2020考研数学二真题含答案解析.pdf

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1、化化2020 年全国硕士研究生招生考试数学二试题年全国硕士研究生招生考试数学二试题一、选择题：一、选择题：18 题，每小题题，每小题 4 分，共分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（1）高阶的是时，下列无穷小量中最当 0 x（）A.xtdte0) 1(2B.xdtt03)1ln(C.xdttsin02sinD.xdttcos103sin（2）函数)2)(1(1ln)(11xexexfxx的第二类间断点的个数为（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个（3）dxxxx10)1 (arcsin（）A.42B

2、.82C.4D.8（4）已知函数)0(3),1ln()()(2nfnxxxf时，当（）A.2!nnB.2!nnC.nn)!2( D.nn)!2( （5）关于函数,0,0,0,),(xyyxxyxyyxf给出下列结论：（）; 1)0, 0(xf; 1)0, 0(2yxf; 0),(lim)0, 0(),(yxfyx. 0),(limlim00yxfxy其中正确的个数为（）A.4B.3C.2D.1（6）则上可导，且在区间设函数. 0)()(2 , 2)(xfxfxf（）A.1) 1()2(ffB.eff ) 1()0(C.2) 1() 1 (effD.3) 1()2(eff（7）设 4 阶矩阵)(

3、ijaA 不可逆，12a的代数余子式432112,0，A为矩阵A的列向量组，*A为A的伴随矩阵，则方程组0*xA的通解为（）A.为任意数其中321332211,kkkkkkxB.为任意数其中321432211,kkkkkkxC.为任意数其中321433211,kkkkkkxD.为任意数其中321433221,kkkkkkx化化（8）设A为 3 阶矩阵，21,为A的属于特征值 1 的线性无关的特征向量，3为A的属于特征值-1 的特征向量，则满足1000100011APP的可逆矩阵P可为（）A.),(3231B.),(3221C.),(2331D.),(2321二、填空题：二、填空题：914 小题

4、，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分.请将答案写在横线上请将答案写在横线上.（9）12222,)1ln(1tdxydttytx则设_.（10）13101ydxxdy_.（11）), 0(,)sin(arctandzyxxyz则设_.（12）斜边长为a2的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，记重力加速度为g，水的密度为，则该平板一侧所受的水压力为_.（13） 0)(, 1)0(, 0)0(, 02)(dxxyyyyyyxyy则且满足设_.（14）aaaa011011110110行列式_.三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.解答应写出文字

5、说明、证明过程或验算步骤解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.（15） （本题满分 10 分）求曲线011xxxyxx的斜渐近线方程.（16） （本题满分 10 分）已知函数 xf连续且)(,)()(, 1)(lim100 xgdtxtfxgxxfx求并证明0)(xxg在处连续.化化（17） （本题满分 10 分）求函数xyyxyxf338,的极值.（18） （本题满分 10 分）设函数)(xf的定义域为, 0且满足),(.121)(2222xfxxxxfxxf求并求曲线yyyxfy及，2321),(轴所围图形绕x轴旋转所成转体的体积.（19） （本题满分 10 分）设平面区域D由直线xxy

6、xx与, 2, 1轴围成，计算.22dxdyxyxD化化（20） （本题满分 11 分）设函数.)(12xtdtexf（）;)2()(),2 , 1 (2ef使得证明：存在（）.2ln)2(),2 , 1 (2ef使得证明：存在（21） （本题满分 11 分）设函数)(xf可导，且0)( xf，曲线)0)(xxfy经过坐标原点O,其上任意一点M处的切线与x轴交于MPT 又,垂直x轴与点P.已知由曲线),(xfy 直线MP以及x轴所围图形的面积与MTP的面积之比恒为2:3，求满足上述条件的曲线的方程.化化（22） （本题满分 11 分）设二次型323121232221321222),(xaxxa

7、xxaxxxxxxxf经过可逆线性变换321321yyyPxxx化为二次型.24),(21232221321yyyyyyyyg（）求a的值；（）求可逆矩阵.P（23） （本题满分 11 分）.),(2的特征向量是非零向量且不是其中阶矩阵，为设AAPA（）证明P为可逆矩阵；（）.,0612是否相似于对角矩阵并判断，求若AAPPAA2020 考研数学真题（数学二） 一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上1.当0 x时，下列无穷小量中最高阶的是（） A. 20(1)xtedt B.30ln(1)

8、xt dt C.sin20sinxt dt D.1 cos30sinxtdt解析：本题选 D.考查了无穷小量的阶的比较，同时考查了变上限积分的函数的求导方法、洛必达法则等。用求导定阶法来判断。在0 x时，2220(1)1xtxedtex； 33320ln(1)ln(1)xt dtxx； sin2220sinsin sincosxt dtxxx； 21 cos333302sinsin (1 cos )sin()24xxtdtxxxx x。 2.函数11ln(1)( )(1)(2)xxexf xex的第二类间断点的个数为（ ） A.1B.2C. 3D.4解析：本题选 C.本题考查了间断点的概念与分

9、类、极限的计算。 间断点有1,0,1,2x ，由于 1111ln(1)lim( )lim(1)(2)xxxxexf xex ； 1100ln(1)1lim( )lim(1)(2)2xxxxexf xexe ； 1111ln(1)lim( )lim(1)(2)xxxxexf xex ； 1122ln(1)lim( )lim(1)(2)xxxxexf xex 3. 10arcsin( )(1)xdxxx A. 24B.28C.4D.8解析：本题选 A。本题考查了定积分的计算，主要内容是第二换元积分法。 2arcsin12/22000arcsin2sin cos|.sin cos4(1)x txtd

10、xttdttttxx 4.已知2( )ln(1),f xxx当3n时， (0)( )nfA. !2nn B.!2nn C. 2 !nnD.2 !nn解析：选 A。本题考查了函数在 0 处的高阶导数的计算。有泰勒公式求解： 222211( )ln(1)()()22nnf xxxxxxxo xn ( )( )(0)1!,(0)!22nnfnfnnn 。 5.关于,0,( , ),0,0,xy xyf x yx yy x给出下列结论： （1）(0,0)1fx （2）2(0,0)1fx y （3）,0,0lim( , )0 x yf x y（4）00limlim ( , )0yxf x y其中正确的个

11、数为（ ） A.4B. 3C. 2D. 1解析：本题考查了分块函数在分界线上某点处的偏导数求法，二元函数极限与累次极限等计算。需要用到偏导数的定义式等。 00(0,0)( ,0)(0,0)0(1)limlim1xxff xfxxxx2000,0,0,(2)( , ),0,0,0,(0, )(0,0)1limlimxxyyxy xyff x yx yxyyxy xfyffyx yyy 因为当时，此时故2(0,0)fx y 不存在. (3) 因 为,0,( , ),0,0,xy xyf x yx yy x所 以 当0 xy 时 ，( , )(0,0)( , )(0,0)lim( , )lim0 x

12、 yx yf x yxy， 当0y 时 ，( , )(0,0)( , )(0,0)lim( , )lim0 x yx yf x yx，当0 x 时，( , )(0,0)( , )(0,0)lim( , )lim0 x yx yf x yy，所以点( , )x y沿着任意方向趋近于(0,0)时，极限均为 0,故,0,0lim( , )0 x yf x y.(4)因为,0,( , ),0,0,xy xyf x yx yy x，所以当0 xy 时，000limlimlim00yxyxy，当0y 时，000limlimlim00yxyx，当0 x 时，000limlimlim0yxyyy,综上00li

13、mlim ( , )0yxf x y.选 B。 6.设( )f x在2,2上可导，且( )( )0fxf x，则（ ） A. ( 2)1( 1)ff B.(0)( 1)fef C.2(1)( 1)fef D.3(2)( 1)fef解析：本题选 B。考查了函数的单调性，辅助函数构造等问题。 由( )( )0fxf x，可知( )( )0fxf x，可以构造辅助函数：( )( )xf xF xe， 由导数符号可知函数 F(x)在2,2单调递增。由(0)( 1)FF容易推得选 B。7.四阶矩阵 A 不可逆，120A ，1234, 为矩阵 A 的列向量组，则*0A X 的通解为（ ） A. 11223

14、3xkkkB.112234xkkkB. 112334xkkkD.122334xkkk解析：本题选 C。考查了线性齐次方程组通解的结构、伴随矩阵秩的公式、AA*的公式。 由于120A ，故( *)1r A，再由伴随矩阵秩的公式, ( )( *)1, ( )10, ( )1n r Anr Ar Anr An，可知( *)1, ( )3r Ar A。*0A x 的基础解系由 3 个解向量构成。 又因为*A AA EO， A 的每一列都1234, 是*0A x 的解向量 。 只 要 找 到*0A x 的3个 无 关 解 就 构 成 基 础 解 系 。 抓 住120A 这 一 条 件 。 由111212

15、341314*(,)AAAAOAA 可知， 1111221331440AAAA，因为120A ，因此2可由134, 线性表示，故134, 线性无关。原因是1234( )(,)3r Ar ，若134, 线性相关，则其中有一个向量可由其余两个线性表示，秩就小于 3 了，可推出矛盾。因此134, 为基础解系，选 C。 8.A 为 3 阶方阵，12, 为属于特征值 1 的线性无关的特征向量，3为 A 的属于-1 的特征向量，满足1111P AP的可逆矩阵 P 为（ ） A.1323, B.1223, B.1332, D.1232, 解析：本题选 D。考查了矩阵相似对角化的相关理论与特征向量的性质。 矩

16、阵 P 的每一列要与特征值对应起来。由题目已知，P 的第一列与第三列必须是 1 的特征向量，P 的第二列必须是-1 的特征向量。由特征向量的性质可知选 D。 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分请将答案写在答题纸指定位置上9.设1ln122ttytx，则122ddtxy . 答案：2【解析】 2=1dxtdtt ，211dydtt，1=dydxt， 2222321()/1=/1dyddtd ydytdxttdxdxdx dttt ，2212td ydx . 10. 求xxyyd1d1310=. 答案：92924【解析】：交换积分次序， 21311133233320000011

17、2=111 (1)=1333xdxxdyxx dxxd xx 原式（）32224 22=21 =2 21 =9999原式（） （）11.设,sinarctanyxxyz则, 0dz. 答案：yxdd1【解析】：2cos()1sin()dzyxydxxyxy，2cos()1sin()dzxxydyxyxy，代入0（ ， ）， 2cos11 (sin )dzdx，2cos11 (sin )dzdx ； (0, )(1)dzdxdy12.斜边长为a2的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中, 且斜边与水面相齐，记重力加速度为g，水密度为，则三角形平板的一侧收到的压力为 . 答案：331ga【解析】233

18、3001112()2()2()233aaFg ay ydygayydygaaga13.设 xyy 满足, 02 yyy 且 00 y， 10 y，则 xxyd0. 答案：1【解析】, 02 yyy所以特解方程：2212+2 +1=0+1 =0=-1，（）；12=)xyCC x e通(；212()xyeCCC x通；又(0)0(0)1yy，；112120011CCCCC,=xyxe通+0000( )=(1)lim(1)lim(1)1xxxxxxy x dxxe dxexexex分部积分14.求aaaa011011110110. 答案：244aa 【解析】411 43011011110110110

19、11=0( 1)1111000100110110aaaaaaaaaaaaaaaaa 第 行加第 列至第 行展开继续将第 1 列展开, 原式=31 31 24421111( 1)( 1)( 1)( 1)2( 2 )4aaaaaaaaaaaa 三、解答题：1523 小题，共 94 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将答案写在答题纸指定位置上15.（本题满分 10 分）. 求曲线011xxxyxx的斜渐近线。 【解析】：斜率1111limlimlime11xxxxxxxxykxxx1111ln(1)ln(1) 1120001ln(1) 1200111limlimlimee111e111ee1

20、e1limlimlimeee 111ln(1)limlimeexxxxxxtttttttttttttxbykxxxxxttxtttttttt 令2201112lime2ettt所以斜渐近线方程为：11e2eyx16.（本题满分 10 分） 设 xf连续, 且 , 1lim0 xxfx ，txtfxgd10 求 xg且证明 xg在0 x处连续.【解析】：因为 , 1lim0 xxfx且 xf连续，则 00lim0 xff x， , 1lim00 xxffx 令xtu，则 1001d =dxg xf xttf utx当0 x 时， 2011dxgxf xf uuxx因为 100(0)d0gft所以

21、 02000d01 0limlimlim22xxxxf utg xgf xgxxx则 201d ,01, 02xf xf uu xxxgxx 022000000d1limlimdlimlim111 lim1222xxxxxxxf uuf xf xgxf uuxxxxf xx 则 0lim0 xgxg所以 xg在0 x处连续17.（本题满分 10 分） 求 xyyxxf338的极值。 解：024,03,22xyyxfyxyxfyx所以00yx或12161yx所以驻点为0 , 0或121,61xyxfAxx6, 1, yxfBxyyyxfCyy48, 代入0 , 0，此时02BAC 所以不是极值点

22、 代入,121,61 02BAC且0A, 所以2161121,61f为极小值 18.（本题满分 10 分） 设 fx在0,上有定义，且满足 2221221xxf xx fxx（I）求 fx；（II）求曲线 13,22yf xyy及y围成的图形绕x轴旋转一周的体积。 【解析】（1）：由 2221221xxf xx fxx. 得 22221211212111xxxff xxxxxx则 2221221xxx ff xxx. 2 得： 2331xf xx故 2,0,1xf xxx（2）体积： 2211yyxxxxf yyygVd2232123636362362sin602162sin2163d2cos

23、2-12dsin2dcoscossin2tttttttttty19.（本题满分 10 分） 计算二重积分22dDxyx，其中区域D由1,2,xxyx及x轴围成. 【解析】：2222cos24cos41001coscos11ddddcoscos2Dxyrr rrxr43034031d2cos3secd2 其中3secdsec dtansectantan dsec 2233sectansectandsectansecsec1 dsectansecdsec dsectanln sectansecd 所以31secdsectanln sectan2C 则223440033 13dsecd =secta

24、nln sectan2ln 1222 24Dxyx 20. (本题满分 11 分)yyyd12232122已知 xttxf1de2（1）证明： 2e2.,2 , 1fts（2）证明： 2e2ln2.,2 , 1fts解答： xttxf1de2所以 01 f，且 2exxf, 当1x时, 0 xf（1）构造 ,e22xxxfxF则 xF在2 , 1上连续，且 0,ee11 fF 0,2022ffF由零点定理知2 , 1,st 0F,即 22f（2）构造 xxgln，2 , 1x则 xgxf,在2 , 1上可导.由柯西中值定理知： gfggffts1212,2 , 1即 ，1e2ln22f 所以

25、2e2ln2f21.（本题满分 11 分） 已知 xf可导, 且 00 xxf. 曲线 xfy 过原点, 点M为曲线 xfy 上任意一点, 过点M的切线与x轴相交于点T, 过点M做MP垂直于x轴于点P, 且曲线 xfy 与直线MP以及x轴所围成图形的面积与三角形MTP的面积比恒为2:3, 求曲线满足的方程. 【解析】：设 afaM,所以切线方程： axafafy当, 0y afafax且 afafafafaaafMTPS22121由题意得： 2321d20afafxxfa整理得： afxfxxfa2043d换成熟悉的公式： xfxfttfx2043d（1）且 00 f对（1）两边同时求导整理后

26、得： 223xfxfxf ，所以 00 f令( ),( )f xy fxp，( )dp dydpfxpdy dxdy整理，得232dppypdy分离变量得，3dd=2pypy321pC y所以232 yC y再分离变量，得232ddyyCx所以13233yC xC则3233C xCy又(0)0,(0)0ff 所以30C 则3yCx，C为任意常数。 22.（本题满分 11 分） 二 次 型222123123121323,222f x xxxxxax xax xax x经 可 逆 线 性 变 换xPy变 换 为22212312312,42g y yyyyyy y（I）求a的值； （II）求可逆矩阵

27、P. 【解析】：（I）123,f x xx的二次型矩阵111aaAaaaa 123,g y yy的二次型矩阵110110004B显然( )2r B ，经可逆线性变换xPy，则( )( )=2r Ar B 211111 2111 20101 21=0111001aaaaaaAaaaaaaaaaaaa 112aa 或当1a 时,( )1r A ，舍去。 故12a 。 （II）222123123121323,f x xxxxxx xx xx x 2212323113224xxxxx令112322333112232zxxxzxxzx，得1123223331323xzzzxzzxz即1122331113

28、2013001xzxzxz2222212312312123,42=4g y yyyyyy yyyy令1122233 2zyyzyzy得112233110= 010002zyzyzy 所以11223311131102010103002001xyxyxy即112233111+232023002xyxyxy 所求可逆矩阵111+232023002P23.（本题满分 11 分） 设A为 2 阶矩阵，( ,)P A，是非零向量且不是A的特征向量。 （I）证明矩阵P可逆；（II）若26A A0，求1PAP并判断A是否相似于对角矩阵。 【解析】（I）设12kkA0 若20k ，则由0知10k ； 若20k ，则12kk A，所以是A的属于特征值12kk的特征向量，与已知条件产生矛盾。 所以，120kk，向量组, A线性无关，故矩阵P可逆。 （II）因为26A A，所以， 206(,)(,6)( ,)11A A AA A， 记0611B，因此， 06( ,)( ,)11A A A， 即APPB，由P可逆知,A B相似且10611P APB。 由6(2)(3)011EB知，矩阵,A B的特征值均为122,3， 因为特征值互不相同，故矩阵A相似于对角矩阵2003。