相似三角形证明技巧.docx

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1、时间段授课内容一证比例式与乘积式的方法二辅助线作法三例题讲解四小结与练习相似三角形相关证明强化 一、相似、全等的关系 全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础 二、相似三角形(1)三角形相似的条件： ； ； .三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线

2、型找平行线)，因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；a)已知一对等角找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 b)己知两边对应成比例找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 c)己知一个直角 找另一角 两角对应相等，两三角形相似 找两边对应成比例 判定定理1或判定定理4d)有等腰关系 找顶角对应相等 判定定理1 找底角对应相等 判定定理1

3、 找底和腰对应成比例 判定定理3 e)相似形的传递性 若12，23，则13七、证比例式和等积式的方法：对线段比例式或等积式的证明：常用“三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”(必要时需添辅助线)，使其分别构成两个相似三角形来证明 可用口诀： 遇等积，改等比，横看竖看找关系； 三点定形用相似，三点共线取平截； 平行线，转比例，等线等比来代替； 两端各自找联系，可用射影和园幂图5AEFBDGCH例1如图5在ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，DFAB于F，交AC的延长线于H，交BE于G，求证：(1)FG / FAF

4、B / FH (2)FD是FG与FH的比例中项1说明：证明线段成比例或等积式，通常是借证三角形相似找相似三角形用三点定形法(在比例式中，或横着找三点，或竖着找三点)，若不能找到相似三角形，应考虑将比例式变形，找等积式代换，或直接找等比代换例2如图6，ABCD中，E是BC上的一点，AE交BD于点F，已知BE：EC3：1， CADBEF图6 SFBE18，求：(1)BF：FD (2)SFDA 2说明：线段BF、FD三点共线应用平截比定理由平行四边形得出两线段平行且相等，再由“平截比定理”得到对应线段成比例、三角形相似；由比例合比性质转化为所求线段的比；由面积比等于相似比的平方，求出三角形的面积 B

5、EACDMN例3如图7在ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，CM的延长线交AB于N求：AN：AB的值； 3说明：求比例式的值，可直接利用己知的比例关系或是借助己知条件中的平行线，找等比过渡当已知条件中的比例关系不够用时，还应添作平行线，再找中间比过渡ABCEDGF例4如图8在矩形ABCD中，E是CD的中点，BEAC交AC于F，过F作FGAB交AE于G求证：AG 2AFFC 4说明：证明线段的等积式，可先转化为比例式，再用等线段替换法，然后利用“三点定形法”确定要证明的两个三角形相似、AEBDMCF例5如图在ABC中，D是BC边的中点，且ADAC，DEBC，交AB于点E，EC交AD于

6、点F(1)求证：ABCFCD；(2)若SFCD5，BC10，求DE的长说明：要证明两个三角形相似可由平行线推出或相似三角形的判定定理得两个三角形相似再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到线段的长图CEDAFMB例6如图10过ABC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD分别交于点F和E过点D作DMFC交AB于点M(1)若SAEF：S四边形MDEF2：3，求AE：ED； (2)求证：AEFB2AFED 说明：由平行线推出两个三角形相似，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到两线段的比注意平截比定理的应用例7己知如图11在正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中

7、点，Q在线段BC上，当BQ为何值时，ADP与QCP相似？PADBQC图11 说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系然后再确定顶点P所在的位置本题是开放性题型，有多个位置，应注意计算，严防漏解图12ADBCP1P2P3例8己知如图12在梯形ABCD中，ADBC，A900，AB7，AD2，BC3试在边AB上确定点P的位置，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似 说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系然后再确定顶点P所在的位置本题有多个位置，应注意计算，严防漏解例9如图，已知ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CFBA，BF交AD于P点，交AC于E点。

8、 求证：BP2=PEPF。 分析：因为BP、PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=AC，D是BC中点，由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线，如果我们连结PC，由线段垂直平分线的性质知PB=PC，只需证明PECPCF，问题就能解决了。 例12如图，已知：在ABC中，BAC=900，ADBC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F。 求证： 。 分 析：比例式左边AB，AC在ABC中，右边DF、AF在ADF中，这两个三角形不相似，因此本题需经过中间比进行代换。通过证明两套三角形分别相似证得结论。 八、确定证明的切入点。几何证明题的证明方法主要有

9、三个方面。第一，从“已知”入手，通过推理论证，得出“求证”；第二，从“求证”入手，通过分析，不断寻求“证据”的支撑，一直追溯回到“已知”；第三，从“已知”及“求证”两方面入手，通过分析找到中间“桥梁”，使之成为清晰的思维过程。九、相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：一、作平行线例1. 如图，的AB边和AC边上各取一点D和E，且使ADAE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：例2. 如图，ABC中，ABAC，在AB、AC上分别截取BD=

10、CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：ABDF=ACEF。 例3、如图45，B为AC的中点，E为BD的中点，则AF：AE=_.例4、如图4-7，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，E为AB延长线上一点，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的长例5、ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DFAC=BCFE例6：如图ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证：AE：ED=2AF：FB。二、作延长线例7. 如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG=CFBF例8如图4-1，已知平行四边ABCD中，E是AB的中点，连E、F交AC于G求AG：AC的值 三、作中线例10： 已知：如图，ABC中，ABAC，BDAC于D求证： BC22CDAC