网课第六章 定积分.pdf

《网课第六章 定积分.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《网课第六章 定积分.pdf（6页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 第六章第六章 定积分核心知识定积分核心知识 一、一、定积分的概念定积分的概念 1.1.定积分定积分数学定义数学定义 函数( )f x在区间 , a b上的定积分表示： baf x dx 2.2.不定积分与定积分的区别不定积分与定积分的区别 （1）不定积分：求原函数 （2） 定积分： 求 f x与xa，xb及x轴所围图形的面积， 即 baf x dx. 注：定积分的值只与被积函数及积分区间有关 3.3.定积分的几何意义定积分的几何意义 设：函数 f x与xa，xb及x轴所围图形的面积为 A. （1）当 0f x 时（如图一）， baf x dxA （2）当 0f x 时（如图二）， baf x

2、 dxA （3）当 f x既有大于 0 的部分，也有小于 0 的部分时（如图三）： 123baf x dxAAA 图一 图二 图三 4.4.定积分的性质定积分的性质（重点记忆）（重点记忆） （1） baabf x dxf x dx （2） 0aaf x dx （3）1bbaadxdxba （4） bbaakf x dxkf x dx 二、二、 微积分基本公式微积分基本公式 1.1.积分上限函数及其导数积分上限函数及其导数 （1）积分上限函数： xaf x dx或 xaf t dt （2）积分上限函数的导数：（高频考点） （3）如果 xayxf t dt，那么 ( )xxaayxf t dtf

3、t dt xf x 2.2.牛顿莱布尼茨公式：牛顿莱布尼茨公式：（必考考点）（必考考点） bbaaf x dxF xF bF a 注：牛顿莱布尼茨公式求不定积分关键是找原函数. - 三、定积分的计算三、定积分的计算（核心：牛顿莱布尼茨公式） 1.1.定积分的换元积分法定积分的换元积分法（高频高频考点）考点） （1）直接求出原函数，再代积分上下限； （2）用换元必换限（指积分上下限）的方法求解. 2.2.定积分的分部积分法定积分的分部积分法（高频高频考点）考点） 分部积分公式：bbbaaaudvuvvdu 技巧：技巧：先求原函数，再代积分上下限. 3.3.定积分的对称性定积分的对称性（高频考点）

4、（高频考点） 设 f x在区间 , a b上连续，那么： （1）若 f x为奇函数，则 0aaf x dx （2）若 f x为偶函数，则 02aaaf x dxf x dx 4.4.含绝对值的定积分的计算含绝对值的定积分的计算（高频考点）（高频考点） （1）求解方法：根据区间可加性去绝对值再计算. （2）核心公式： ,()bcbaacf x dxf x dxf x dx acb 四四、反常积分反常积分 1.1.无穷区间上的积分（无穷区间上的积分（无穷积分无穷积分） (1)无穷积分的计算 limaaxf x dxF xF xF a limbbxf x dxF xF bF x limlimxxf

5、x dxF xF xF x (2)无穷积分敛散性判断（高频考点）（高频考点） 对无穷积分进行计算， 能算出具体数值则收敛， 反之不收敛 （发散） . 2.2.无界函数的反常积分（无界函数的反常积分（瑕积分瑕积分） （1）瑕积分的计算 当a为瑕点时： 0limbbaaf x dxF xF bF a 当b为瑕点时： 0limbbaaf x dxF xF bF a 当c为瑕点时acb： bcbcbacaacf x dxf x dxf x dxF xF x 00limlimF cF aF bF c （2）瑕积分敛散性判断（高频考点）（高频考点） 对瑕积分进行计算，能计算出具体数值则收敛，反之发散. （

6、3）如何判断瑕点 （技巧）同时满足两个条件： 分式中分母为 0 的点 该点处的极限值为 - 五五、定积分的应用定积分的应用 1.1.定积分求定积分求平面图形的面积（平面图形的面积（X型区域、型区域、Y型区域）型区域）（必考考点）（必考考点） （1）X型区域（如左图）： baSfxfxdx下上 . （2）Y型区域（如右图）： dcSyydy右左 . （3）求解步骤： 画图 求交点 确定被积表达式 计算定积分 2.2. 定积分求定积分求旋转体的体积旋转体的体积 （1）求解思路： 先求出某个截面面积 求截面面积在积分区间上的定积分 （2）重点掌握以下两类 绕x轴旋转（如下图）： 22bbxaaVfx dxfx dx 绕y轴旋转（如下图）：