等差数列的概念（第2课时）教案- 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.docx

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1、4.2.1等差数列的性质及其应用【学习目标】课程标准学科素养1.能根据等差数列的定义推出等差数列的性质2.能运用等差数列的性质解决有关问题1、数学抽象2、数学运算【自主学习】1 等差数列的性质(1)通项公式的推广：(2)若an为等差数列，且mnpq (m, n, p,qN*)，则；特别地，若,则 .(3)等差数列的项的对称性.在有穷等差数列中,与首、末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和,即a1+an=a2+ =a3+ =【思考】(1)等差数列的性质“若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则am+an=ap+aq”反过来成立吗?(2)对于任意等差数列an,a1+a3+a4=a2+a6是

2、否成立?2. 由等差数列衍生的新数列若an,bn分别是公差为的等差数列,则有数列名称a2n, a2n-1公差为 的等差数列公差为的等差数列(k,mN*)c+an公差为的等差数列(c为任意常数)can公差为的等差数列(c为任意常数)an+an+k 公差为的等差数列pan+qbn公差为的等差数列(p,q为常数)【小试牛刀】1.在等差数列an中,若a2=1,a6=-1,则a4=()A.-1B.1 C.0 D.-122.在等差数列an中,若a2+a8=10,则(a4+a6)2-2a5=()A.100 B.90 C.95 D.203.已知数列an是等差数列,若a1+a7=-8,a2=2,则数列an的公差

3、d= .4.已知数列an为等差数列,若a1+a2+a3=3,a7+a8+a9=9,则a4+a5+a6= .【经典例题】题型一等差数列性质的应用例1 (1)等差数列中，已知，求（ ）A11B22C33D44(2) 在等差数列an中,若a2与a4是方程x2-4x+3=0的两根,则a1+a2+a3+a4+a5= .【跟踪训练】1 (1)已知等差数列an的公差为d(d0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m= .(2)如果等差数列log2an满足log2a1+log2a2+log2a10=10,那么 .题型二等差数列中对称设项法的应用例2 已知三个数组成等差数列,首、末两项之积为中间

4、项的5倍,后两项的和为第一项的8倍,求这三个数.【跟踪训练】2 已知四个数组成递增的等差数列,中间两数的和为2,首、末两项的积为-8,求这四个数.题型三等差数列的应用例3：课本P16例3：某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定的取值范围.【当堂达标】1.在等差数列an中,若a4=2,a8=14,则a15=()A.32B.-32C.35D.-352.在等差数列an中,若a4+a5=15,a7=12,则a2=()A.3 B

5、.-3C.32 D.-323. 数列an满足的值是 （ ）A. -2 C.2 D.4.我国古代有一道数学问题:今有金锤,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,中间三尺重几何?意思是:现有一根金锤,长5尺,头部1尺,质量为4斤,尾部1尺,质量为2斤,且从头到尾,每一尺的质量构成等差数列(注:尺、斤为我国古代计量单位,1米=3尺,1千克=2斤),则中间三尺的质量一共为()A.6斤 B.7斤 C.8斤 D.9斤5.在等差数列 an 中,若a1,a1 021为方程 x2-10x+16=0的两根,则a2+a511+a1 020= .6.设公差为-2的等差数列an,如果a1+a4+a7+a97=50

6、,那么a3+a6+a9+a99= .7.已知数列an是等差数列,且公差为(1)若(2)若8.(拔高题)已知等差数列an的首项a1=2，公差，在an中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列bn.(1)求数列bn的通项公式.(2)是不是数列an的项？若是，它是an的第几项？若不是，说明理由.【参考答案】【小试牛刀】1、解析:因为2a4=a2+a6=1-1=0,所以a4=0.2、解析:因为数列an为等差数列,所以a2+a8=a4+a6=2a5=10,所以(a4+a6)2-2a5=102-10=90.3、解析:由等差数列的性质,知2a4=a1+a7=-8,所以a4=-4

7、.又因为a4=a2+2d,a2=2,所以d=-3.4、解析:因为数列an为等差数列,所以a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是等差数列,所以a4+a5+a6是a1+a2+a3与a7+a8+a9的等差中项,根据题中条件可得a4+a5+a6=6.【经典例题】【例1】（1）【答案】B【分析】根据，利用等差数列的性质求得和的值，然后由求解.【详解】等差数列中，故选：B.（2）解析:因为a2与a4是方程x2-4x+3=0的两根,所以 a2+a4=4=a1+a5=2a3,所以a1+a2+a3+a4+a5=10.【跟踪训练】1（1）解析:因为a3+a6+a10+a13=4a8=32,所以a8

8、=8,所以m=8.(2)解析:因为log2an为等差数列,所以log2a1+log2a2+log2a10=5(log2a1+log2a10).因为log2a1+log2a2+log2a10=10,所以log2a1+log2a10=2,所以log2(a1a10)=2,所以a1a10=22=4.【例2】【跟踪训练】2解:设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d.依题意,得2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d 2=-8,所以d2=1,所以d=1或d=-1.又因为四个数组成递增的等差数列,所以d0,所以d=1,故所求的四个数分别为-2,0,2,4.【当堂达标】1、

9、解析:由a8-a4=14-2=4d,得d=3,所以a15=a8+(15-8)d=14+73=35.2、 解析:由数列的性质,得a4+a5=a2+a7,所以a2=15-12=3.3、 C4、解析:原问题等价于等差数列中,已知a1=4,a5=2,求a2+a3+a4的值.由等差数列的性质,可知a2+a4=a1+a5=6,a3=a1+a52=3,所以a2+a3+a4=9,即中间三尺的质量一共为9斤.答案:D5、解析:因为a1,a1 021 为方程 x2-10x+16=0 的两根,所以a1+a1 021=10.由等差数列的性质,得a2+a1 020=a1+a1 021=10,2a511=10,即a511=5,所以a2+a511+a1 020=15.6、a3+a6+a9+a99=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+(a97+2d)=(a1+a4+a97)+2d33=50+2(-2)33=-82.7学科网（北京）股份有限公司