高等数学教案Word版（同济）第三章.doc

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1、第二十一讲 授课题目：3.6 最值与函数图形的描绘 教学目的与要求：1.会求连续函数在区间上的最大值、最小值，会解简单的应用问题，尤其是几何应用问题；2.掌握函数作图的方法和步骤，会描绘简单函数的图形。 教学重点与难点：重点：最大值、最小值的应用问题难点：最值应用问题中目标函数的建立. 讲授内容： 一、最大值、最小值 在工农业生产、工程技术及科学实验中，常常会遇到这样一类问题：在一定条件下，怎样使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等问题，这类问题在数学上有时可归结为求某一函数(通常称为目标函数)的最大值或最小值问题 假定函数在闭区间上连续，在开区间()内可导，且至多在有限个

2、点处导数为零在上述条件下，我们来讨论在上的最大值和最小值的求法 首先，由闭区间上连续函数的性质，可知在上的最大值和最小值一定存在 其次，如果最大值(或最小值)在开区间()内的点处取得，那末，按在开区间内除有限个点外可导且至多有有限个驻点的假定，可知一定也是的极大值(或极小值)，从而一定是的驻点或不可导点，.又的最大值和最小值也可能在区间的端点处取得因此，可用如下方法求在上的最大值和最小值。（1）求出在()内的驻点为、，及不可导点、，；（2）计算出 （），（）及；（3）比较（2）中诸值的大小，其中最大的便是在上的最大值，最小的便是在上的最小值.例1 求函数在上的最大值与最小值解 在（）内，的驻点

3、为；不可导点为由于，比较可得在取得它在上的最大值20，在和取得它在一3，4上的最小值0例2 铁路线上AB段的距离为100km工厂C距A处为20km，AC垂直于AB(图1)为了运输需要，要在AB线上选定一点D向工厂修筑条公路已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为3：5为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省,问D点应选在何处?20km100km图1解 设(km)，那末， 出于铁路上每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为3：5，因此我们不妨设铁路上每公里的运费为3公路上每公里的运费为(为某个正数，因它与本题的解无关，所以不必定出)设从B点到C点需要的总运费为y，那末,即 (

4、) 现在，问题就归结为：在0，100内取何值时目标函数的值最小先求y对的导数： .解方程，得(km) 由于，其中以为最小，因此，当km时，总运费为最省在求函数的最大值(或最小值)时，特别值得指出的是下述情形：在一个区间(有限或无限，开或闭)内可导且只有一个驻点，并且这个驻点是函数的极值点，那末，当是极大值时，就是在该区间上的最大值(图2(a)；当是极小值时，就是在该区间上的最小值(图2(b)在应用问题中往往遇着这样的情形 图2还要指出，实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定可导函数确有最大值或最小值，而且一定在定义区间内部取得这时如果在定义区间内部只有一个驻点，那末不必讨论是不是极值，就可以

5、断定是最大值或最小值 例3 把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁(图3)间矩形截面的高h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大? 解 由力学分析知道：矩形梁的抗弯截面模量为 由图3-16看出b与h有下面的关系： ，因而 图3这样，W就是自变量b的函数，b的变化范围是()现在，问题化为：b等于多少时目标函数W取最大值?为此，求W对b的导数：.令，解得 .由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，而且在(0,d)内部取得；在()内只有一个根，所以，当时，W的值最大这时，即 ，.二、 函数图形的描绘 借助于一阶导数的符号，可以确定函数图形在哪个区间上上升，在哪个区间上下降，在什么地方有限值点；借助于二

6、阶导数的符号，可以确定函数图形在哪个区间上为凹，在哪个区间上为凸，在什么地方有拐点知道了函数图形的升降、凹凸以及极值点和拐点后，也就可以掌握函数的性态，并把函数的图形画得比较推确 利用导数描绘函数图形的一般步骤如下； 第一步 确定函数的定义域及函数所具有的某些特性（如奇偶性、周期性等），并求出函数的一阶导数和二阶导数； 第二步 求出方程和在函数定义域内的全部实根，并求出函数的间断点及和不存在的点，用这些点把函数的定义域划分成几个部分区间； 第三步 确定在这些部分区间内和的符号，并由此确定函数图形的升降和凹凸，极值点和拐点； 第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势； 第五步 算出

7、和的零点以及不存在的点所对应的函数值，定出图形上相应的点；为了把图形描得准确些，有时还需要补充一些点；然后结合第三、四步中得到的结果，联结这些点画出函数的图形例4 画出函数的图形解 (1) 所给函数的定义域为()，而 ， (2) 的零点为和1；的零点为，将点，1由小到大排列，依次把定义域()划分成下列四个部分区间： ()， (3) 在()内，所以在上的曲线弧上升而且是凸的 在 （）内，所以在上的曲线弧下降而且是凸的同样，可以讨论在区间 上及在区间1，上相应的曲线弧的升降和凹凸为了明确起见，我们把所得的结论列成下表（）（）（）1（）+00+0+的图形极大拐点极大 这里记号 表示曲线弧上升而且是凸

8、的， 表示曲线弧下降而且是凸的， 表示曲线弧下降而且是凹的， 表示曲线弧上升而且是凹的(4) 当时，；当时，；(5) 算出处的函数值： （），（），（）. 适当补充一些点例如。计算出 ，就可补充描出点（），点（0，1）和点（）.结合（3）、（4）中得到的结果，就可以画出 的图形（图4）.图4如果所讨论的函数是奇函数或偶函数，那末，描绘画数图形时可以利用函数图形的对称性例5 描绘函数的图形解 （1）所给函数的定义域为（）.由于是偶函数，它的图形关于y抽对称因此可以只讨论上该函数的图形求出 ， . (2) 在)上，方程的根为；方程的根为用点把划分成两个区间和 (3)在(1，1)内，所以在上的曲线弧

9、下降而且是凸的结合以及图形关于y袖对称可知，处函数有极大值 在()内，所以在的曲线弧下降而且是凹的 上述的这些结果，可以列成下表：0（0，1）1（）00+的图形极大拐点 (4)由于，所以图形有一条水平渐近线 (5)算出.从而得到函数 图形上的两点和.又由得.结合（3）、（4）的讨论，画出函数在上的图形最后，利用图形的对称性，便可得到函数在上的图形(图5) 图5 小结与提问：小结：1.最值与极值两者之间既有联系又有区别.极值是局部范围内的最值，最值是全局性的概念. 2.函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察.提问：对于闭区间上的连续函数能否不判定各稳定点是否极值点，而直接求得最大值，最小值？ 课外作业： 6. 13.