奥数等差数列讲义.doc

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1、 等差数列一、课前热身找出规律后填出下面数列中括号里的数： (1) 1， 3， 5， 7， ( )， 11， 13， ( )， (2) 1， 4， 7， 10， ( )， 16， 19， (3) 1， 3， 6， 10， 15， ( )， 28， (4) l， 2， 4， 5， 7， 8， ( )， ( )， (5) 5， 7， 11， 19， 35， ( )， 131； 259， 二、准备知识：1、数列定义：（1） 1，2，3，4，5，6，7，8，(等差)（2） 2，4，6，8，10，12，14，16，(等差)（3） 1，4，9，16，25，36，49，(非等差) 数列的定义：若干个数按一定

2、次序进行排列的一列数，叫做数列.数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项，第二个数叫做第二项以此类推，最后一个数叫做这个数列的末项，数列中数的个数称为项数，如：2，4，6，8，100。注意：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；2、等差数列：从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。我们将后项与前项的差称为公差. =d ，（n2，nN），后一项减前一项为一定值，我们把这个定值叫公差，用d表示。例如：等差数列：3、6、996，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的数列。练习:1、 3、6、9、12

3、75，这是一个首项为( )，末项为( )，项数为( )，公差为( )的数列。2、 下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.6，10，14，18，22，98；( )1，2，1，2，3，4，5，6；( ) 1，2，4，8，16，32，64；( ) 9，8，7，6，5，4，3，2；( )3，3，3，3，3，3，3，3；( )1，0，1，0，l，0，1，0；( )3、 计算等差数列的相关公式：等差数列的通项公式（每一项都可用通项公式来表示）： （1）末项公式：第几项(末项)首项（项数1）公差 （2）项数公式：项数（末项首项）公差1 （3）求和公式：总和（首项末项）项数2 在

4、等差数列中，如果已知首项、末项、公差。求总和时，应先求出项数，然后再利用等差数列求和公式求和。数列的前n项和：数列中，称为数列的前n项和，记为.求和公式:总和=(首项+末项)项数2=等差中项项数等差数列的前项和公式1：等差数列的前项和公式2： 二例题精讲例1、认识数列：等差数列:3、6、9、96, 这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。例2、有一个数列：4、7、10、13、25，这个数列共有多少项提示仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差都是3，所以这是一个以4为首项，以公差为3的等差数列，根据等差数列的项数公式即可解答。解：由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)公差

5、+1,可得,项数=(25-4)3+1=8,所以这个数列共有8项。练习：1、有一个数列:2,6,10,14,106,这个数列共有多少项?。 2、有一个数列:5,8,11,92,95,98,这个数列共有多少项? 3、在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项?例3、有一等差数列：2，7,12,17，这个等差数列的第100项是多少？提示：仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差等于5，所以这是一个以2为首项，以公差为5的等差数列，根据等差数列的通项公式即可解答解：由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)公差,可得,第100项=2+(1OO-1)5=497,所以这个等

6、差数列的第100项是497。练习：1、求1,5,9,13,这个等差数列的第3O项。 2、求等差数列2,5,8,11,的第100项。 3. 一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少?例4、计算2+4+6+8+1990的和。提示：仔细观察数列中的特点，相邻两个数都相差2，所以可以用等差数列的求和公式来求。解：因为首项是2,末项是1990,公差是2,昕以,项数=(1990-2)2+1=995,再根据等差数列的求和公式:总和=(首项+末项)项数2,解出2+4+6+8+1990=(2+1990)9952=。练习：1.计算1+2+3+4+53+54+55的和。 2、计算5+10+15+2

7、0+ +190+195+200的和。 3、计算100+99+98+61+60的和例5、计算（1+3+5+l99l)-（2+4+6+1990）提示：仔细观察算式中的被减数与减数，可以发现它们都是等差数列相加，根据题意可以知道首项、末项和公差，但并没有给出项数，这需要我们求项数，按照这样的思路求得项数后，再运用求和公式即可解答。解：被减数的项数=(1991-1)2+1=996，所以被减数的总和=(1+1991)9962=;减数的项数=(l990-2)2+1=995,所以减数的总和=(2+1990)9952=.所以原式=-=996。练习：1、计算(1+3+5+7+2003)-(2+4+6+8+200

8、2) 2、计算(2+4+6+100)-(1+3+5+99) 3、计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。例6、已知一列数：2,5,8,11,14，80，求80是这列数中第几个数。提示：仔细观察这列数可以发现，后项与其相邻的前项之差等于3，所以这是一个以2为首项，以公差为3的等差数列，求80是这列数中第几个数，实际上是求该数列的项数。解：这列数的首项是2,末项是80,公差是3,运用公式:项数=(末项-首项)公差+1,即(80-2)3+1=27,所以80是该数列的第27项。练习：1.有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,求

9、第12个数是多少。 2、有一列数是这样排列的:2,11,20,29,38,47,56,求785是第几个数。 3、在等差数列6,13,20,27,中,从左到右数第几个数是1994?例7、全部三位数的和是多少？分析：所有的三位数就是从100999共900个数，观察100、101、102、998、999这 一数列，发现这是一个公差为1的等差数列。要求和可以利用等差数列求和公式来解答。练习：求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。例8、求自然数中被10除余1的所有两位数的和。分析一：在两位数中，被10除余1最小的是11，最大的是91。从题意可知，本题是求等差数列11、21、31、9

10、1的和。它的项数是9，我们可以根据求和公式来计算。解一： 11+21+31+91 =（11+91）92 =459分析二：根据求和公式得出等差数列11、21、31、91的和是459，我们可以求得这9个数的平均数是4599=51，而51恰好是这个等差数列的第五项，即中间的一项(称作中项)，由此我们又可得到S=中项n，但只能是项数是奇数时，等差数列有中项，才能用中项公式计算。解二：11+21+31+91 =519 =459求不超过500的所有被11整除的自然数的和。例9、求下列方阵中所有各数的和： 1、2、3、4、49、50； 2、3、4、5、50、51； 3、4、5、6、51、52； 49、50、

11、51、52、97、98； 50、51、52、53、98、99。 分析一：这个方阵的每一横行（或竖行）都各是一个等差数列，可先分别求出每一横行（或竖行）数列之和，再求出这个方阵的和。 解一： 每一横行数列之和：第一行：（1+50）502=1275 第二行：（2+51）502=1325第三行：（3+51）502=1375 第四十九行：（49+98）502=3675 第五十行：（50+99）502=3725方阵所有数之和： 1275+1325+1375+3675+3725 =（1275+3725）502 =分析二：观察每一横行可以看出，从第二行起，每一行和都比前一行多50，所以可以先将第一行的和乘以

12、50，再加上各行比第一行多出的数，这样也能求得这个方阵所有数的和。 解二：（1+50）50250=63750 50（1+2+3+49） =50【（1+49）492】 =61250 63750+61250= 答：这个方阵的和是例10、若干人围成16圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少6人，如果共有912人，问最外圈有多少人？最内圈有多少人？分析：从已知条件912人围成16圈，一圈套一圈，从外到内各圈依次减少6人，也就是告诉我们这个等差数列的和是912，项数是16，公差是6。题目要求的是等差数列末项 a- a=d(n-1)=6(16-1)=90(人)解： a+a=S2n=114（人）外圈人数=（9

13、0+114）2=102（人）内圈人数=（114-90）2=12（人） 答： 最外圈有102人，最内圈有12人。一、填空题 （每小题5分）1、有一串数，已知第一个数是6，而后面的每一个数都比它前面的数大4，这串数中第2003个数是 。2、等差数列0、3、6、9、12、45是这个数列的第 项。从2开始的连续100个偶数的和是 。3、一个剧院共有25排座位，从第一排起，以后每排都比前一排多2个座位，第25排有70个座位，这个剧院共有 个座位。4、所有除以4余1的三位数的和是 。6、时钟在每个整点敲该钟点数，每半点钟敲一下，一昼夜这个时钟一共敲 下。7、一个五层书架共放了600本书，已知下面一层都比上

14、面一层多10本书。最上面一层放 本书，最下面一层放 本书。8、从200到500之间能被7整除的各数之和是 。9、在1949、1950、1951、1987、1988、这40个自然数中，所有偶数之和比所有奇数之和多 。10、有一列数：1、2002、2001、1、2000、1999、1、从第三个数开始，每个数都是它前面两个数中大数减去小数的差，从第一个数开始到第2002个数为止这2002个数的和是 。二、简答题 (每小题10分)1、有10只金子，54个乒乓球，能不能把54个乒乓球放进盒子中去，使各盒子的乒乓球数不相等？2、小明家住在一条胡同里，胡同里的门牌号从1号开始摸着排下去。小明将全胡同的门牌号

15、数进行口算求和，结果误把1看成10，得到错误的结果为114，那么实际上全胡同有多少家？3、有一堆粗细均匀的圆木，堆成如下图的形状，最上面一层有7根园木，每面下层增加1根，最下面一层有95根，问：这堆圆木一共有多少根？ 4、有一个六边形点阵，如下图，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点这个六边形点阵共100层，问，这个点阵共有多少个点？ 5、X+Y+Z=1993有多少组正整数解？模拟测试 解答一、填空题 1、8014 6+4（2003-1）=6+42002=80142、16 （45-0）3+1=453+1=163、10100 末项=2+（100+1）2=200 和

16、=（2+200）1002=101004. 1150 a=70-(25-1) 2=22(个) 总座位数：（22+70）252=1150（个）5、 所有除以4余1的三位数为：101、105、109、997。项数：（997-101）4+1=225 和：（101+997）2252=6、180 （1+12）12+124=1312+24=180（下）7、100、140 中间一层本数：6005=120（本） 最上面一层：12-102=100（本）最下面一层：120+12=140（本）8、15050 构成等差数列为：203、210、497。项数=（497-203）7+1=43 数列和=（203+497）432

17、=150509、20 （1950+1988）202-（1949+1987）202 =- =39380-39360 =2010、 在原数列中，以数1为标志，把三个数看成一组，20023=6671，其中2001个数分为667组，有667个1，因为余下的一个数恰为1，则2002个数中有668个1，其余的数是2002则669有1334个数。 6681+（2002+669）13342=668+=二、简答题 1、解： 答：题中要求办不到。2、解：误把1看成10，错误结果比正确结果多10-1=9，那么正确结果为114-9=105，即全胡同门牌号组成的数列求和为105 设全胡同有n家，此数列为1、2、3、n。

18、 数列求和：（1+n）n2=105 （1+n）n=210 将210分解：210=2357=1415 则n为14 答：全胡同实际有14家。3、解： 7+95=102（根） 95-7+1=89（层） =4539（根） 答：这堆圆木一共有4539根。4、解：第100层有点：6+（99-1）6=6+986=（个） 点阵只有点： 1+（6+594）992=1+=29701（个） 答：这个点阵共有点29701个。5、解： 当X=1991时，则Y+Z=2， Y=Z=1 有1组 当X=1990时，则Y+Z=3， 或 有2组 当X=1989时，则Y+Z=4. 或或有3组 当X=2时，则Y+Z=1991 有199

19、0组 当X=1时，则Y+Z=1992 有1991组 X不能等于1992或1993 原方程中不同的整数解，组数为：1+2+3+4+1991= 答：共有组正整数解。例题1、（求和公式：总和=（首项十末项）项数2 = 中项项数）（1）1+2+3+4+5=（2）1+2+3+9+10=（3）1+2+3+99+100=练习：1+2+80 1+3+5+99例题2: 项数公式：项数=（末项一首项）公差 + l（1）2+4+6+200 =（2）已知等差数列2、7、12、52，这个等差数列共有（ ）项。练习1、求等差数列3、6、9、12120共有（ ）项。 2、46+54+62+262=例题3：通项公式：第几项=

20、首项+（项数1）公差已知等差数列5，9，13，17，它的第15项为_.练习1、自1开始，每隔三个数一数，得到数列1，4，7，10，求第100个数是多少？2、从25往后数18个连续的奇数，最后一个奇数是（ ）。综合运用1、有10个同学聚会，见面时如果每人都和其余的每个人握一次手，那么共握手 _次。2、某市举行数学竞赛，比赛前规定，前15名可以获奖，比赛结果第一名1人，第2名并列2人，第三名并列3人，每十五名并列15人，用最简便的方法计算出得奖的一共有_人。3、已知等差数列5，8，11，它的第21项为_。4、自1开始，每隔三个自然数写出一个自然数来，得到一个数列，这个数列的前五项是 _，这个数列的前50项的和是_。 5、所有被7除余数是1的二位数的和是_。 6、有一本故事书，小红第一天读了7页，以后每天都比前一天多读3页。他读到第9天刚好读完。这本故事书一共有多少页？7、按一定的规律排列的算式：31， 47， 513， 619,那么，第100个算式是什么？8、一辆双层公共汽车有78个座位，空车出发，第一站上一个乘客，第二站上二个乘客，第三站上三个乘客，以此类推，那么第 站以后，车上坐满乘客。思考题：1、从401到1000的所有整数中，被8除余数为1的数有（ ）个。2、下列数的总和是 。01 02 03 5002 03 04 51 49 50 51 9850 51 52 99