2021年勾股定理知识点及典型例题.docx

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1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -有用标准文案八下第 18 章 勾股定理勾股定理学问点导航一.勾股定理：2221 .勾股定理定义：假如直角三角形的两直角边长分别为a， b，斜边长为c，那么 a b c .即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边222勾股定理的逆定理：假如三角形的三边长a， b，c 有下面关系： a b c ，那么这个三角形为直角三角形；2. 勾股数：满意a2b2 c2 的三个正整数叫做勾股数（留意：如a， b， c.为勾股数，那么ka ，kb， kc 同样也为勾股数组； ）

2、*附：常见勾股数：3、4、5 ； 6、8、10； 9、12、15； 5、12、133. 判定直角三角形：假如三角形的三边长a.b.c 满意 a2 +b2 =c2 ，那么这个三角形为直角三角形；（经典直角三角形：勾三.股四.弦五）其他方法：（ 1）有一个角为90的三角形为直角三角形；（ 2）有两个角互余的三角形为直角三角形；用它判定三角形为否为直角三角形的一般步骤为：（ 1）确定最大边（不妨设为c）；222（ 2）如 c a b ，就 ABC为以 C为直角的三角形；222222如 a b c ，就此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）；如 a b c ，就此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边

3、）4. 留意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（ 2）在直角三角形中，假如一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，假如一条直角边等于斜边的一半， 那么这条直角边所对的角等于 30；5. 勾股定理的作用：baCDaHccbEbGcFcbaa（ 1）已知直角三角形的两边求第三边；AcBab（ 2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系；（3）用于证明线段平方关系的问题；（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段6.2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法许多，常见的为拼图的方法AaDbcEcaBbC文档第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - -

4、-精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -有用标准文案7.错误的描述方法： “当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形为直角三角形勾股定理：（一）结合三角形：1. 已知ABC的三边 a . b . c 满意 (ab) 2(bc) 20 ，就ABC为三角形2. 在ABC中，如a 2 =（ b + c ）（ b - c ），就ABC为三角形，且903. 在ABC中， AB=13， AC=15，高 AD=12，就 BC的长为4.已知x12xy25与 z210z25 互为相反数，试判定以x . y . z 为三边的三角形的外形；5. 已知：在ABC中，三条边

5、长分别为a . b . c ， a = n 2试说明：C=90 ；1 ， b =2 n ， c = n 21 （ n 1）6. 如ABC 的三边 a . b . c 满意条件 a 2b 2c 233810a24b26c ，试判定ABC 的形状；7. 已知a62 b8(c10) 20、 就以 a . b . c 为边的三角形为（二）.实际应用：1. 梯子滑动问题：（ 1）一架长2.5 m 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7 m （如图），假如梯子的顶端沿墙下滑 0.4 m ，那么梯子底端将向左滑动米文档第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - -精品word

6、可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -有用标准文案A8BC6第 1 题图第 2 题图第 3 题图（ 2）如图，一个长为10 米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 米，假如梯子的顶端下滑 1 米，那么，梯子底端的滑动距离1米，（填“大于” ，“等于”，或“小于”）（ 3）如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC BC，AC=BC，当梯子的顶端A 沿 AC方向下滑 x 米时，梯足B 沿 CB方向滑动 y 米，就 x 与 y 的大小关系为（）A. X+yB. xyC. x yD.不能确定（ 4）小明想知道学校旗杆的高度，他发觉旗杆上的绳子吹到地面上仍多1 m，当他

7、把绳子的下端拉开5 米后，发觉绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为米2. 直角边与斜边和斜边上的高的关系：直角三角形两直角边长为a， b，斜边上的高为h，就以下式子总能成立的为（）A.abb 2B.a 2b22h 2C.111D.abh111a 2b 2h2变：如图，在 Rt ABC中， ACB=90， CD AB于 D，设 AB=c， AC=b，BC=a， CD=h；C111求证：（ 1）a 2b 2h2（ 2） abch（ 3）以 ab， h， chADB为三边的三角形为直角三角形试一试：（1）只需证明h 2 ( 1a21 )1，从左边推到到右边 b22（2）ab 2ch 2（ 3） a

8、h 2h 2ch，留意面积关系abch 的应用文档第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -有用标准文案3. 爬行距离最短问题：1. 如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm，得到C1处有一只昆虫甲，在盒子的内部有一只昆虫乙（盒壁的 忽视不计）（ 1）假设昆虫甲在顶点C1 处静止不动， 如图 a，在盒子的内部我们先取棱BB1 的中点 E，再连结 AE.EC1 ，昆虫乙假如沿途径AEC1 爬行，那么可以在最短的时间内捕获到昆虫甲，认真体会其中的道理，并在图 b 中画一条路径，使昆虫乙从顶点A 沿这

9、条路爬行，同样可以在最短的时间内捕获到昆虫甲；（ 2）如图 b，假设昆虫甲从点C1 以 1 厘米 / 秒的速度在盒子的内部沿C1C向下爬行， 同时昆虫乙从顶点A以 2 厘米 / 秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕获到昆虫甲？试一试：对于（2），当昆虫甲从顶点沿棱C1C向顶点 C 爬行的同时，昆虫乙可以沿不同的路径爬行，利用勾股定理建立时间方程，通过比较得出昆虫乙捕获到昆虫甲的最短时间2. 如图，一块砖宽AN=5，长 ND=10， CD上的点 F 距地面的高FD=8，地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食，要爬行的最短路线为cm3. 如图，为一个三级台阶，它的每一级的长.宽.高分

10、别为20 dm .3 dm .2 dm ， A 和 B 为这个台阶两相对的端点， A 点有一只昆虫想到B 点去吃可口的食物， 就昆虫沿着台阶爬到B 点的最短路程为分米？4. 如图，一只蚂蚁沿边长为a 的正方体表面从点A 爬到点 B，就它走过的路程最短为（）A.3aB.12 aC.3aD.5a文档第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -有用标准文案QAMBPN5.如图，壁虎在一座底面半径为2 米，高为 4 米的油罐的下底边沿A 处，它发觉在自己的正上方油罐上边缘的 B 处有一只害虫，便打算捕获这只

11、害虫，为了不引起害虫的留意，它有意不走直线，而为围着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然突击结果，壁虎的偷袭得到胜利，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫.（ 取 3）6.如图为一棱长为3cm 的正方体，把全部面都分为9 个小正方形，其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬 行 2cm，就它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面的B 点，最少要花几秒钟？7 葛藤为一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬， 为了争夺雨露阳光，经常饶着树干回旋而上，它仍有一手绝技，就为它绕树盘升的路线，总为沿着短路线回旋前进的；莫非植物也懂得数学吗？假如阅读以上信息，你能设计一种方法解决以下问题吗？假如树的周长

12、为3cm，绕一圈上升4cm，就它爬行路程为多少厘米？假如树的周长为8多少厘米？cm，绕一圈爬行10cm，就爬行一圈上升多少厘米？假如爬行10 圈到达树顶，就树干高文档第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -有用标准文案8.如图， A.B 为笔直大路l 同侧的两个村庄，B且两个村庄到直路的距离分别为300m 和 500m，A两村庄之间的距离为d( 已知 d2=400000m2 ) ，现要在l大路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小；问最小为多少？4.实际问题1. 小明和爸爸妈妈十一登香山

13、，他们沿着 45 度的坡路走了500 米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离地面的高度为米；2. 如图，山坡上两株树木之间的坡面距离为43 米，就这两株树之间的垂直距离为 米，水平距离为米；3. 如 图 ， 一 根12 米 高 的 电 线 杆 两 侧 各 用15 米 的 铁 丝 固 定 ， 两 个 固 定 点 之 间 的 距 离为；4. 如图， 欲测量松花江的宽度，沿江岸取 B.C 两点，在江对岸取一点A，使 AC垂直江岸， 测得 BC 50 米， B 60，就江面的宽度为；5.如图， 大路 MN和大路 PQ在 P 点处交汇， 点 A 处有一所中学， AP=160 米，点 A 到大路 MN的距离为

14、 80 米， 假使拖拉机行驶时，四周 100 米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在大路MN上沿 PN方向行驶时， 学校为否会受到影响， 请说明理由； 假如受到影响， 已知拖拉机的速度为18 千米 / 小时， 那么学校受到影响的时间为 多少？文档第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -有用标准文案5.求边长：1. 如下列图，在四边形ABCD中，0BAD=90 ，0DBC=90 ， AD=3，AB=4，BC=12，求 CD；6.方向问题：1. 有一次，小明坐着轮船由A 点动身沿正东方向AN航行，在 A

15、 点望湖中小岛M，测得 MAN 30，当他到 B 点时，测得 MBN 45， AB 100 米，你能算出AM的长吗？MABN2. 一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接着，它又掉头向正东方向航行15 千米 此时轮船离开动身点多少km. 如轮船每航行1km，需耗油 0.4 升，那么在此过程中轮船共耗油多少升.文档第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -有用标准文案7.折叠问题：1. 如图，矩形纸片ABCD的长 AD=9，宽 AB=3，将其折叠，使点D 与点 B 重合，那么折叠后DE的长

16、为多少？2. 如图，在长方形ABCD中，将 ABC沿 AC对折至 AEC位置， CE与 AD交于点 F；（ 1）试说明： AF=FC；（ 2）假如 AB=3，BC=4，求 AF 的长3. 如图，在长方形ABCD中， DC=5，在 DC边上存在一点E，沿直线 AE把 ABC折叠，使点 D 恰好在 BC边上，设此点为 F，如 ABF的面积为 30，求折叠的 AED的面积ADEBFC4. 如下列图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6， BC=8， 现将直角边 AC沿直线 AD折叠，使它落在斜边 AB上，且与 AE重合， 你能求出 CD的长吗？文档第 8 页，共 10 页 - - - - - -

17、 - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -有用标准文案5. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6， BC=8，将 ABC折叠，使点B 与点 A 重合，折痕为DE，就 CD等于（）A.25 B.422 C.7 D.53436.如图，矩形纸片ABCD的边 AB=10cm，BC=6cm，E 为 BC上一点，将矩形纸片沿 AE折叠，点 B 恰好落在 CD边上的点 G处，求 BE的长 .8.利用勾股定理测量长度如图，水池中离岸边D 点 1.5 米的 C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长为 0.5 米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到 D

18、 点，并求水池的深度 AC.9.旋转问题1.如图， P 为等边三角形ABC内一点， PA=2、PB=23 、PC=4、求 ABC的边长；文档第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -有用标准文案2.如图1-3-11 ，有一块塑料矩形模板ABCD，长为 8cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF 的直角顶点 P 落在 AD边上（不与A.D 重合），在 AD上适当移动三角板顶点P：能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点 C？如能，请你求出这时AP 的长；如不能，请说明理由.再次移动三角板位置，使三角板顶点P 在 AD 上移动，直角 边 PH 始终通过点B，另始终角边PF 与 DC的延长线交于点Q， 与 BC交于点 E，能否使 CE=2cm？如能，请你求出这时AP的长；如不能，请你说明理由.3.如图，正方形ABCD中，E 为 BC边上的中点， F 为 AB上一点，且FB1 AB ，那么 DEF为直角三角形4吗？为什么？文档第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -