2017-2018学年河南省天一大联考高二下学期阶段性测试(三)数学理试题(解析版)(共14页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上天一大联考20172018学年高二年级阶段性测试(三)数学(理科)第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若的实部与虚部相等，则实数（ ）A. -2 B. C. 2 D. 3【答案】B【解析】分析：首先将所给的复数利用四则运算法则进行计算，然后结合实部虚部的表达形式得到关于实数a的方程，解方程即可求得实数a的值.详解：由题意可得：，该复数的实部与虚部相等，则：，求解关于实数a的方程可得：.本题选择B选项.点睛：复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式)

2、.由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.2. 对于小于41的自然数，积等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：利用排列数、组合数公式逐项写出所给算式的表达形式，结合题意选择符合题意的选项即可.详解：由排列数公式可知：，；本题选择A选项.点睛：排列数、组合数公式是高中的基础公式，熟练掌握：(1)排列数公式；(2)组合数公式，这是正确计算的关键3. 若 (为虚数单位)，则使的值可能是（ ）A. 0 B. C. D. 【答案】B【解析】分析：首先计算的结果，结合所得的结果分别令实部、虚部相等，得到关于的三角方程，求解三角方程即可

3、求得的值.详解：由题意可得：，结合可得：，对比选项可知：.本题选择B选项.点睛：复数的基本概念和复数相等的充要条件是复数内容的基础，高考中常常与复数的运算相结合进行考查，一般属于简单题范畴.4. 若函数有极大值点和极小值点，则导函数的大致图象可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：首先确定所给函数的导函数为是，然后结合函数的极值确定函数的单调性，由函数的单调性即可确定函数的大致图象.详解：三次函数的导函数为二次函数，其图象与轴有两个交点，结合函数的极值可知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增；则导函数在区间上为正数，在区间上为负数，在区间上为正数；观察所

4、给的函数图象可知，只有C选项符合题意.本题选择C选项.点睛：(1)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值5. 用反证法证明命题“等腰三角形的底角必是锐角”,下列假设正确的是（ ）A. 等腰三角形的顶角不是锐角 B. 等腰三角形的底角为直角C. 等腰三角形的底角为钝角 D. 等腰三角形的底角为直角或钝角【答案】D【解析】分析：反证法的假设需要写出命题的反面，结合题意写出所给命题的反面即可.详解：反证法的假设需要写出命题的反

5、面.“底角必是锐角”的反面是“底角不是锐角”，即底角为直角或钝角.本题选择D选项.点睛：应用反证法证题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法所谓矛盾主要指：与已知条件矛盾；与假设矛盾；与定义、公理、定理矛盾；与公认的简单事实矛盾；自相矛盾.6. 某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选的不同选法有16种，则小组中的女生人数为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】A【解析】分析：设有女生x人，结合题意得到关于女生人数的组合方程，求解关于x的方程即可确定女生人数.详解：设

6、有女生x人，则有男生6-x人，于是有，即（6-x)（5-x)（4-x)=24，整理可得：，解得x=2.本题选择A选项.点睛：组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解7. 观察下面的三个图形，根据前两个图形的规律，可知第三个图中（ ）A. 9 B. 60 C. 120 D. 100【答案】D【解析】分析：由题意，观察分析前两个圆中内部数据和外部数据的关系，归纳出数据的特点，然后求解实

7、数的值即可.详解：由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的算术平方根的和：，据此可得：.解得：，所以“x”处该填的数字是100.本题选择D选项.点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法8. 在的展开式中，称为项的次数，则所有次数为3的项的系数之和为（ ）A. 45 B. 60C. 120 D. 210【答案】C【解析】分析：由题意结合次数的定义和二项式定理展开式定理得到所有次数为3的项的系数的表达式，然后结合组合数计算公式即可求得系数的值.详解：由条件

8、得，次数为3的项有，这些项的系数和为.本题选择C选项.点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解9. 函数在上存在导数，若，则必有（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由题意结合不等式的性质确定导函数的符号，结合导函数的符号即可确定函数的单调性，最后，利用单调性即可确定题中

9、不等式的符号.详解：，则x1时；x1时.故f(x)在上为增函数或常数函数，在上为减函数或常数函数.故，即f(0)+f(2)2f(1).本题选择A选项.点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.10. 在某种信息的传输过程中，用6个数字的一个排列数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息至多有三个对应位置上的数字相同的信息个数为（ ）A. 22 B. 32 C. 42 D. 61【答案】C【解析】分析：由题意，分

10、类讨论可知0个、1个、2个和3个对应位置的数字相同，结合组合数公式和加法原理即可求得最终结果.详解：至多有三个对应位置相同，包含0个、1个、2个和3个，即与信息至多有三个对应位置上的数字相同的信息个数为：.本题选择C选项.点睛：解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)11. 老师和甲、乙两名同学都知道桌上有6张扑克牌：红桃3、红桃6、黑桃5、黑桃A、方块10、梅花6.老师从中挑选一张,将这张牌的花色告诉甲同学,将牌上的点数告诉乙同学.随后发

11、生了下面一段对话：甲：“我不知道这张牌是什么.”乙：“我本来也不知道这张牌是什么，但是听了你说的话，我就知道了.”甲：“现在我也知道了.”根据他们的对话,这张牌是A. 红桃3 B. 红桃6 C. 黑桃 D. 梅花6【答案】B【解析】分析：由题意首先分析甲的说法，然后结合甲的说法分析乙的说法，据此即可确定老师挑选的牌面.详解：一开始，甲仅凭花色无法判断这张牌是什么，说明这张牌的花色在6张牌里不是唯一的，可能是红桃或黑桃；乙仅凭数字无法判断这张牌是什么，说明这张牌的数字也不是唯一的，只能是6，结合甲的话，乙就知道了这张牌是红桃6，甲根据乙的话也就知道答案了.所以这张牌是红桃6.本题选择B选项.点睛

12、：虽然合情推理所得的结果具有偶然性，但也不是完全凭空想象，它是根据一定的知识和方法作出的探索性的判断，经历观察、试验、猜想、证明等数学活动即可得出正确合理的结论.12. 已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：首先求得导函数，由原函数单调递增求得函数的单调递增区间，结合题意将原问题转化为子区间的问题，得到关于m的不等式组，求解不等式组即可求得实数m的取值范围.详解：因为，令可得-2x2，所以要使函数f(x）在区间上单调递增，则区间（2m，m+1）是区间（-2，2）的子区间，所以，求解不等式组可得：，据此可得：-1m0，所以s=t2+

13、bt+1在时单调递增，所以该质点的瞬时速度的最小值为 .点睛：导数的几何意义为切线的斜率，曲线中切线斜率的物理意义为瞬时速度，据此结合函数的单调性即可确定速度的最小值，注意转化思想的应用.16. 图中共有_个矩形.【答案】45【解析】分析：结合图形进行分类，利用排列组合的性质求解每类中矩形的个数，然后利用加法原理即可求得图中矩形的个数.详解：如图所示，由排列组合知识可知，在矩形中，含有矩形的个数为，在矩形中，含有矩形的个数为，除去上面考虑过的情况，在矩形中，含有矩形的个数为，在矩形中，含有矩形的个数为，综上可得：图中矩形的个数为：.(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配在分组时，通常有三

14、种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 设复数 （其中).（）若复数为纯虚数，求的值；（）若复数在复平面内对应的点在第二或第四象限，求实数的取值范围.【答案】（）；（）的取值范围是.【解析】分析：()复数为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，据此可得：，解得；()由题意可知实部虚部符号相反，据此得到关于实数a的不等式组，求解不等式组可得实数的取值范围是.详解：（）因为复数为纯虚数，所以所以.（）因为对应的点在第二或第四象限，所以或解不等式组得或，即的取值范围是.点睛：这个题目考查了复数

15、问题，复数分为虚数和实数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，需要注意的是已知数的性质求参时，会出增根，比如纯虚数，既要求实部为0，也要求虚部不为0.18. 已知二项式（）若，展开式中含项的系数为960，求的值；（）若展开式中各项系数和为，且，求展开式的所有二项式系数之和.【答案】（）2；（）32【解析】分析：（）由题意结合二项式展开式的通项公式可得，据此计算可得；（）由题意可得,据此可得，,则二项式系数之和为.详解：（）的展开式通项为，令，得，解得（）因为展开式中各项系数和为，所以,故或或，又因为，所以，,所以展开式的所有二项式系数之和为.点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成

16、：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项19. 是否存在正整数，使得对任意正整数都能被36整除？若存在，求出的最小值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由.【答案】答案见解析【解析】分析：由题意计算可得，.猜想最小的正整数的值为9，即.用数学归纳法讨论可知成立，假设时成立，可证得时成立，即可证得猜想成立.详解：由，得，.要使得对都能被36整除，最小的正整数的值为9，由此猜想最小的正整数的值为9，即.下面用数学

17、归纳法证明：（1）当时，显然成立.（2）假设时，能被36整除，即能被36整除.当时，由于是2的倍数，故能被36整除.这就是说，当时，也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数都有能被36整除，的最小值为9.点睛：1数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据2在用数学归纳法证明时，第(1)步验算nn0的n0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值第(2)步，证明nk1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法.20. 某商场根据销售某种商品的经验发现,该商品

18、每日的销售量 (单位：千克)与销售价格 (单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为5元/干克时，每日可售出该商品11千克.（）求的值；（）若该商品的成本为3元/千克，则销售价格为多少时，商场每日销售该商品所获得的利润最大？【答案】（）2；（）当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.【解析】试题分析：（）由题意可得时，代入函数解析式可得的值；（） 根据利润等于销量乘以销售价格与成本的差，列函数关系式（三次函数），利用导数研究函数单调性变化规律，确定函数最值.试题解析：解：（）因为时，所以，故（）由（）可知，该商品每日的销售量所以商场每日销售该商品所获得的利润

19、为从而于是，当变化时，的变化情况如下表：由上表可得，是函数在区间内的极大值点，也是最大值点.所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于42答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.视频21. 对于函数，设是函数的导数是的导数，若方有实数解，则称点为函数的“拐点”.（）证明：三次函数的拐点是其图象的对称中心(提示：可将函数化为的形式)（）若设，计算的值.【答案】（）见解析；（）4035【解析】分析：（）由题意结合拐点的定义可得的拐点为.据此计算可得的图象可由的图象按向量平移得到，则图象关于点对称.即三次函数的拐点是其图象的对称中心.（）由题意结合()的结论可得的拐点即的对称

20、中心为.据此倒序相加可得.详解：（）对于三次函数，令，得.又，所以的拐点为.因为则的图象可由的图象按向量平移得到，而是奇函数，图象关于点对称，所以图象关于点对称.即三次函数的拐点是其图象的对称中心.（）由题意得，所以，令，得，所以的拐点为点，即的对称中心为.所以，若，则，令则所以，所以，所以，即.点睛：求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和22. 设，其中.（）证明；（）设函数，若在上单调递增，求的值.【答案】（）见解析；（）2【解析】分析：（）构造函数，则，讨论可得的最小值为，故成立.（）构造函数.由题意可得在上恒成立.二次求导可知的最小值为.故.构造函数，则在上递增，在上递减，据此计算可得.详解：（）令，所以，所以在上单调递增，且易知当时，当时，所以的最小值为，所以成立.（）由题意得.则.易知当或时，均有.因为函数在上单调递增，所以在上恒成立.的导函数，令，得，当时，递减；当时，递增.则的最小值为.所以.令，则，则在上递增，在上递减，所以，当且仅当时取等号.所以.专心-专注-专业