高等数学考研讲义第二章.doc

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1、第二章 一元函数微分学2.1 导数与微分（甲）内容要点一、导数与微分概念1、导数的定义设函数在点的某领域内有定义，自变量在处有增量，相应地函数增量。如果极限存在，则称此极限值为函数在处的导数（也称微商），记作，或，等，并称函数在点处可导。如果上面的极限不存在，则称函数在点处不可导。导数定义的另一等价形式，令，则我们也引进单侧导数概念。右导数：左导数：则有在点处可导在点处左、右导数皆存在且相等。2导数的几何意义与物理意义如果函数在点处导数存在，则在几何上表示曲线在点（）处的切线的斜率。切线方程：法线方程：设物体作直线运动时路程S与时间t的函数关系为，如果存在，则表示物体在时刻时的瞬时速度。3函数

2、的可导性与连续性之间的关系如果函数在点处可导，则在点处一定连续，反之不然，即函数在点处连续，却不一定在点处可导。例如，在处连续，却不可导。4微分的定义设函数在点处有增量时，如果函数的增量有下面的表达式 （）其中为为无关，是时比高阶的无穷小，则称在处可微，并把中的主要线性部分称为在处的微分，记以或。我们定义自变量的微分就是。5微分的几何意义是曲线在点处相应于自变量增量的纵坐标的增量，微分是曲线在点处切线的纵坐标相应的增量（见图）。6可微与可导的关系在处可微在处可导。且一般地，则所以导数也称为微商，就是微分之商的含义。7高阶导数的概念如果函数的导数在点处仍是可导的，则把在点处的导数称为在点处的二阶

3、导数，记以，或，或等，也称在点处二阶可导。如果的阶导数的导数存在，称为的阶导数，记以，等，这时也称是阶可导。二、导数与微分计算1导数与微分表（略）2导数与微分的运算法则（1）四则运算求导和微分公式（2）反函数求导公式（3）复合函数求导和微分公式（4）隐函数求导法则（5）对数求导法（6）用参数表示函数的求导公式（乙）典型例题一、用导数定义求导数例 设，其中在处连续，求解：二、分段函数在分段点处的可导性例1 设函数试确定、的值，使在点处可导。解：可导一定连续，在处也是连续的。由 要使在点处连续，必须有或又 要使在点处可导，必须，即.故当时，在点处可导.例2 设，问和为何值时，可导，且求解：时，时，

4、 由处连续性，可知再由处可导性，存在存在且根据洛必达法则， 于是三、运用各种运算法则求导数或微分例1 设可微，求解：例2 设，求解： 对求导，得再令，对求导， 于是 （）例3 设由方程所确定，求解：两边取对数，得，对求导，例4 设 求解：四、求切线方程和法线方程例1 已知两曲线与在点（0，0）处的切线相同，写出此切线方程，并求。解：由已知条件可知，故所求切线方程为例2 已知曲线的极坐标方程，求曲线上对应于处的切线与法线的直角坐标方程。解：曲线的参数方程为故切线方程即 法线方程 即 例3 设为周期是5的连续函数，在邻域内，恒有。其中，在处可导，求曲线在点（）处的切线方程。解：由题设可知，故切线方

5、程为 所以关键是求出和 由连续性 由所给条件可知， 再由条件可知令，又 上式左边= =则 所求切线方程为 即 五、高阶导数1求二阶导数例1 设，求解： 例2 设 求 解：例3 设由方程所确定，求解：， 2求阶导数（，正整数）先求出，总结出规律性，然后写出，最后用归纳法证明。有一些常用的初等函数的阶导数公式（1） （2） （3）（4）（5）两个函数乘积的阶导数有莱布尼兹公式其中，假设和都是阶可导例1 设（正整数），求（正整数）解：例2 设，求 （正整数）解：例3 设，求（正整数）解：例4 设，求（正整数）解： 例5 设，求（正整数）解：用莱布尼兹公式2.2 微分中值定理本节专门讨论考研数学中经常

6、考的四大定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理（泰勒公式）。注：数学三不考泰勒定理，数学四不考泰勒定理这部分有关考题主要是证明题，其中技巧性比较高，因此典型例题比较多，讨论比较详细。（甲）内容要点一、罗尔定理设函数满足（1）在闭区间上连续；（2）在开区间（）内可导；（3）则存在，使得几何意义：条件（1）说明曲线在和之间是连续曲线；包括点A和点B。条件（2）说明曲线在之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于轴的切线不包括点和点。条件（3）说明曲线在端点和处纵坐标相等。结论说明曲线在点和点之间不包括点和点至少有一点，它的切线平行于轴。二、拉格朗日中值定理设函数满足（1）在闭区间上连

7、续；（2）在开区间（）内可导则存在，使得或写成有时也写成这里相当或都可以，可正可负。几何意义：条件（1）说明曲线在点和点之间包括点和点是连续曲线：条件（2）说明曲线不包括点和点是光滑曲线。结论说明：曲线 在，之间不包括点和点，至少有点，它的切线与割线是平行的。推论1 若在内可导，且，则在内为常数。推论2 若和在（）内可导，且，则在内，其中为一个常数。（注：拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广，当特殊情形，就是罗尔定理）三、柯西中值定理设函数和满足：（1）在闭区间，上皆连续；（2）在开区间（，）内皆可导；且，则存在使得（注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形时，柯西中值定理就是拉格朗日中

8、值定理）几何意义：考虑曲线的参数方程点，点曲线在上是连续曲线，除端点外是光滑曲线，那么在曲线上至少有一点，它的切线平行于割线. 值得注意：在数学理论上，拉格朗日中值定理最重要，有时也称为微分学基本定理。罗尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定理，柯西中值定理虽然更广，但用得不太多。在考研数学命题中，用罗尔定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较少。四、泰勒定理（泰勒公式）（数学一和数学二）定理1（带皮亚诺余项的阶泰勒公式）设在处有阶导数，则有公式 （）其中 称为皮亚诺余项。（）前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的，所以对常用的初等函数如和（为实常数）等的阶

9、泰勒公式都要熟记。定理2 （带拉格朗日余项的阶泰勒公式）设在包含的区间内有阶导数，在上有阶连续导数，则对，有公式其中，（在与之间）称为拉格朗日余项。上面展开式称为以为中心的阶泰勒公式。时，也称为麦克劳林公式。 如果，那么泰勒公式就转化为泰勒级数，这在后面无穷级数中再讨论。（乙）典型例题一、用罗尔定理的有关方法例1 设在0，3上连续，在（0，3）内可导，且，. 试证：必存在，使 证： 在0，3上连续， 在0，2上连续，且有最大值和最小值.于是；，故. 由连续函数介值定理可知，至少存在一点使得，因此，且在，3上连续，（，3）内可导，由罗尔定理得出必存在使得。例2 设在0，1上连续，（0，1）内可导

10、，且求证：存在使证：由积分中值定理可知，存在，使得得到 对在0，c上用罗尔定理，（三个条件都满足）故存在，使例3 设在0,1上连续，(0，1)内可导，对任意，有，求证存在使证：由积分中值定理可知存在使得令，可知这样，对在上用罗尔定理（三个条件都满足）存在，使而 又，则 在例3的条件和结论中可以看出不可能对用罗尔定理，否则结论只是，而且条件也不满足。因此如何构造一个函数，它与有关，而且满足区间上罗尔定理的三个条件，从就能得到结论成立，于是用罗尔定理的有关证明命题中，如何根据条件和结论构造一个合适的是非常关键，下面的模型，就在这方面提供一些选择。模型：设在上连续，（）内可导，则下列各结论皆成立。（

11、1）存在使（为实常数）（2）存在使（为非零常数）（3）存在使（为连续函数）证：（1）令，在上用罗尔定理 存在使 消去因子，即证.（2）令，在上用罗尔定理 存在使 消去因子，即证。（3）令，其中 由 清去因子，即证。例4 设在上连续，在（0，1）内可导，试证： （1）存在，使。（2）对任意实数，存在，使得证明：（1）令，显然它在0, 1上连续，又，根据介值定理，存在使即（2）令，它在上满足罗尔定理的条件，故存在，使，即从而 （注：在例4（2）的证明中，相当于模型中（1）的情形，其中取为，取为）模型：设，在上皆连续，（）内皆可导，且，则存在，使证：令，则，显然在上满足罗尔定理的条件，则存在，使，即

12、证.例5 设在0, 1上连续，（0, 1）内可导，为正整数。 求证：存在使得 证：令，则，用模型，存在使得故则例6 设在内可导，且，求证在内任意两个零点之间至少有一个的零点 证：反证法：设，而在内，则令在上用罗尔定理（不妨假设否则结论已经成立）则存在使，得出与假设条件矛盾。所以在内至少有一个零点例7 设在二阶可导，且，又 求证：（1）在（）内； （2）存在，使 证：（1）用反证法，如果存在使，则对分别在和上用罗尔定理，存在使，存在使，再对在上用罗尔定理存在使与假设条件矛盾。所以在内（2）由结论可知即，因此令，可以验证在上连续，在内可导，满足罗尔定理的三个条件故存在，使于是成立二、用拉格朗日中值

13、定理和柯西中值定理例1 设在内可导，且， 求的值解：由条件易见，由拉格朗日中值定理，有其中介于与之间，那么 于是，则例2 设是周期为1的连续函数，在（0，1）内可导，且，又设是在1，2上的最大值，证明：存在，使得。 证：由周期性可知，不妨假定而，对分别在1, 和, 2上用拉格朗日中值定理， 存在，使得 存在，使得 如果，则用式，得；如果，则用式，得；因此，必有，使得例3 设在0, 1上连续，（0, 1）内可导，且，证明： （）存在，使得 （）存在，使证：（）令，则在0, 1上连续，且，用介值定理推论存在，使，即 （）在0, 和，1上对用拉格朗日中值定理，存在，使得存在，使 例4 设函数在闭区间

14、上连续，在开区间（）内可导，且，若极限存在，证明： （1）在内； （2）在内存在，使； （3）在内存在与（2）中相异的点，使证：（1）因为存在，故，由在上连续，从而. 又知在内单调增加，故 （2）设， 则，故，满足柯西中值定理的条件，于是在内存在点，使 ，即 （3）因，在上应用拉格朗日中值定理，知在内存在一点，使，从而由（2）的结论得， 即有 .三、泰勒公式（数学一和数学二）例1 设在-1，1上具有三阶连续导数，且，. 求证：，使. 证：麦克劳林公式 其中，介于0与之间。 后式减前式，得 在上连续，设其最大值为，最小值为.则再由介值定理，使例2 设函数在闭区间上具有二阶导数，且，试证：在内至少

15、存在一点，使成立。分析：因所欲证的是不等式，故需估计，由于一阶泰勒公式，（其中在之间）含有，因此应该从此入手. 再由知，应在两个区间上分别应用泰勒公式，以便消去公式中的项，同时又能出现项.证：在与上分别用泰勒公式，便有.两式相减，得.所以至少存在一点，使得2.3 导数的应用（甲）内容要点一、判断函数的单调性二、函数的极值1、定义 设函数内有定义，是内的某一点，则 如果点存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点，总有，则称为函数的一个极大值，称为函数的一个极大值点； 如果点存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点，总有，则称为函数的一个极小值，称为函数的一个极小值点。 函数的极大值与极小值统称极值。极大

16、值点与极小值点统称极值点。2、必要条件（可导情形） 设函数在处可导，且为的一个极值点，则 我们称满足的为的驻点，可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。 极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。3、第一充分条件 设在处连续，在0内可导，不存在，或0 如果在内的任一点x处，有，而在内的任一点x处，有，则为极大值，为极大值点； 如果在内的任一点x处，有，而在内的任一点x处，有，则为极小值，为极小值点； 如果在内与内的任一点x处，的符号相同，那么不是极值，不是极值点4、第二充分条件设函数在处有二阶导数，且，则当 ，为极大值，为极大值点当 ，为极小值，为极小值点三、函数的最大值和最

17、小值1求函数在上的最大值和最小值的方法。首先，求出在内所有驻点，和不可导点。其次计算最后，比较，其中最大者就是在上的最大值；其中最小者就是在上的最小值。2最大（小）值的应用问题首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间，然后再求出目标函数在区间内的最大（小）值。四、凹凸性与拐点1凹凸的定义设在区间上连续，若对任意不同的两点，恒有 （），则称在上是凸（凹）的2曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。五、渐近线及其求法六、函数作图七、曲率（乙）典型例题一、证明不等式例1求证：当时，证：令只需证明时，易知，由于的符号不易判断，故进一步考虑，再考虑于是，当时，；当时，由此可见，是的最小值。由于，这样时

18、，单调增加又因为，所以时，；时，。再由，可知时，；时，这样证明了时，。证二：令（自己思考）证三：令（自己思考）例2 设，求证：证：令则 于是可知在时单调增加，又，时，这样单调增加。因此，时，得证。例3 设，证明证一：对函数在上用拉格朗日中值定理 （）再来证明在时单调减少 从而，即故证二：设，则当时，故单调减少因此时，由可知单调增加题设，于是故，即二、有关函数的极值例1、设函数在内连续，其导函数的图形如图所示，则有 （A）一个极小值点和两个极大值点（B）两个极小值点和一个极大值点（C）两个极小值点和两个极大值点（D）三个极小值点和一个极大值点例2 设的导数在处连续，又，则 （A）是的极小值点（B）是的极大值点（C）是曲线的拐点（D）不是极值点，也不是曲线的拐点例3 设有二阶导数，满足求证：时，为极小值证：（1）情形。 故为极小值（2）情形这时方程条件用代入不行，无法得出上面的公式 存在 连续，（用洛必达法则） （再用洛必达法则） 是极小值三、最大（小）值的应用题（略）