2021年数值分析复习题及答案.docx

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1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.数值分析复习题一.挑选题1. 3.142 和 3.141 分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字.A 4 和 3B 3 和 2C 3 和 4D 4 和 42fx dx1 f1Af ( 2 )1f (2)2. 已知求积公式1636，就 A （）1112A 6B 3C2D 33. 通过点x0 、 y0、x1 、 y1的拉格朗日插值基函数l 0x、 l1x满意（）lxA 00 0， l1x10B l0x00， l1x11lxC 00 1， l1x11Dl0x0 1， l1x11fx4. 设求方程0 的根的牛顿法收敛，就它

2、具有（）敛速；A 超线性B平方C线性D三次5. 用列主元消元法解线性方程组x1 2x1x12x22x2 3x2x303x3 23作第一次消元后得到的第3 个方程（） .A x2x32B 2x21.5x33.5C2 x2x33D x20.5x31.5二.填空1. 设x2.3149541. ，取 5 位有效数字，就所得的近似值x=.fx 、 xfx2fx114323fx 、 xfx3fx2615122.设一阶差商x2x121，x3x2422.第 1 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -就二阶差商.fx1

3、 、 x2 、 x3 X(2、3、1)T| X | X |3. 设、 就2，；24求方程xx1.250的近似根，用迭代公式xx1.25 ，取初始值x01 ， 那么x1 ；yf (x、 y)5解初始值问题11y( x0 )y0近似解的梯形公式为yk 1 ；A6.51，就 A 的谱半径；f ( x)3x25、 xkh、 k0、1、 2、. 、fx 、 x、 x7.设k，就nn 1n 2和fxn 、 xn1 、 xn2 、 xn 3；8.如线性代数方程组AX=b的系数矩阵A 为严格对角占优阵，就雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都；9.解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为；y10

4、12310.为了使运算成；x1( x1)2( x1)3的乘除法运算次数尽量的少、应将表达式改写X( 2、3、4) T| X | X |11. 设12. 一阶均差、 就1，2.fx0 、 x131333C0、 C1C2C 313. 已知 n3 时，科茨系数88 ，那么314. 由于方程fxx42x0 在区间1、2 上满意，所以fx0 在区间内有根；15. 取步长 h0.1 ，用欧拉法解初值问题yyx2y 11y的运算公式.*16.设 x2.40315为真值 x2.40194的近似值，就*x有位有效数字；.第 2 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 -

5、 - - - - - - - - - - - -17. 对f (x)x3x1、 差商f 0、1、2、3.()；18. 设 X(2、3、7) T| X |19.牛顿 柯特斯求积公式的系数和n、 就C；( n) kk 0；20. 如 a=2.42315 为 2.42247 的近似值，就a 有()位有效数字 .21.l0 ( x)、l1 ( x)、l n ( x) 为以0、1、 n 为插值节点的Lagrange 插值基函数，就nil i ( x)i 0().22. 设 f (x)可微，就求方程xf (x) 的牛顿迭代格式为().23. 迭代公式( k 1)X( k )BXf 收敛的充要条件为；24.

6、 解线性方程组Ax =b (其中 A 非奇特， b 不为 0) 的迭代格式x (k 1)Bx (k )f 中的 B 称为 (). 给定方程9x1组x1x2 5x284 ，解此方程组的雅可比迭代格式为() ；25.数值运算中主要争论的误差有和；l j ( x)( j26.设0、1、2Ln) 为 n 次拉格朗日插值多项式的插值基函数，就l j ( xi )(i 、 j0、1、2 Ln ) ；nl j ( x)n)j 0；l j ( x)( j27.设0、1、2L为区间 a、 b上的一组n 次插值基函数；就插值型求积公式的代数精度为；插值A型求积公式中求积系数jnAj；且 j 0；28.辛普生求积公

7、式具有次代数精度，其余项表达式为；29.f (x)x21、f 1、2、3 、 f 1、2、3、4；就30.设 x* = 1.234 为真值 x = 1.23445 的近似值，就x* 有位有效数字；.第 3 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -31. 设 f( x).3xx1、 就差商 ( 均差)f 0、1、 2、3f 0、1、2、3、4，；32.求方程xf ( x) 根的牛顿迭代格式为；A33.已知123 4、就AA、1；34. 方程求根的二分法的局限性为；三.运算题319f ( x)x 2 、 x

8、0、 x11、 x21设（ 1）试求fx 在441 、 94 4上的三次Hermite 插值多项式x使满意H (x j )f ( xj )、 j0、1、2、.H ( x1 )f (x1) ，x 以升幂形式给出；（ 2）写出余项R(x)f ( x)H (x) 的表达式2已知的满意，试问如何利用构造一个收敛的简洁迭代函数，使0， 1收敛？y f ( x、 y)h3 推导常微分方程的初值问题y(x0 )y0的数值解公式：yn 1yn 1( yn 134 ynyn 1 )（提示：利用 Simpson 求积公式；）4 利用矩阵的LU 分解法解方程组x1 2 x1 3x12x25x2 x23x3142x3

9、185x320y5. 已知函数121x的一组数据：求分段线性插值函数，并运算f1.5的近似值 .第 4 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -6. 已知线性方程组10x1x1 x1x2 10x2x22x32 x3 5 x37.28.34.2.（ 1）写出雅可比迭代公式.高斯塞德尔迭代公式；（2）于初始值X 00、0、0，应用雅可比迭代公式.高斯塞德尔迭代公式分别运算1X（保留小数点后五位数字）.7. 用牛顿法求方程x33 x1 0 在 1、2 之间的近似根（ 1）请指出为什么初值应取2？（ 2）请用牛

10、顿法求出近似根，精确到0.0001.8. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别运算积分11dx0 1x.9用二次拉格朗日插值多项式L2 ( x)运算sin 0.34 的值；插值节点和相应的函数值为（0，0），（ 0.30， 0.2955），（ 0.40， 0.3894）；10.用二分法求方程f ( x)x3x10在 1.0、1.5 区间内的一个根，误差限10 211.用高斯 -塞德尔方法解方程组4x1 x1 2x12x24 x2x2x32 x35x3111822 ，取x (0 )(0、0、0)T，迭代三次 (要求按五位有效数字运算).；12.求系数A1 、 A2 和A3 、使求积公式1f (

11、x)dxA f(1)A f (1 )1 对于次数2的一切多项式都精确成立12A3 f ()13313. 对方程组3x1 10 x12 x12 x24 x210x210x3x34x31558试建立一种收敛的Seidel 迭代公式，说明理由14. 确定求积公式数精度 .1f ( x)dx1Af (0.5)Bf ( x1 )Cf (0.5)的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代15. 设初值问题y3x2 y y(0)10x1. (1)写出用 Euler 方法.步长h=0.1 解上述初值问题数值解的公式；.第 5 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 -

12、 - - - - - - - - - - - -.(2)写出用改进的Euler 法（梯形法）.步长h=0.2 解上述初值问题数值解的公式，并求解y1、 y2 ，保留两位小数；16. 取节点 x00、 x10.5、 x21 ，求函数ye x 在区间0、1上的二次插值多项式P2 ( x)，并估量误差；17.已知函数yf (x) 的相关数据由牛顿插值公式求三次插值多项式P3 ( x)3，并运算P( 1 )2的近似值；18.利用尤拉公式求解初值问题，其中步长h0.1，yyx1、y(0)1.x(0、0.6)；19确定求积公式h0f ( x) dxA f (h)hA1 f (0)A2 f(h)；中待定参数

13、Ai 的值 (i0、1、 2) ，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度20.已知一组试验数据如下：求它的拟合曲线（直线）；用列主元消去法解线性方程组2 x1 3 x1 4 x13x2 5x2 3x24 x3 2x3 30 x36、5、32.22. 已知(1)用拉格朗日插法求f ( x)的三次插值多项式；(2) 求 x ， 使f (x)0 ；确定以下求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.第 6 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.24.用

14、Gauss 消去法求解以下方程组1f ( x)1 f (1)2 f ( x)3 f ( x ). 试求x1 、x2 使求积公式13y 2 x12的代数精度尽量高，并求其代数精度；. 取步长5 yh=0.2、 用梯形法解常微分方程初值问题y(1)1(1x2)12x118x13x23x23x3153x315. 用列主元消去法求解方程组x1x2x36并求出系数矩阵A 的行列式detA 的值 .用牛顿 (切线 )法求3 的近似值；取x0=1.7、运算三次，保留五位小数；29.已知数据如下：y1求形如abx拟合函数；30.用二次拉格朗日插值多项式L2 ( x)运算 sin0.34 ；插值节点和相应的函数

15、值如下表；31.利用改进的尤拉方法求解初值问题，其中步长h0.2yyx、 y(0)1.x(0、0.8)；32.争论用 Jacobi 和 Gauss-Seidel 迭代法求解方程组Ax=b 的收敛性，假如收敛，比较哪种方法收敛快；其中302A021212.简述题： 表达在数值运算中，误差分析的方法与原就为什么？.第 7 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.数值分析复习题答案一.挑选题1.A2.D3.D4.C5.Bfx1 、 x2 、 x35fx2 、 x3fx1、 x22311二.填空1.2.315

16、02.x3x14163.6 和144.1.5hyk5.2fxk 、 ykfxk1 、 yk 16.( A)67. fxn 、 xn 1 、 xn 23、 fxn 、 xn1、 xn2 、 xn 30 ；8. 收y10敛9.h10.111x1(x321)( x1)11.9 和29；12.fx0x0fx1 x1113. 8yy1.10.1214.f1f2015.k 1ky0110.1k、 k0、1、2L；16.3；17.1；18.7；19.1；203；xk 11 (8x( k ) )912xxxnnf (xn )x k 11 (4x( k ) )21. xn 1；22.1f ( xn )；23.(

17、 B)1；24.迭代矩阵，251；25.相对误差肯定误差26 .1、 ij 、0、 ij1；27. 至少为 nbkl ( x)dxa，b-a ；28. 3ba ( ba) 4 f1802(4) ()、( a、b)；29. 1 0；30.xxxnf ( xn )n 14； 31.1，0； 32.三.运算题n1f (xn )； 33. 7、 6；34.收敛速度慢，不能求偶重根；x14 x32632x2331x1 解： （1）22545045025R x1952 ( x1 )( x1)2 (x9 )、( x)( 1 、 9 )（ 2）4.1644442 解 ：由x( x) ，可得x3x(x)3x ，

18、 x1( x)3x)(x)2因( x)1 ( x)3) ，故( x)1（ x）-311222故xk 11( xk )( xk )3xk 2、 k=0、1、.收敛；.第 8 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -3 .解 ： 数值积分方法构造该数值解公式：对方程.yf ( x)在区间xn 1、 xn 1上积分，y( xn 1 )得y(xn 1 )x n 1xn 1f ( x、 y(x) dx，记步长为h、 对积分xn 1xn 1f ( x、 y(x)dx用 Simpson 求积公式得xn 12hhf (

19、x、 y( x)dxf (xn 1 )4 f (xn )f ( xn 1 )( yn 14 ynyn 1 )xn 163h所以得数值解公式：34解1123ALU2114yn 1yn 1( yn 14 ynyn 1 )35124令 Lyb 得 y(14、10、72) T 、Uxy 得 x(1、2、3)T .L% xx1x010.510.5x5. 解x0、1 ，0110L% xx20.5x10.20.3x0.8x1、2 ，1221所以分段线性插值函数为L% x10.5 xx0.80.3xx0、11、2L% 1.50.80.31.50.356. 解 ：原方程组同解变形为x10.1x2x20.1x1x

20、30.2 x10.2 x30.2x30.2x20.720.830.84雅可比迭代公式为x m 10.1x m0.2x m0.72123x m 10.1x m0.2x m0.83mm213m1x30.2x10.2 x20.84 (m0、1.)高斯塞德尔迭代法公式x m 10.1x m0.2x m0.72123x m 10.1x m 10.2x m0.83m213mm11x30.2x1.0.2x20.84(m10、1.)第 9 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.1X用雅可比迭代公式得0.720 00

21、、0.830 00、0.840 001X用高斯塞德尔迭代公式得0.720 00、0.902 00、1.164 407. 解：fxx33x1， f130 ， f2102fx3x3 ， fx12x ， f2240 ，故取 x2 作初始值迭代公式为3x2fxx33x1n 12x1xxxn 1n 1(或n 1)nn 1fxn 1n 123xn 133n 11，n1、2、.2331x121.8888921.8888931x221.87945x02 ，32131.888891，x2x10.009440.000121.8794531x331.87945211.87939，x3x20.000060.0001方

22、程的根x1.879398.解梯形公式bfx dxabafafb 211111应用梯形公式得dx0 1x0.752 1011bbaabfx dx fa4 f ()fb a辛卜生公式为62111010dx f04 f ()f1 应用辛卜生公式得0 1x6211119 解4256 101111236.第 10 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -L ( x)(xx1 )( xx2 )f( xx0 )( xx2 )f.( xx0 )(xx1 )f2012( x0x1 )( x0x2 )( x1x0 )( x

23、1x2 )(x2x0 )(x2x1 )；=0.33333610.用二分法求方程解N6x11.25x21.375x31.3125x41.34375x51.328125x61.3203125f (x)x3x10 在 1.0、1.5区间内的一个根，误差限10 211.解 迭代公式x(k 1)11 (1142x( k )3x( k ) )x(k 1)21 (18142( k 1)x12x (k ) )x(k 1)31 (2252x (k 1)3x)( k 1)212.解：11112A1A2A32A1A2A30A1A2A33399313A1A20A32213. 解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占

24、优10 x12x1 3x14x2 10x22x2x354x3810x315故对应的高斯 塞德尔迭代法收敛.迭代格式为.第 11 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -x( k 1)1( k)(4 x.x( k )5)10123x( k 1)1( k 1)(2x4x( k)8)10213x( k 1)1( k 1)(3x2x( k 1)15)10312取 x ( 0)( 0、0、0 )T、经 7 步迭代可得：x *x (7)(0.999 991 459、 0.999 950 326、 1.000 010

25、)T144. 解3. 假设公式对f ( x)1、x、 x2 、 x3精确成立就有ABC0.5 ABx120.5C010.25ABx210.125ABx30.25C230.125C0解此方程组得42AC、 B33求积公式为11f ( x)dx14 f (0.5)2 f3(0)4 f(0.5)、 当f ( x)x4时、左边2右边1左 边右边代数精度为 3；5615. 解(1)yn 1yn0.20.1(3xn2yn )0.3xn1.2 yn(2) yn 1yn(3xn22 yn )3(xn0.2)2yn 1=yn0.1(6xn2yn2 yn 10.6)333yn 1ynxn24403336333迭达

26、得16.解：y11.575、 y224024040.2402.585e0.5110.5ee0.5e10p 2 (x)e( x0)0.5010.510.500 ( x0)( x0.5)=1+2( e0.51) x2( e 12e 0.51) x( x0.5)y e x 、 Mmaxy 1、 e xp2 ( x)f()x( x0.5)( x1)3x 0 、1exp (x)1 x(x3.0.5)( x1)0x1时 ，23.17.解：差商表.第 12 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.由牛顿插值公式：4

27、328p (x)N (x)x2 xx1、3333141 331 281p3 ()()2()()12 23223218.解：f ( x、 y)yx1、 y01、 h0.1、yn 1yny01、0.1(xn1yn )、 (n0、1、 2、3、 L )yk1.000000;1.000000;1.010000;1.029000;1.056100;1.090490;1.131441.14419解：分别将f ( x)1、x、 x2，代入求积公式，可得A0A2h、A1h3 3；3令 f ( x)x 时求积公式成立，而f ( x)x 时公式不成立，从而精度为3；20.解：设yabx 就可得5a 15a15b5

28、5b31105.5于为 a2.45、 b1.25 ，即 y2.451.25x ；解：234643303243303235253525352543303223462346433032433032011/ 441/ 219011/ 441/ 21903/ 21110002 /114 /114330324x13x230x332、x113、011823811x282x338、x28、0012即x32.x32.22. 解： 用反插值得.第 13 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -xf1 ( y).( y4)( y5)( y7)2 ( y2)( y5)( y7)4 ( y2)( y4)( y7)(24)(25)(27)(42)(45)(47)(52)(54)(57)( y2)( y54)( y5)(72)(74)(75)令y0得xf1 (0)83f ( x)1、 x、 x2解 令代入公式精确成立，得AB2hhABx11h2 ABx202 h33；131x1h、 Bh、 Ah解得322，得求积公式hh1f ( x)dx f (h)3 f (h)h23h30f ( x)dxh3(h)3 f1443(h) h对 f (