数值计算方法复习题.doc

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1、习题一1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，试指出它们有几位有效数字以及它们的绝对误差限、相对误差限。（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） ；（1）5， ， ；（2）2， ， ；（3）4， ， ；（4）5， ， ；（5）1， ， ；（6）2， ， （7）6， ， 2. 为使下列各数的近似值的相对误差限不超过 ，问各近似值分别应取几位有效数字？； ； 显示答案3. 设 均为第1题所给数据，估计下列各近似数的误差限。（1） ； （2） ； （3） （1） ； （2） ；（3） 显示答案4. 计算 ，取 ，利用下列等价表达式计算，(3)的结果最好.（1） ；(2）

2、 ； (3） (4） 显示答案5. 序列 满足递推关系式 若 （三位有效数字），计算 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？不稳定。从 计算到 时，误差约为 显示答案6. 求方程 的两个根，使其至少具有四位有效数字（要求利用 。，显示答案7. 利用等式变换使下列表达式的计算结果比较精确。1） ；2） 3） ；4） ;显示答案8. 设 ，求证：1） 2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差增大；反向递推时误差函数减小。9.设x0,x*的相对误差为，求f(x)=ln x的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，有已知x*的相对误差满足，而，故即10.下列各数都是经过四舍五入得到的

3、近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。解：直接根据定义得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，11.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。（1）（2）12.近似数x*=0.0310,是位有（3位）有效数字。13.计算取，利用 （） 式计算误差最小。 四个选项：习题二1. 已知 ，求 的二次值多项式。显示答案2. 令 求 的一次插值多项式，并估计插值误差。解：显示答案 ； ， 介于x和0，1决定的区间内；，当 时。3. 给出函数 的数表，分别用线性插值与二次插值求 的近似值，并估计截

4、断误差。0.54667，0.；0.54714，0.0.40.50.60.70.80.389420.479430.564640.644220.717364. 设 ，试利用拉格朗日余项定理写出以 为节点的三次插值多项式。显示答案5. 已知 ，求 及 的值。1，0显示答案6. 根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式，并用其计算 和 的近似值。， X1.6151.6341.7021.8281.921F (x)2.414502.464592.652713.030353.340667. 已知函数 的如下函数值表，解答下列问题（1）试列出相应的差分表；（2）分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。X0.0

5、0.10.20.30.40.5f (x)1.001.321.682.082.523.00解：向前插值公式 向后插值公式 显示答案8. 下表为概率积分 的数据表，试问：1） 时，积分 2） 为何值时，积分 ？。X0.460.470.480.49P0.0.0.0.9. 利用 在 各点的数据（取五位有效数字），求方程 在0.3和0.4之间的根的近似值。0.10. 依据表10中数据，求三次埃尔米特插值多项式。x01y01y3911. 依据数表11中数据，利用基函数方法，构造四次埃尔米特插值多项式。X012Y023y01 显示答案12. 在 上给出 的等距节点函数表，用分段线性插值求 的近似值，要使截断

6、误差不超过 ，问函数表的步长h应怎样选取？显示答案 13. 将区间 分成n等分，求 在 上的分段三次埃尔米特插值多项式，并估计截断误差。显示答案 显示答案14、给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故15、 在-4x4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少?解：用误差估计式，令因得16、 若，求和

7、解：由均差与导数关系于是17、 若互异，求的值，这里pn+1.解：，由均差对称性可知当有而当Pn1时于是得18、 求证解：只要按差分定义直接展开得19、已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式可得由于20、给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.

8、566的近似值并估计误差.解：计算，用n=4得Newton前插公式误差估计其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计得这里仍未0.56521. 求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造使它满足，显然，再令p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2由p(2)=1求出A ，于是22. 令称为第二类Chebyshev多项式，试求的表达式，并证明是-1,1上带权的正交多项式序列.解：因23、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差.解：本题给出拟合曲线，即，故法方程系数法方程为解得最小二乘拟合曲线为均方程为1) 满足条件插值多项式p(x)=( ).2) ,则f1,2,3,4=？，f1,2,3,4,5=？. 3) 设为互异节点，为对应的四次插值基函数，则？，？. 4) 设是区间0,1上权函数为(x)=x的最高项系数为1的正交多项式序列，其中，则？，？；