oxot=0图6-6m19 例题例题6-3 如图，有一光滑水平面上的弹簧振子，弹如图，有一光滑水平面上的弹簧振子，弹簧的倔强系数簧的倔强系数k=24N/m,物体的质量物体的质量m=6kg,静止在平静止在平衡位置。设以一水平恒力衡位置。设以一水平恒力F=10N向左作用于物体，使向左作用于物体，使之由平衡位置向左运动了之由平衡位置向左运动了s=0.05m,此时撤去外力此时撤去外力F。取物体运动到左方最远处开始计时，求：取物体运动到左方最远处开始计时，求：(1)物体的物体的运动方程运动方程;(2)何处何处Ek=Ep?

12、解解 (1)A =x=0.204cos(2 t+)m振动能量来源于外力的功振动能量来源于外力的功:smFkxo图6-720(2)何处何处Ek=Ep?(A=0.204)smFkxo图6-721 例题例题6-4 在一竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量在一竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量m=100g的物体的物体,当物体处于平衡状态时当物体处于平衡状态时,再对物体加再对物体加一拉力使弹簧伸长一拉力使弹簧伸长,然后从静止状态将物体释放。然后从静止状态将物体释放。已知物体在已知物体在32s内完成内完成48次振动，振幅为次振动，振幅为5cm。(1)上述的外加拉力是多大？上述的外加拉力是多大？(2)当物体在平衡位当物体

13、在平衡位置以下置以下1cm处时，此振动系统的动能和势能各为多处时，此振动系统的动能和势能各为多少？少？解解 (1)xomlo(原长原长)(平衡位置平衡位置)图6-8 设物体在平衡位置时弹簧伸设物体在平衡位置时弹簧伸长长lo，有有 mg=klo22 加拉力加拉力F后的平衡条件：后的平衡条件：F+mg=k(lo+A)F=kAFmgAxomlo(原长原长)(平衡位置平衡位置)图6-8 知弹簧此时又伸长知弹簧此时又伸长x=A加拉力加拉力F后将物体后将物体静止静止释放释放,此时弹簧又伸长多少此时弹簧又伸长多少?mg=klo,m=100g,A=5cm=5cm。F?23 (2)当物体在平衡位置以下当物体在平

14、衡位置以下1cm处时，此振动系统处时，此振动系统的动能和势能各为多少？的动能和势能各为多少？总能总能:=4.4410-4J势能势能:=1.1110-2J动能动能:Ek=E-Ep=1.0710-2Jxomlo(原长原长)(平衡位置平衡位置)Amg=klo,m=100g,A=5cm24oM=A负最大负最大 ()平衡位置平衡位置(+/2)平衡位置平衡位置(-/2)矢量矢量oM绕绕o点以角速点以角速度度 作作逆时针逆时针的的匀速匀速转转动动,端点端点M在在x轴上的投轴上的投影点影点(p点点)的位移：的位移：x=Acos(t+)显然，显然，p点的运动就点的运动就是简谐振动。是简谐振动。矢量矢量oM与与x

15、轴正方向轴正方向间的夹角：间的夹角：(t+)相相正最大正最大 (0)x=Acos(t+)=-Asin(t+)MA图6-9ox oM转一圈转一圈,就是谐振就是谐振动的一个周期动的一个周期T。(t+)px25ox例题例题6-5 求简谐振动质点的初相求简谐振动质点的初相 。(1)t=0时，时，xo=-A,=。(2)t=0时，质点经过平衡时，质点经过平衡位置正向位置正向x轴正方向运动轴正方向运动,则则 =3/2(或或-/2)。(3)t=0时，时，xo=A/2，质点，质点正向正向x轴负方向运动轴负方向运动,则则 =xo=Acos (4)t=0时，时，质质点正向点正向x轴正方向运动轴正方向运动,则则 =/

16、3。A平衡位置平衡位置5/45/4。/326 例题例题6-6 一质量一质量m=9kg质点质点,在力在力 (N)的作用下沿的作用下沿x轴运动。当轴运动。当t=0，xo=0;t=1s,=-2m/s,求求运动方程。运动方程。解解 质点受弹性恢复力的作用，故作简谐振动。质点受弹性恢复力的作用，故作简谐振动。由由知知要想直接用下述公式求要想直接用下述公式求A、是困难的：是困难的：,T=12s。27于是：于是：t=1,最后得：最后得：由由t=0,xo=0，知知 =/2；又因又因T=12s,t=1s,=-20,所以所以 =+/2。我们可利用旋转矢量先求出初相。我们可利用旋转矢量先求出初相。已知已知:t=0，

17、xo=0;t=1s,=-2m/s28 例题例题6-7 一轻弹簧在一轻弹簧在60N的拉力下伸长的拉力下伸长30cm。在弹簧在弹簧的下端的下端悬挂悬挂m=4kg的物体并使之静止，再把物体向下拉的物体并使之静止，再把物体向下拉10cm，然后由静止释放并开始计时，求，然后由静止释放并开始计时，求:(1)物体的振物体的振动方程动方程;(2)物体在平衡位置上方物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉时弹簧对物体的拉力力;(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方方5cm处所需要的最短时间。处所需要的最短时间。解解：由：由 F=k x,得得:(1)t=0时时

18、,xo=-0.1m,o=0=xoxot=0图6-10m,=20029(2)物体在平衡位置上方物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力时弹簧对物体的拉力;所以平衡时弹簧的伸长量：所以平衡时弹簧的伸长量：lo弹簧对物体的拉力弹簧对物体的拉力:F=k(lo-0.05)(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方上方5cm处所需要的最短时间。处所需要的最短时间。A=10cm,平衡条件平衡条件:A23 xoxot=0图6-10mxt=030 例题例题6-8 一质点作简谐振动，一质点作简谐振动，T=2s,A=0.12m,t=0时，时，xo=0.06m,向向x

19、轴正方向运动，求：轴正方向运动，求：(1)振动方程；振动方程；(2)t=0.5s时的速度和加速度；时的速度和加速度；(3)在在x=-0.06m,且向且向x轴负方向运动时刻的速度和加轴负方向运动时刻的速度和加速度速度;(4)从从x=-0.06m,且向且向x轴负方向运动时刻回到平衡位轴负方向运动时刻回到平衡位置所需的最短时间。置所需的最短时间。解解 (1)x=0.12cos(t )m(2)(m/s)-1.03(m/s2)t=0.5t=0.531 (3)在在x=-0.06m,且向且向x轴负方向运动时刻的速度和加轴负方向运动时刻的速度和加速度速度:ox将相位代入得：将相位代入得：=-0.33(m/s)

20、=0.59(m/s2)。关键是找出相位：关键是找出相位：32 (4)从从x=-0.06m,且向且向x轴负方向运动时刻回到平衡位轴负方向运动时刻回到平衡位置所需的最短时间：置所需的最短时间：旋转矢量转过的角度：旋转矢量转过的角度：旋转矢量转动的角速度：旋转矢量转动的角速度：=旋转矢量转动过程所用的时间：旋转矢量转动过程所用的时间：这就是谐振动质点从这就是谐振动质点从x=-0.06m,且向且向x轴负方向运动时轴负方向运动时刻回到平衡位置所需的最短时间。刻回到平衡位置所需的最短时间。x=0.12cos(t )mox33 例题例题6-9 一质点一质点 在在x轴上作简谐振动轴上作简谐振动,t=0时该质点

21、正时该质点正通过通过A点并向右运动，经过点并向右运动，经过2s质点第一次通过质点第一次通过B点，再点，再经过经过2s质点第二次通过质点第二次通过B点，若质点在点，若质点在A、B两点的速两点的速率相同，且率相同，且AB=10cm，求质点的振动方程。，求质点的振动方程。解解 由于由于 A、B两点的速率相同，两点的速率相同，所以坐标原点应在所以坐标原点应在AB的中点，因的中点，因为只有对坐标原点为只有对坐标原点o对称的两点速对称的两点速率才是相同的。率才是相同的。因因t=0时，质点正通过时，质点正通过A点并点并向右运动，所以向右运动，所以t=0时的旋转矢时的旋转矢量应在第三象限。量应在第三象限。t=

22、0t=2t=4 从从t=0开始，经过开始，经过2s质点第一次通过质点第一次通过B点，点，再经过再经过2s质点第二次通过质点第二次通过B点。点。由旋转矢量图可由旋转矢量图可知，周期知，周期T=8s。BxA.o34 由于周期由于周期T=8s，所以从，所以从t=0到到t=2s，旋转矢量应转过，旋转矢量应转过90。可见，可见，t=0时的旋转矢量与时的旋转矢量与y轴轴负方向成负方向成45。由图可知，初相由图可知，初相 =5/4。因因OA=5cm,由等腰直角三由等腰直角三角形角形OAC可求出振幅：可求出振幅：振动方程为振动方程为45BAxt=0t=2t=4CoA35(t )moxt=01x(m)ot(s)

23、0.836()cmox,t=2/363t=02x(cm)ot(s)6337oxt=0 x=8cos()cm/4,t=11x(cm)ot(s)8t=0,38 m=A=,Aoxx=cos()m2 (m/s)ot(s)2t=0,t=05 639 前面已指出，角频率前面已指出，角频率 和周期和周期T由由谐振系统确定。谐振系统确定。那么，给定谐振系统后又如何确定那么，给定谐振系统后又如何确定 和和T？方法是利用谐振动的运动学特性方法是利用谐振动的运动学特性(动力学方程动力学方程)：若能找出若能找出a与与x(或或 与与)之间的关系，角频率之间的关系，角频率 就就等于上式中等于上式中x(或或)的系数的平方根

24、。而周期的系数的平方根。而周期对转动对转动：6-3 6-3 简谐振动周期的确定简谐振动周期的确定简谐振动周期的确定简谐振动周期的确定40 例题例题6-10 一光滑斜面上的弹簧振子，已知一光滑斜面上的弹簧振子，已知m,k,证明它作谐振动，并求出周期。证明它作谐振动，并求出周期。解解 (1)找出平衡位置找出平衡位置:(2)将物体将物体m对平衡位置位移对平衡位置位移x；(3)沿斜面方向应用牛二定律：沿斜面方向应用牛二定律：mgsin -k(x+xo)=ma -kx=ma比较：比较：是谐振动。是谐振动。(T与倾角与倾角 无关无关)ox建立坐标；建立坐标；mgsin =kxo，xok图6-11m mx4

25、1 例题例题6-11 一正方体形木块在水面上作谐振动，吃水一正方体形木块在水面上作谐振动，吃水深度为深度为h(水面下的木块高度水面下的木块高度)，求振动周期，求振动周期T=？解解 设木块的质量为设木块的质量为m、边长为、边长为b,则平衡条件为则平衡条件为 mg=水gb2h建立图示坐标，建立图示坐标，由牛二定律有由牛二定律有令木块位移令木块位移x,水gb2(h-x)-mg=ma即即 -水gb2x=ma比较：比较：a=-2xox图6-12hx42 例题例题6-12 求图示圆盘、弹簧系统的振动周期求图示圆盘、弹簧系统的振动周期,图图中中k、J、R、m为已知。为已知。解解 平衡条件平衡条件:kxo=m

26、g，ox令令m位移位移x,则则mg-T1=maT1 R-T2R=J T2=k(xo+x)a=R 解得解得：比较：比较：a=-2xmT1图6-13RJkT243 例题例题6-13 角谐振动角谐振动 刚体在竖直面内作刚体在竖直面内作微小微小振动振动,设刚体的质量为设刚体的质量为m、转动惯量为、转动惯量为J、质心到转轴的距、质心到转轴的距离为离为hc，求振动周期。，求振动周期。解解 由由M=J ,有有-mghcsin =J 当当 很小很小(5)时时,sin ,于是于是比较比较：图6-14hcoCmg44当当 5时，时，细棒细棒oloT=?如：单摆如：单摆l45简简简简谐振动的合成谐振动的合成分振动：

27、分振动：x1=A1cos(t+1)x2=A2cos(t+2)合振动：合振动：x=x1+x2=A1cos(t+1)+A2cos(t+2)利用三角公式或旋转矢量可求得合振动利用三角公式或旋转矢量可求得合振动:x=x1+x2=Acos(t+)(1)可见，合振动仍是同频率的谐振动。可见，合振动仍是同频率的谐振动。(2)合振动的振幅和初相合振动的振幅和初相,用旋转矢量求得用旋转矢量求得:6-4 6-4 简谐振动的合成简谐振动的合成简谐振动的合成简谐振动的合成46 由余弦定理，合振动的振幅为由余弦定理，合振动的振幅为(6-26)合振动的初相：合振动的初相：M1A1 1 1MA2xoA A2 2 2M2x=

28、x1+x2=Acos(t+)x1=A1cos(t+1)x2=A2cos(t+2)(2-2-1 1)图6-15(2-2-1 1)2 2A1cos 1A2cos 2A1sin 1A2sin 2(6-25)47 (3)合振动的强弱合振动的强弱,取决于两分振动的相位差：取决于两分振动的相位差：=2-1=2k ,k=0,1,2,A=A1+A2,加强加强=(2k+1),k=0,1,2,A=|A1-A2|,减弱减弱.=x1=A1cos(t+1)x2=A2cos(t+2)x=x1+x2=Acos(t+)48 解解 合振动方程合振动方程：x=Acos(t+)例题例题6-14 设分振动：设分振动：x1=0.3co

29、s(t+)cm,x2=0.4cos(t+)cm，求合振动方程。求合振动方程。方法一方法一:旋转矢量旋转矢量x0.40.3A =-合振动方程合振动方程：x=0.5cos(t+2.5)cm49=-=-合振动方程合振动方程：x=0.5cos(t+2.5)cm已知：已知：A1=0.3,A2=0.4,1=/2,2=x0.4 A-36.860.3方法二方法二:公式法公式法 x1=0.3cos(t+)cm x2=0.4cos(t+)cm 50例题例题6-15 设分振动：设分振动：x1=0.4cos(2 t+/3)cm,x2=0.6cos(2 t-2/3)cm，求合振动方程。求合振动方程。=/3 解解 已知：

30、已知：A1=0.4,A2=0.6,1=/3,2=-2/3xx1/3x2-2/3+=5/3=-2/3x1与与x2是反相的！是反相的！合振动方程合振动方程：x=0.2cos(2 t-2/3)cm51 例题例题6-16 t=0时，时，x1 和和 x2的的振动曲线如图所示，振动曲线如图所示，求合振动方程。求合振动方程。解解 由图由图12-16可知，可知，x1与与x2是反相的。因而是反相的。因而 合振幅合振幅:A=0.12-0.08=0.04;合振动的初相合振动的初相:=-/2(振幅大的分振动的初相振幅大的分振动的初相)合振动的角频率：合振动的角频率：=2/T=合振动方程合振动方程：x=0.04cos(

31、t-/2)mx2x(m)t(s)x10.120.08o图6-16152 例题例题6-17 两个同方向、同频率的谐振动合成后，合两个同方向、同频率的谐振动合成后，合振幅振幅A=20cm,合振动与第一个振动的相差为合振动与第一个振动的相差为 /6,A1=17.3cm,求：求：(1)A2=?(2)两两振动的相差振动的相差(2-1)=?A1=17.3 1 1A=20 /6A2xo图6-17=10cm 此题宜用旋转矢量法求解。此题宜用旋转矢量法求解。由图由图6-17,用余弦定理得：用余弦定理得：A2 2 2 解解 直接用下述公式是无法求解的：直接用下述公式是无法求解的：53用正弦定理有：用正弦定理有：因

32、因A=20,A2=10,由上式由上式可求出：可求出：(2-2-1 1)A1=17.3 1 1A=20 /6A2xo图6-17A2 2 254简简简简谐振动的合成谐振动的合成分振动：分振动：x1=Acos(1 t+)x2=Acos(2t+)，且且 1 与与 2相差很小。相差很小。合振动：合振动：x=x1+x2=由于由于 1 与与 2相差很小相差很小,故故 1-2比比 1+2小得多小得多;即即比比 的周期长得多的周期长得多！所以，合振动可近似看作是一个振幅缓慢变化的谐所以，合振动可近似看作是一个振幅缓慢变化的谐振动振动拍拍:55显然，拍频显然，拍频(振幅振幅Ao的变化频率的变化频率)为为 拍拍 =

33、2-1 (6-31)xt图6-1856 实际的振动不一定是实际的振动不一定是简简简简谐振动，但不管它多么复谐振动，但不管它多么复杂，总可以分解为许多杂，总可以分解为许多简简简简谐振动的叠加。谐振动的叠加。利用傅里叶变换，我们可以求出实际振动的利用傅里叶变换，我们可以求出实际振动的频谱频谱。这是信号分析、处理和数字化的基础。这是信号分析、处理和数字化的基础。6-5 6-5 垂直谐振动的合成垂直谐振动的合成 x=A1cos(t+1)y=A2cos(t+2)从上两式中消去从上两式中消去t,就得到合振动的轨迹方程为就得到合振动的轨迹方程为(6-34)在一般情况下在一般情况下,这是一个椭圆方程。这是一个

34、椭圆方程。57(6-34)(1)当当 2-1=0时，式时，式(6-34)退化为一直线：退化为一直线：xy合振动仍为谐振动合振动仍为谐振动:xy合振动仍为谐振动合振动仍为谐振动:(2)当当 2-1=时，式时，式(6-34)也退化为一直线：也退化为一直线：58xy 2-1=/2xy 2-1=-/2 (3)当当 2-1=/2时，式时，式(6-34)为一为一椭圆椭圆：合振动不再是谐振动。合振动不再是谐振动。李萨如图形李萨如图形P224-225(自学自学)(6-34)左旋左旋右旋右旋59系统受力：弹性力系统受力：弹性力-kx；阻尼力阻尼力周期性驱动力周期性驱动力 f=Focos t动力学方程：动力学方程

35、：令令6-6 6-6 阻尼振动阻尼振动阻尼振动阻尼振动(自学自学)6-7 6-7 受迫振动受迫振动受迫振动受迫振动 共振共振共振共振60该微分方程的解为该微分方程的解为 可可以以看看出出,此此等等幅幅振振动动的的频频率率 就就是是驱驱动动力力的的频频率率,其其振幅和初相为振幅和初相为 上上式式表表明明,受受迫迫振振动动可可以以看看成成是是两两个个振振动动合合成成的的。第第一一项项表表示示的的是是减减幅幅振振动动。经经过过一一段段时时间间后后,这这一一分分振振动动就就减减弱弱到到可可以以忽忽略略不不计计了了。而而第第二二项项表表示示的的是是受受迫迫振振动达到稳定状态时的等幅振动。因此动达到稳定状

36、态时的等幅振动。因此,稳态解为稳态解为 x=Acos(t+)61(6-50)(6-51)稳态时稳态时,速度速度(6-52)(6-53)x=Acos(t+)62由求极值可知由求极值可知,m有有最大值最大值的条件是的条件是此时此时驱动力驱动力 f=Focos t不合理不合理,舍去舍去)63通过对通过对A求极值可知求极值可知,A有有最大值的条件是最大值的条件是(6-54)由此可见由此可见,当驱动力的频率等于振子的固有频率时当驱动力的频率等于振子的固有频率时,驱动力将与振子速度始终保持同相驱动力将与振子速度始终保持同相,驱动力始终给振驱动力始终给振子提供能量子提供能量,从而使振子获得从而使振子获得最大

37、速度最大速度速度共振速度共振。因此因此,仅当驱动力的频率小于振子的固有频率仅当驱动力的频率小于振子的固有频率,并并满足式满足式(6-54)时时,振子的位移振子的位移振幅振幅才具有才具有最大最大值值位位移共振移共振。64lTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2

38、B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXm

39、UjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1zs!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0

40、y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRf

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42、)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkT

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44、*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQ

45、fNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(

46、u%rZoWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRg

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49、dMaI7F3C0z)voXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t

50、!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkShPdMaI