高中数学知识点精讲——极限和导数.pdf
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1、1 第十二章极限和导数第十四章极限与导数一、基础知识1极限定义:(1)若数列 un满足,对任意给定的正数,总存在正数m ,当 nm且 nN时,恒有|un-A|f(a) 且 f(c)=m ,则 c(a,b) ,且 f(c)为最大值,故0)( cf,综上得证。14 Lagrange中值 定 理: 若f(x)在 a,b上 连续 , 在 (a,b)上 可 导, 则存 在 (a,b), 使.)()()( abafbff 证明 令 F(x)=f(x)-)()()(axabafbf, 则 F(x) 在a,b上连续,在(a,b) 上可导,且 F(a)=F(b),所以由 13 知存在 (a,b) 使)( F=0
2、,即.)()()( abafbff15 曲线凸性的充分条件: 设函数 f(x) 在开区间 I 内具有二阶导数,( 1) 如果对任意xI,0)( xf,则曲线 y=f(x)在 I 内是下凸的; (2)如果对任意xI,0)( xf, 则 y=f(x)在 I 内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数,下凸函数为凹函数。16琴生不等式:设1, 2, , nR+,1+2+ +n=1。 (1)若f(x) 是 a,b上的凸函数,则x1,x2, ,xna,b有 f(a1x1+a2x2+anxn) a1f(x1)+a2f(x2)+anf(xn). 二、极限1、数列极限 :( 1)公式:limnCC(C 为常数);1l
3、im0pnn(p0) ;01l i m1111nnqqqqq不存在或. ( 2)运算法则:若数列na和nb的极限都存在,则na和nb的和、差、积、商的极限等于na和nb的极限的和、差、积、商. 例题: 将直线1:10lxy、2:0lnxyn、3:0lxnyn(*nN,2n)围成的三角形面积记为nS,则limnnS. 已知p和q是两个不相等的正整数,且2q,则111lim111pqnnn习题: 135(21)lim(21)nnnn. 设 0a0) ;0 1lim1 111xxaaaaa不存在或;0 1lim1 111xxaaaaa不存在或. ( 2)运算法则:若函数( )f x和)(xg的极限都
4、存在, 则函数)(xf和)(xg的和、差、积、商的极限等于)(xf和)(xg的极限的和、差、积、商.习题: 211lim_34xxxx;2241lim()42xxx. 已知22lim7xaxcxbxc,lim5xbxccxa,且0bc,则22limxaxbxccxaxb. 222sinlim(tan)cosxxxx .3、函数的连续性:函数)(xf在0 xx处连续的充要条件是00lim( )()xxf xf x. 习题: 已知函数23 ( 0 ) ( ) (0 )xxf xax在 x=0 处连续,则a. 已知23 , 1( )2 , 1xxf xx,下面结论正确的是()(A)( )f x在1x
5、=处连续(B)(1)5f=5 (C)1lim( )2xf x(D)1lim( )2xf x 若21lim()111xabxx,则常数ba,的值分别为. 三、导数1、导数的概念:( 1)导数的定义:函数( )yf x在0 xx=处的导数/0000()()()limxf xxf xfxx. ( 2)导数的几何意义:曲线( )yf x上点00(,()xf x处的切线的斜率为/0()fx.因此曲线( )yf x在点 ()(,00 xfx)处的切线方程为/000()()()yfxfxxx. ( 3)导数的物理意义:若质点运动的位移函数为S=s(t),则0tt=时质点运动的瞬时速度是0()s t. 例题:
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