高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：2.12 导数的综合应用 Word版含答案.doc

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1、淘宝店铺：漫兮教育第十二节导数的综合应用1最值会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)2导数的综合应用会利用导数解决某些实际问题知识点一函数的最值与导数一、函数的最值与导数1函数yf(x)在a，b上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)2函数yf(x)在a，b上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不小于f(x0)易误提醒1易混极值与最值：注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念2极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点

2、必定是极值自测练习1(2016济宁一模)函数f(x)x2ln x的最小值为()A. B1C0 D不存在解析：f(x)x，且x0.令f(x)0，得x1；令f(x)0，得0x0恒成立，所以函数f(x)在1,2上单调递增，所以e1f(x)e24，又不等式mf(x)m24恒成立，所以解得me，所以选D.答案：D知识点二生活中的优化问题利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤易误提醒在求解实际应用问题中建立数学模型时，易忽视函数的定义域导致失误自测练习3已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件 B1

3、1万件C9万件 D7万件解析：yx281，令y0得x9或x9(舍去)当x(0,9)时，y0；当x(9，)时，y0，即当x9时，y有最大值即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件，故选C.答案：C考点一利用导数研究生活中的优化问题|某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解(1)因为x5时，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可

4、知，该商品每日的销售量y10(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x0)现已知相距18 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和设ACx(km)(1)试将y表示为x的函数；(2)若a1，且x6时，y取得最小值，试求b的值解：(1)设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中k为比例系数，且k0.从而点C处受污染程度y.(2)因为a1，所以y，yk令y0，得x，又此时x6，解得b8，经验证符合题意，所以，污染源B的污染强度b的值为8.考点二利用导数研

5、究函数的零点或方程的根|(2015高考北京卷)设函数f(x)kln x，k0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，上仅有一个零点解(1)由f(x)kln x(k0)，得x0且f(x)x.由f(x)0，解得x.f(x)与f(x)在区间(0，)上的情况如下：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的单调递减区间是(0，单调递增区间是，)；f(x)在x处取得极小值f().(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为f().因为f(x)存在零点，所以0，从而ke.当ke时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()0，所以x是f

6、(x)在区间(1，上的唯一零点当ke时，f(x)在区间(0， )上单调递减，且f(1)0，f( )0.(1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(2)证明：存在a(0,1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在区间(1，)内有唯一解解：(1)由已知，函数f(x)的定义域为(0，)，g(x)f(x)2(x1ln xa)，所以g(x)2.当x(0,1)时，g(x)0，g(x)单调递增(2)证明：由f(x)2(x1ln xa)0，解得ax1ln x.令(x)2xln xx22x(x1ln x)(x1ln x)2(1ln x)22xln x，则(1)10，(e)2(2e)0.于是，存在

7、x0(1，e)，使得(x0)0.令a0x01ln x0u(x0)，其中u(x)x1ln x(x1)由u(x)10知，函数u(x)在区间(1，)上单调递增，故0u(1)a0u(x0)u(e)e21，即a0(0,1)当aa0时，有f(x0)0，f(x0)(x0)0.再由(1)知，f(x)在区间(1，)上单调递增，当x(1，x0)时，f(x)f(x0)0；当x(x0，)时，f(x)0，从而f(x)f(x0)0；又当x(0,1时，f(x)(xa0)22xln x0.故x(0，)时，f(x)0.综上所述，存在a(0,1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在区间(1，)内有唯一解考点三利用导数研究与不等

8、式有关的问题|导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题归纳起来常见的命题探究角度有：1证明不等式2不等式恒成立问题3存在型不等式成立问题探究一证明不等式1(2016唐山一模)已知f(x)(1x)ex1.(1)求函数f(x)的最大值；(2)设g(x)，x1，且x0，证明：g(x)0，f(x)单调递增；当x(0，)时，f(x)0时，f(x)0，g(x)01.当1x0时，g(x)x.设h(x)f(x)x，则h(x)xex1.当x(1,0)时，0x1,0ex1，则0xex1，从而当x(1,0)时，h(x)0，h(x)在(1,0上单调递减当1xh(0)0，

9、即g(x)1.综上，总有g(x)1.探究二不等式恒成立问题2已知函数f(x)m(x1)exx2(mR)(1)若m1，求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意的xf(x)恒成立，求m的取值范围解：(1)m1时，f(x)(1x)exx2，则f(x)x(2ex)，由f(x)0，得0xln 2，由f(x)0，得xln 2，故函数的增区间为(0，ln 2)，减区间为(，0)，(ln 2，)(2)f(x)mxx2(m2)x，即：mxexx2mx0.x0.令h(x)mexxm，则h(x)mex1，当m0时，h(x)在xh(0)0.当0m1时，h(x)在xh(0)0.当m1时，h(x)在(，ln m)上为减函

10、数，在(ln m,0)上为增函数，h(ln m)h(0)0，不合题意综上：m1.探究三存在型不等式成立问题3(2015东北三校联考)已知函数f(x)(e为自然对数的底数)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设函数(x)xf(x)tf(x)，存在实数x1，x20,1，使得2(x1)(x2)成立，求实数t的取值范围解：(1)函数的定义域为R，f(x)，当x0，当x0时，f(x)0，f(x)在(，0)上单调递增，在(0，)上单调递减(2)假设存在x1，x20,1，使得2(x1)(x2)成立，则2(x)min(x)max.(x)xf(x)tf(x)ex，(x).当t1时，(x)0，(x)在0,1上单

11、调递减，2(1)31.当t0时，(x)0，(x)在0,1上单调递增，2(0)(1)，即t32e0.当0t1时，若x0，t)，(x)0，(x)在(t,1上单调递增，所以2(t)max(0)，(1)，即2max，(*)由(1)知，g(t)2在0,1上单调递减，故22，而，所以不等式(*)无解综上所述，存在t(，32e)，使得命题成立导数在不等式问题中的应用问题的常见类型及解题策略(1)利用导数证明不等式证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)0，由减函数的定义可知，x(a，b)时，有F(x)0，即证明

12、了f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，则F(x)在(a，b)上是增函数，同时若F(a)0，由增函数的定义可知，x(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x)(2)利用导数解决不等式的恒成立问题利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题 3.导数的综合应用问题的答题模板【典例】(14分)(2015高考福建卷)已知函数f(x)ln x.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)证明：当x1时，f(x

13、)1，当x(1，x0)时，恒有f(x)k(x1)思路点拨(1)先求函数f(x)的定义域，再求f(x)，令f(x)0(注意在函数f(x)的定义域上)，得函数f(x)的单调递增区间；(2)构造函数，通过求导判断函数的单调性来证明不等式；(3)对k进行分类讨论，通过构造函数，利用求导来判断其单调性，从而得到参数k的取值范围规范解答(1)f(x)x1，x(0，)(2分)由f(x)0得解得0x.(3分)故f(x)的单调递增区间是.(4分)(2)证明：令F(x)f(x)(x1)，x(0，)(5分)则F(x).当x(1，)时，F(x)1时，F(x)1时，f(x)1满足题意(9分)当k1时，对于x1，有f(x

14、)x1k(x1)，则f(x)1满足题意(10分)当k1时，令G(x)f(x)k(x1)，x(0，)，则G(x)x1k.(11分)由G(x)0，得x2(1k)x10.解得x11.当x(1，x2)时，G(x)0，故G(x)在1，x2)内单调递增(13分)从而当x(1，x2)时，G(x)G(1)0，即f(x)k(x1)，综上，k的取值范围是(，1)(14分)模板形成A组考点能力演练1(2016沈阳一模)已知函数f(x)aln x(a0)，e为自然对数的底数(1)若过点A(2，f(2)的切线斜率为2，求实数a的值；(2)当x0时，求证：f(x)a；(3)若在区间(1，e)上eex0，即a0，解得x1，

15、g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增g(x)的最小值为g(1)0，f(x)a.(3)由题意可知eex，化简得.令h(x)，则h(x)，由(2)知，当x(1，e)时，ln x10，h(x)0，即h(x)在(1，e)上单调递增，h(x)0得xe；由f(x)0得xe.此时f(x)在上单调递减，在(e，)上单调递增f(e)e2(ae)eaeln ee20，要使得f(x)在上有且只有两个零点，则只需faeln0，即a.当a0得xe；由f(x)0得axe.此时f(x)在(a，e)上单调递减，在和(e，)上单调递增f(a)a2aeaeln aa2aeaeln ea2e时，由f(x)0得xa，

16、由f(x)0得exa，此时f(x)在和(a，)上单调递增，在(e，a)上单调递减，且f(e)e20，f(x)在上至多只有一个零点，不合题意综上所述，a的取值范围为.3已知函数f(x)ln xax(a是实数)，g(x)1.(1)当a2时，求函数f(x)在定义域上的最值；(2)若函数f(x)在1，)上是单调函数，求a的取值范围；(3)是否存在正实数a满足：对于任意x11,2，总存在x21,2，使得f(x1)g(x2)成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由解：(1)当a2时，f(x)ln x2x，x(0，)，f(x)2，令f(x)0，则x1或x.当x时，f(x)0，所以f(x)在x处取到

17、最小值，最小值为3ln 2；无最大值(2)f(x)a，x1，)，显然a0时，f(x)0，且不恒等于0，所以函数f(x)在1，)上是单调递增函数，符合要求当a0时f(x)在1，)上是单调递增函数，所以f(x)在1,2上是单调递增函数所以对于任意x11,2，f(1)f(x1)f(2)，即f(x1).g(x)，当x1,2时，g(x)0，所以g(x)在1,2上是单调递减函数所以当x21,2时，g(x2).若对于任意x11,2，总存在x21,2，使得f(x1)g(x2)成立，则，此时a无解所以不存在满足条件的正实数a.B组高考题型专练1(2015高考广东卷)设a1，函数f(x)(1x2)exa.(1)求

18、f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)在(，)上仅有一个零点；(3)若曲线yf(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m，n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点)，证明：m 1.解：(1)f(x)2xex(1x2)ex(x22x1)ex(x1)2ex0，故f(x)是R上的单调递增函数，其单调增区间是(，)，无单调减区间(2)证明：因为f(0)(102)e0a1a0，由零点存在性定理知，f(x)在(，)上至少有一个零点又由(1)知，函数f(x)是(，)上的单调递增函数，故函数f(x)在(，)上仅有一个零点(3)设点P(x0，y0)，由曲线yf(x)在点P处的切线与x轴平行知，f(x0)0，

19、即f(x0)(x01)2ex00，(x01)20，x01，即P(1,2e1a)由点M(m，n)处的切线与直线OP平行知，f(m)kOP，即(1m)2ema.由em1m知，(1m)3(1m)2ema，即1m ，即m 1.2(2015高考山东卷)设函数f(x)(xa)ln x，g(x).已知曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线2xy0平行(1)求a的值；(2)是否存在自然数k，使得方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；(3)设函数m(x)minf(x)，g(x)(minp，q表示p，q中的较小值)，求m(x)的最大值解：(1)由题意知

20、，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为2，所以f(1)2，又f(x)ln x1，所以a1.(2)k1时，方程f(x)g(x)在(1,2)内存在唯一的根设h(x)f(x)g(x)(x1)ln x，当x(0,1时，h(x)110，所以存在x0(1,2)，使得h(x0)0.因为h(x)ln x1，所以当x(1,2)时，h(x)10，当x2，)时，h(x)0，所以当x(1，)时，h(x)单调递增所以k1时，方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根(3)由(2)知，方程f(x)g(x)在(1,2)内存在唯一的根x0，且x(0，x0)时，f(x)g(x)，所以m(x)当x(0，x0时，若x(0,1，m(x)0；若x(1，x0，由m(x)ln x10.可知00，m(x)单调递增；x(2，)时，m(x)0，m(x)单调递减可知m(x)m(2)，且m(x0)m(2)综上可得，函数m(x)的最大值为.