MATLAB数学手册教程 第1章矩阵及其基本运算.doc

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1、第1章 矩阵及其基本运算MATLAB，即“矩阵实验室”，它是以矩阵为基本运算单元。因此，本书从最基本的运算单元出发，介绍MATLAB的命令及其用法。1.1 矩阵的表示1.1.1 数值矩阵的生成1实数值矩阵输入MATLAB的强大功能之一体现在能直接处理向量或矩阵。当然首要任务是输入待处理的向量或矩阵。不管是任何矩阵（向量），我们可以直接按行方式输入每个元素：同一行中的元素用逗号（，）或者用空格符来分隔，且空格个数不限；不同的行用分号（；）分隔。所有元素处于一方括号（ ）内；当矩阵是多维（三维以上），且方括号内的元素是维数较低的矩阵时，会有多重的方括号。如： Time = 11 12 1 2 3

2、4 5 6 7 8 9 10Time =11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X_Data = 2.32 3.43；4.37 5.98X_Data =2.43 3.434.37 5.98 vect_a = 1 2 3 4 5vect_a =1 2 3 4 5 Matrix_B = 1 2 3； 2 3 4；3 4 5Matrix_B = 1 2 32 3 43 4 5 Null_M = %生成一个空矩阵2复数矩阵输入复数矩阵有两种生成方式：第一种方式例1-1 a=2.7;b=13/25; C=1,2*a+i*b,b*sqrt(a); sin(pi/4),a+5*b,3.5+1C

3、= 1.0000 5.4000 + 0.5200i 0.8544 0.7071 5.3000 4.5000 第2种方式例1-2 R=1 2 3;4 5 6, M=11 12 13;14 15 16R = 1 2 3 4 5 6M = 11 12 13 14 15 16 CN=R+i*MCN = 1.0000 +11.0000i 2.0000 +12.0000i 3.0000 +13.0000i 4.0000 +14.0000i 5.0000 +15.0000i 6.0000 +16.0000i1.1.2 符号矩阵的生成在MATLAB中输入符号向量或者矩阵的方法和输入数值类型的向量或者矩阵在形式

4、上很相像，只不过要用到符号（symbol）矩阵定义函数sym，或者是用到符号定义函数syms，先定义一些必要的符号变量，再像定义普通矩阵一样输入符号矩阵。1用命令sym定义矩阵：这时的函数sym实际是在定义一个符号表达式，这时的符号矩阵中的元素可以是任何的符号或者是表达式，而且长度没有限制，只是将方括号置于用于创建符号表达式的单引号中。如下例：例1-3 sym_matrix = sym（a b c；Jack，Help Me!，NO WAY!，）sym_matrix =a b cJack Help Me! NO WAY! sym_digits = sym（1 2 3；a b c；sin（x）co

5、s（y）tan（z）sym_digits =1 2 3a b csin（x）cos（y）tan（z）2用命令syms定义矩阵先定义矩阵中的每一个元素为一个符号变量，而后像普通矩阵一样输入符号矩阵。例1-4 syms a b c ； M1 = sym（Classical）； M2 = sym（ Jazz）； M3 = sym（Blues） syms_matrix = a b c； M1， M2， M3；int2str（2 3 5）syms_matrix = a b cClassical Jazz Blues 2 3 5把数值矩阵转化成相应的符号矩阵。数值型和符号型在MATLAB中是不相同的，它们

6、之间不能直接进行转化。MATLAB提供了一个将数值型转化成符号型的命令，即sym。例1-5 Digit_Matrix = 1/3 sqrt（2） 3.4234；exp（0.23） log（29） 23（-11.23） Syms_Matrix = sym（Digit_Matrix）结果是：Digit_Matrix =0.3333 1.4142 3.42341.2586 3.3673 0.0000Syms_Matrix = 1/3， sqrt（2）， 17117/500026899*2（-52），86655*2（-51），83729*2（-103）注意：矩阵是用分数形式还是浮点形式表示的，将矩阵转

7、化成符号矩阵后，都将以最接近原值的有理数形式表示或者是函数形式表示。1.1.3 大矩阵的生成对于大型矩阵，一般创建M文件，以便于修改：例1-6 用M文件创建大矩阵，文件名为example.mexm= 456 468 873 2 579 5521 687 54 488 8 1365 4567 88 98 21 5456 68 4589 654 5 987 5488 10 9 6 33 77在MATLAB窗口输入：example;size(exm) %显示exm的大小ans= 5 6 %表示exm有5行6列。1.1.4 多维数组的创建函数 cat格式 A=cat(n,A1,A2,Am)说明 n=1

8、和n=2时分别构造A1；A2和A1，A2，都是二维数组，而n=3时可以构造出三维数组。例1-7 A1=1,2,3;4,5,6;7,8,9;A2=A1;A3=A1-A2; A4=cat(3,A1,A2,A3)A4(:,:,1) = 1 2 3 4 5 6 7 8 9A4(:,:,2) = 1 4 7 2 5 8 3 6 9A4(:,:,3) = 0 -2 -4 2 0 -2 4 2 0或用另一种原始方式可以定义：例1-8 A1=1,2,3;4,5,6;7,8,9;A2=A1;A3=A1-A2; A5(:,:,1)=A1, A5(:,:,2)=A2, A5(:,:,3)=A3A5(:,:,1) =

9、 1 2 3 4 5 6 7 8 9A5(:,:,2) = 1 4 7 2 5 8 3 6 9A5(:,:,3) = 0 -2 -4 2 0 -2 4 2 01.1.5 特殊矩阵的生成命令 全零阵函数 zeros格式 B = zeros(n) %生成nn全零阵B = zeros(m,n) %生成mn全零阵B = zeros(m n) %生成mn全零阵B = zeros(d1,d2,d3) %生成d1d2d3全零阵或数组B = zeros(d1 d2 d3) %生成d1d2d3全零阵或数组B = zeros(size(A) %生成与矩阵A相同大小的全零阵命令 单位阵函数 eye格式 Y = ey

10、e(n) %生成nn单位阵Y = eye(m,n) %生成mn单位阵Y = eye(size(A) %生成与矩阵A相同大小的单位阵命令 全1阵函数 ones格式 Y = ones(n) %生成nn全1阵Y = ones(m,n) %生成mn全1阵Y = ones(m n) %生成mn全1阵Y = ones(d1,d2,d3) %生成d1d2d3全1阵或数组Y = ones(d1 d2 d3) %生成d1d2d3全1阵或数组Y = ones(size(A) %生成与矩阵A相同大小的全1阵命令 均匀分布随机矩阵函数 rand 格式 Y = rand(n) %生成nn随机矩阵，其元素在（0，1）内Y

11、 = rand(m,n) %生成mn随机矩阵Y = rand(m n) %生成mn随机矩阵Y = rand(m,n,p,) %生成mnp随机矩阵或数组Y = rand(m n p) %生成mnp随机矩阵或数组Y = rand(size(A) %生成与矩阵A相同大小的随机矩阵rand %无变量输入时只产生一个随机数s = rand(state) %产生包括均匀发生器当前状态的35个元素的向量rand(state, s) %使状态重置为srand(state, 0) %重置发生器到初始状态rand(state, j) %对整数j重置发生器到第j个状态rand(state, sum (100*clo

12、ck) %每次重置到不同状态例1-9 产生一个34随机矩阵 R=rand(3,4)R = 0.9501 0.4860 0.4565 0.4447 0.2311 0.8913 0.0185 0.6154 0.6068 0.7621 0.8214 0.7919例1-10 产生一个在区间10, 20内均匀分布的4阶随机矩阵 a=10;b=20; x=a+(b-a)*rand(4)x = 19.2181 19.3547 10.5789 11.3889 17.3821 19.1690 13.5287 12.0277 11.7627 14.1027 18.1317 11.9872 14.0571 18.9

13、365 10.0986 16.0379命令 正态分布随机矩阵函数 randn格式 Y = randn(n) %生成nn正态分布随机矩阵Y = randn(m,n) %生成mn正态分布随机矩阵Y = randn(m n) %生成mn正态分布随机矩阵Y = randn(m,n,p,) %生成mnp正态分布随机矩阵或数组Y = randn(m n p) %生成mnp正态分布随机矩阵或数组Y = randn(size(A) %生成与矩阵A相同大小的正态分布随机矩阵randn %无变量输入时只产生一个正态分布随机数s = randn(state) %产生包括正态发生器当前状态的2个元素的向量s = ra

14、ndn(state, s) %重置状态为ss = randn(state, 0) %重置发生器为初始状态s = randn(state, j) %对于整数j重置状态到第j状态s = randn(state, sum(100*clock) %每次重置到不同状态例1-11 产生均值为0.6，方差为0.1的4阶矩阵 mu=0.6; sigma=0.1; x=mu+sqrt(sigma)*randn(4)x = 0.8311 0.7799 0.1335 1.0565 0.7827 0.5192 0.5260 0.4890 0.6127 0.4806 0.6375 0.7971 0.8141 0.506

15、4 0.6996 0.8527命令 产生随机排列函数 randperm格式 p = randperm(n) %产生1n之间整数的随机排列例1-12 randperm(6)ans = 3 2 1 5 4 6命令 产生线性等分向量函数 linspace格式 y = linspace(a,b) %在(a, b)上产生100个线性等分点y = linspace(a,b,n) %在(a, b)上产生n个线性等分点命令 产生对数等分向量函数 logspace格式 y = logspace(a,b) %在（ ）之间产生50个对数等分向量y = logspace(a,b,n)y = logspace(a,pi

16、)命令 计算矩阵中元素个数n = numel(a) %返回矩阵A的元素的个数命令 产生以输入元素为对角线元素的矩阵函数 blkdiag格式 out = blkdiag(a,b,c,d,) %产生以a,b,c,d,为对角线元素的矩阵例1-13 out = blkdiag(1,2,3,4)out = 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4命令 友矩阵函数 compan格式 A = compan(u) %u为多项式系统向量，A为友矩阵，A的第1行元素为 -u (2:n)/u(1)，其中u (2:n)为u的第2到第n个元素，A为特征值就是多项式的特征根。例1-14 求多项式 的

17、友矩阵和根 u=1 0 -7 6; A=compan(u) %求多项式的友矩阵A = 0 7 -6 1 0 0 0 1 0 eig(A) %A的特征值就是多项式的根ans = -3.0000 2.0000 1.0000命令 hadamard矩阵函数 hadamard 格式 H = hadamard(n) %返回n阶hadamard矩阵例1-15 h=hadamard(4)h = 1 1 1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1命令 Hankel方阵函数 hankel格式 H = hankel(c) %第1列元素为c，反三角以下元素为0。H = hankel(c,r)

18、%第1列元素为c，最后一行元素为r，如果c的最后一个元素与r的第一个元素不同，交叉位置元素取为c的最后一个元素。例1-16 c=1:3,r=7:10c = 1 2 3r = 7 8 9 10 h=hankel(c,r)h = 1 2 3 8 2 3 8 9 3 8 9 10命令 Hilbert矩阵函数 hilb格式 H = hilb(n) %返回n阶Hilbert矩阵，其元素为H(i,j)=1/(i+j-1)。例1-17 产生一个3阶Hilbert矩阵 format rat %以有理形式输出 H=hilb(3)H = 1 1/2 1/3 1/2 1/3 1/4 1/3 1/4 1/5 命令 逆

19、Hilbert矩阵函数 invhilb格式 H = invhilb(n) %产生n阶逆Hilbert矩阵命令 Magic(魔方)矩阵函数 magic格式 M = magic(n) %产生n 阶魔方矩阵例1-18 M=magic(3)M = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 命令 Pascal矩阵函数 pascal格式 A = pascal(n) %产生n阶Pascal矩阵，它是对称、正定矩阵，它的元素由Pascal三角组成，它的逆矩阵的所有元素都是整数。A = pascal(n,1) %返回由下三角的Cholesky系数组成的Pascal矩阵A = pascal(n,2) %返回Pascal

20、(n,1)的转置和交换的形式例1-19 A=pascal(4)A = 1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20 A=pascal(3,1)A = 1 0 0 1 -1 0 1 -2 1 A=pascal(3,2)A = 1 1 1 -2 -1 0 1 0 0 命令 托普利兹矩阵函数 toeplitz格式 T = toeplitz(c,r) %生成一个非对称的托普利兹矩阵，将c作为第1列，将r作为第1 行，其余元素与左上角相邻元素相等。T = toeplitz(r) %用向量r生成一个对称的托普利兹矩阵例1-20 c=1 2 3 4 5; r=1.5 2.5 3.5

21、4.5 5.5; T=toeplitz(c,r)T = 1 5/2 7/2 9/2 11/2 2 1 5/2 7/2 9/2 3 2 1 5/2 7/2 4 3 2 1 5/2 5 4 3 2 1 命令 Wilkinson特征值测试阵函数 wilkinson格式 W = wilkinson(n) %返回n阶Wilkinson特征值测试阵例1-21 W=wilkinson(4)W = 3/2 1 0 0 1 1/2 1 0 0 1 1/2 1 0 0 1 3/2 W=wilkinson(7)W = 3 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0

22、 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 1 3 1.2 矩阵运算1.2.1 加、减运算运算符：“”和“”分别为加、减运算符。运算规则：对应元素相加、减，即按线性代数中矩阵的“十”，“一”运算进行。例1-22 A=1, 1, 1; 1, 2, 3; 1, 3, 6B=8, 1, 6; 3, 5, 7; 4, 9, 2AB=A+BA-=A-B结果显示：A+B=9 2 74 7 105 12 8AB=-7 0 -5-2 -3 -4-3 -6 41.2.2 乘法运算符：*运算规则：按线性代数中矩阵乘法运算进行，即放在前面的矩阵的各行元素，分别与放在后面

23、的矩阵的各列元素对应相乘并相加。1两个矩阵相乘例1-23X= 2 3 4 5; 1 2 2 1；Y=0 1 1; 1 1 0; 0 0 1; 1 0 0；Z=X*Y结果显示为：Z= 8 5 6 3 3 3 2矩阵的数乘：数乘矩阵上例中：a=2*X则显示：a =4 6 8 102 4 4 2向量的点乘（内积）：维数相同的两个向量的点乘。数组乘法：A.*B表示A与B对应元素相乘。3向量点积函数 dot格式 C = dot(A,B) %若A、B为向量，则返回向量A与B的点积，A与B长度相同；若为矩阵，则A与B有相同的维数。C = dot(A,B,dim) %在dim维数中给出A与B的点积例 X=-1

24、 0 2；Y=-2 -1 1;Z=dot(X, Y)则显示：Z =4还可用另一种算法：sum(X.*Y)ans= 44向量叉乘在数学上，两向量的叉乘是一个过两相交向量的交点且垂直于两向量所在平面的向量。在Matlab中，用函数cross实现。函数 cross格式 C = cross(A,B) %若A、B为向量，则返回A与B的叉乘，即C=AB，A、B必须是3个元素的向量；若A、B为矩阵，则返回一个3n矩阵，其中的列是A与B对应列的叉积，A、B都是3n矩阵。C = cross(A,B,dim) %在dim维数中给出向量A与B的叉积。A和B必须具有相同的维数，size(A,dim)和size(B,d

25、im)必须是3。例1-24 计算垂直于向量(1, 2, 3)和(4, 5, 6)的向量。 a=1 2 3; b=4 5 6; c=cross(a,b)结果显示： c= -3 6 -3可得垂直于向量(1, 2, 3)和(4, 5, 6)的向量为(-3, 6, -3)5混合积混合积由以上两函数实现：例1-25 计算向量a=(1, 2, 3)、b=(4, 5, 6)和c=(-3, 6, -3) 的混合积解：a=1 2 3; b=4 5 6; c=-3 6 -3;x=dot(a, cross(b, c)结果显示：x = 54注意：先叉乘后点乘，顺序不可颠倒。6矩阵的卷积和多项式乘法函数 conv格式

26、w = conv(u,v) %u、v为向量，其长度可不相同。说明 长度为m的向量序列u和长度为n的向量序列v的卷积(Convolution)定义为：式中：w向量序列的长度为(m+n-1)，当m=n时，w(1) = u(1)*v(1)w(2) = u(1)*v(2)+u(2)*v(1)w(3) = u(1)*v(3)+u(2)*v(2)+u(3)*v(1)w(n) = u(1)*v(n)+u(2)*v(n-1)+ +u(n)*v(1)w(2*n-1) = u(n)*v(n)例1-26 展开多项式解： w=conv(1,2,2,conv(1,4,1,1)w = 1 7 16 18 8 P=poly

27、2str(w,s) %将w表示成多项式P = s4 + 7 s3 + 16 s2 + 18 s + 87反褶积（解卷）和多项式除法运算函数 deconv格式 q,r = deconv(v,u) %多项式v除以多项式u，返回商多项式q和余多项式r。注意：v、u、q、r都是按降幂排列的多项式系数向量。例1-27 ，则其卷积为u = 1 2 3 4v = 10 20 30c = conv(u,v)c = 10 40 100 160 170 120则反褶积为q,r = deconv(c,u)q = 10 20 30r = 0 0 0 0 0 08张量积函数 kron格式 C=kron (A,B) %A

28、为mn矩阵，B为pq矩阵，则C为mpnq矩阵。说明 A与B的张量积定义为：AB与BA均为mpnq矩阵，但一般地ABBA。例1-28 求AB。 A=1 2;3 4;B=1 2 3;4 5 6;7 8 9; C=kron(A,B)C = 1 2 3 2 4 6 4 5 6 8 10 12 7 8 9 14 16 18 3 6 9 4 8 12 12 15 18 16 20 24 21 24 27 28 32 361.2.3 集合运算1两个集合的交集函数 intersect格式 c = intersect(a,b) %返回向量a、b的公共部分，即c= ab。c = intersect(A,B,row

29、s) %A、B为相同列数的矩阵，返回元素相同的行。c,ia,ib = intersect(a,b) %c为a、b的公共元素，ia表示公共元素在a中的位置，ib表示公共元素在b中位置。例1-29 A=1 2 3 4;1 2 4 6;6 7 1 4A = 1 2 3 4 1 2 4 6 6 7 1 4 B=1 2 3 8;1 1 4 6;6 7 1 4B = 1 2 3 8 1 1 4 6 6 7 1 4 C=intersect(A,B,rows)C = 6 7 1 4例1-30 A = 1 9 6 20; B = 1 2 3 4 6 10 20; c,ia,ib = intersect(A,B)

30、c = 1 6 20ia = 1 3 4ib = 1 5 72检测集合中的元素函数 ismember格式 k = ismember(a,S) %当a中元素属于S时，k取1，否则，k取0。k = ismember(A,S,rows) %A、S有相同的列，返回行相同k取1，不相同取0的列向量。例1-31 S=0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20; a=1 2 3 4 5 6; k=ismember(a,S)k = 0 1 0 1 0 1 %1表示相同元素的位置例1-32 A=1 2 3 4;1 2 4 6;6 7 1 4 B=1 2 3 8;1 1 4 6;6 7 1 4 k=i

31、smember(A,B,rows)k = 0 0 1 %1表示元素相同的行3两集合的差函数 setdiff格式 c = setdiff(a,b) %返回属于a但不属于b的不同元素的集合，C = a-b。c = setdiff(A,B,rows) %返回属于A但不属于B的不同行c,i = setdiff() %c与前面一致，i表示c中元素在A中的位置。例1-33 A = 1 7 9 6 20; B = 1 2 3 4 6 10 20; c=setdiff(A,B)c = 7 9例1-34 A=1 2 3 4;1 2 4 6;6 7 1 4 B=1 2 3 8;1 1 4 6;6 7 1 4 c=

32、setdiff(A,B,rows)c = 1 2 3 4 1 2 4 64两个集合交集的非（异或）函数 setxor格式 c = setxor(a,b) %返回集合a、b交集的非c = setxor(A,B,rows) %返回矩阵A、B交集的非，A、B有相同列数。c,ia,ib = setxor() %ia、ib表示c中元素分别在a (或A)、b(或B)中位置例1-35 A=1 2 3 4; B=2 4 5 8; C=setxor(A,B)C = 1 3 5 8例1-36 A=1 2 3 4;1 2 4 6;6 7 1 4A = 1 2 3 4 1 2 4 6 6 7 1 4 B=1 2 3 8;1 1 4 6;6 7 1 4B = 1 2 3 8 1 1 4 6 6 7 1 4 C,ia,ib=setxor(A,B,rows)C = 1 1 4 6 1 2 3 4 1 2 3 8 1 2 4 6ia = 1 2ib = 2 1