高中数学常用结论及公式.doc

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1、第一章 集合与简易逻辑考试内容：集合、子集、补集、交集、并集。逻辑联结词、四种命题、充分条件和必要条件。考试要求：(1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合。(2)理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，理解四种命题及其相互关系，掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义。一、集合的概念与运算1集合（1）集合是不定义的概念：任意性；确定性；互异性；无序性（2）表示法：列举法、描述法（3）特殊符号： （4）分类：有限集、无限集、空集（）2子集、真子集（1）对于任意且存在，（2），（子集

2、包含空集与本身）（3）子集个数是，有个真子集，有个非空子集，有个非真空子集。（4）且3交集、并集、补集（1）且（2）或（3）且（4）（5）容斥原理card（）=card（A）+card（B）card（）（6）， （7）反演律 （8）韦恩图二、绝对值不等式、二次不等式的解法1 或或或2二次不等式 或，或或3有理不等式序轴标根法4不等式恒成立（1）恒成立（对于）或（2）对于恒成立（3）恒成立 恒成立三、逻辑联结词，四种命题，充要条件1命题：可以判断真假的语句2逻辑联结词：或，且，非3简单命题：不含逻辑联结词的命题4复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题5真值表：pq非pp且qp或q非q6正面词

3、： 是 一定是 都是 至多一个 至少一个否定： 不是 一定不是 不都是 至少2个 一个也没有正面词：任何 所有 至多有n个 至少n个 任意2个 p或q p且q否定：某个 某些 至少有n+1个 至多n-1个 某2个 非p且非q 非p或非q7四种命题：原命题：逆命题：否命题： 逆否命题：原命题逆否命题，逆命题否命题原命题真逆命题真8反证法：至多、至少问题、不可能问题9充要条件：A是B的（1）充分不必要条件：AB（2）必要不充分条件：AB（3）充要条件：（4）既不充分也不必要条件：AB注：倒装句：A的充分不必要条件是BB是A的充分不必要条件A的必要不充分条件是BB是A的必要不充分条件集合观点：ABA

4、是B的充分不必要条件BAA是B的必要不充分条件第二章 函数考试内容：映射、函数、函数的单调性、奇偶性。反函数、互为反函数的函数图像间的关系。指数概念的扩充、有理指数幂的运算性质、指数函数。对数、对数的运算性质、对数函数。函数的应用。考试要求：(1)了解映射的概念，理解函数的概念。(2)了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法。(3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数。(4)理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质。(5)理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图像和性质。

5、(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。一、映射与函数1映射：（1）：一对一或多对一（2）A中每个元素都有象（3）B中的某些元素允许没有原象2一一映射：一对一，B中每个元素都有原象映射333 444 一一映射无（一对一） 无满射无3函数：，4相同函数：定义域、值域、完全相同5求表达式的方法（1）观察法；（2）换元法；（3）待定系数法；（4）方程组法二、定义域1求定义域（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9）定义域是或（10）定义域是或2定义域的典型问题（1）已知定义域是（2）定义域是D，求定义域（3）已知定义域是D，则，定义域是E三、值域

6、1图象法 如：，或。2配方法：3分离法：4法5换元法（1），令（2），令（3），令（4），令，（5） 令 =t（6），令sinx=t6反求法：7不等式法8几何法：如斜率法，距离法9导数法10利用单调性，如11值域为或四、函数的奇偶性1定义，对于任意定义域（1）为偶函数（2）为奇函数（3）且定义域对称又是奇又是偶函数（4）是非奇非偶函数2奇偶函数定义域必须关于原点对称，即：定义域不对称的函数必然是非奇非偶函数3是奇函数，是奇函数，且在时有意义4奇（偶）函数图象关于原点（y轴）对称，反之亦然（前提是函数）5奇（偶）函数在对称区间内单调性相同（反）6在公共定义域内：奇奇奇，奇奇偶，奇偶奇，偶偶偶，偶

7、偶偶7任一个定义域对称的函数偶+奇8 当b=0时为偶函数，当a=c=0时为奇函数9下列函数都是奇函数五、周期函数是常数，对于任意,称为周期函数，若T是周期，则六，重要结论1234567七、函数的单调性1定义，设任意（1）（2）2证明函数的单调性要用定义1）设 2）作差 3）变形 4）下结论3求函数的单调区间（1）图象法 （2）复合法 （3）导数法 （4）定义法4单调区间是最大范围，不能“并”，如5常见函数的单调区间（1）（2）（3）（4）（5） （0，），（，0）八，反函数1存在条件：一对一2求反函数的步骤：1）由 2）交换3）反函数定义域=原函数值域34。5的奇偶性相同，单调性一致（但单调区

8、间不一定相同）6重要结论（1）点（a,b）与(b,a)关于直线对称 点（a,b）与(-b,-a)关于直线对称（2）（3）（4）单调函数必有反函数，但反之不然，如（5）周期函数必然没有反函数九、二次函数1表达式（1）一般式 ： （2）交点式 ： （3）顶点式 ： 2弦长公式 ： 3根的分布，利用图象 4最值问题（1）（2）含参数的最值问题要依据a的符号，是否在内外讨论十、指数，对数式12 3 4十一、指数函数，对数函数1图象与性质定义域 值域 单调性 a1 0 a1 图象规律：（1）同类中 从大到小 从小到大（2）大大得大，大小得小， 小小得大2方程（1）同底法 （2）换元法 （3）取对数法（形

9、如）（4）方程解的个数图象得交点个数3比较大小方法（1）作差法（2）单调性（3）插值法（常用0，1）（4）图象法（5）特值法十二、图象变换1、平移（1）（2）2、对称（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）关于点（a,b）的对称曲线 反代法（10）奇（偶）函数图象关于原点（y轴）对称（11）（12）3伸缩变换（1）（2）第三章 数 列考试内容：数列。等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式。等比数列及其通项公式，等比数列前n项和公式。考试要求：(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。(2)理解等差数列的概

10、念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。一、定义1按一定次序排列的一列数 2函数定义： 3有序性，可重复性二、表示法1通项法 ： 2递推法 3图示法 ： 离散点三、通项公式 四、求1公式法 2累加法 可求和3累乘法 可求积4构造法 五、单调数列12为增（减）函数六、等差、等比数列1定义：2.公式(1)通项 (2)前n项和 也是等差数列3.性质(1)是等差数列(2)是等比数列(3)三数成等差数列 四数成等差数列 三数成等比数列 四正数成等比(4)是等比数列是等差数列 是等差数列是等比

11、数列(5)（等差）.（等比）(6)是等差数列(等比).是等差数列也是等差数列(等比)(7)是等差数列(等比).则也是等差(等比)4.主要题型(1)用基本量解题,而把问题化归为解题(2)在等差数列中,已知,求(3)在等差数列中求(4)求最值(等差数列中)：则最大，：则最小(5)奇偶项问题1. 当七.数列求和1.公式法(1)(2) 2.拆项法(1) 拆项后用公式：如(2) 拆项消去法 3.错位相减法4.倒写相加法 第四章 三角函数考试内容：角的概念的推广，弧度制。任意角的三角函数，单位圆中的三角函数线，同角三角函数的基本关系式：，正弦、余弦的诱导公式。两角和与差的正弦、余弦、正切；二倍角的正弦、余

12、弦、正切。正弦函数、余弦函数的图像和性质，周期函数，函数的图像，正切函数的图像和性质，已知三角函数值求角。正弦定理、余弦定理、斜三角形解法。考试要求：(1)了解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。(2)理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，了解周期函数与最小正周期的意义。(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。(4)能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数

13、、余弦函数和函数的简图，理解A、的物理意义。(6)会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x、arccos x、arctan x表示。(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。一、角的概念1推广、正负角、任意角、逆向（时针）为正2与终边相同的角，3终边在轴上的角：，终边在x轴上的角： ，终边在坐标轴上的角：，4象限角5弧长公式6扇形面积公式7弧度制二三角函数的定义三、符号四、比大小1同角不同名三角函数线2同名不同角单调性3是锐角 4右图五、同角公式平方倒数 商数六、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限如：七、特殊角的三角函数值 八、三角公式1、 和差角公式2、 倍角公式 万

14、能公式3、 半角公式，升降幂公式4、积化和差，和差化积公式九、三角解题思路1、遇平方降幂 2、遇升幂3、遇积化和差4、 遇和差化积5、 遇合一6、 遇弦的齐次式化切7、 遇切切，1切切化弦8、 变角：9、十、三角函数图象1、图象与性质 定义域RR，值域-1，1-1，1R奇偶性奇偶奇周期单调区间2、三角函数图象（1）五点法作的简图。00A0-A0（2）图象变换十一、三角函数常见题型1、求定义域2、求周期（最小正周期）（1）（2）（3）（4）（5）（6）注：不是周期函数3、求单调区间：确保x系数为正；让角进入单调区间4、奇偶性判断：先看定义域是否对称5、求对称轴： 令 令 6、求对称中心 ： 令，

15、令，则对称中心是。7、不等式，利用三角函数图象。8、比较三角函数值大小，同名用单调性，同角用单位圆（三角函数线）9、值域、最值问题，解题思路，化成同名同角形式。（1）利用有界性，（2）换元法关于的函数f()令则遇可令则 令 用法（3）不等式法 （4）反求法 （5）斜率法 （6）利用单调性十二、已知三角函数值求角1、步骤（1）确定角所在的象限。（2）先找锐角。（3）根据所在的象限，定角。，则，则，则，则。（4）写出通解，再找出适合条件的角。2、反三角函数（1） 则 则 则（2）（3）等价关系 或 或 第五章 平面向量考试内容向量、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标表示、线段的定比分

16、点、平面向量的数量积、平面两点间的距离、平移。考试要求(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。(2)掌握向量的加法和减法。(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。(6)掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。一、 向量1、 即有大小又有方向的量叫向量2、 方向是任意的3、 单位向量=14、 平行向量共线向量 方向相

17、同或相反。（注意）5、 相反向量6、 相等向量方向相同，长度相等。注：（当不成立）。二、向量的运算1加法（1）平行四边形法则（共起点、对角线）（2）三角形法则（首尾相连，起点到终点） 2减法，共起点，终点指向被减数向量3实数与向量的积（1）仍是一个向量（2）运算律 （3）与非零向量共线有且只有一个，使（4） 4向量的数量积（内积）（1）（是, 夹角） （2）在上投影 （3）运算律 但 （可能）(4) (5) 三、平面向量的基本定理 不共线，在平面内任一向量，有且仅有唯一，使。当为，时，即为直角坐标四、平面向量的坐标运算1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 五、定比分点公式 即为中点 重心

18、内心六、平移1点P经平移得 2经平移得曲线七、三角形的四心1、外心2、 重心3、内心4、垂心八、解斜三角形1中，（1）（2）正弦定理 (R是外接圆半径)（3）余弦定理 （4）其中为半周长（5）（6）锐角中，2解题方法（1） 边角互化 利用正余弦定理化边或化角（2） 设角（3） 斯特瓦尔特方法 第六章 不等式考试内容：不等式、不等式的基本性质、不等式的证明、不等式的解法、含绝对值的不等式。考试要求：(1)理解不等式的性质及其证明。(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。(4)掌握简单不等式的解法

19、。(5)理解不等式a-ba+ba+b一、比较大小法则1 2 3 二、不等式的基本性质1 23 4 5 67 8三、重要不等式1234567注：用不等式求最值要注意一正、二定、三等。四、不等式证明方法1比较法2综合法，分析法3法4换元法（1）（2） （3）（4）（5） 法一法二令令（6）5反证法6放缩法五、解不等式1一元一次不等式2一元二次不等式3有理不等式注意（1）分母0（2）4无理不等式（I） （II） （III） 5绝对值不等式（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）六、绝对值不等式的性质1 23 45 6七、不等式恒成立，能成立，恰成立问题12 34第七章 直线和圆的方程考试内容：直线

20、的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式，直线方程的一般式。两条直线平行与垂直的条件，两条直线的交角，点到直线的距离。用二元一次不等式表示平面区域，简单的线性规划问题。曲线与方程的概念，由已知条件列出曲线方程。圆的标准方程和一般方程，圆的参数方程。考试要求：(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。(2)掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。(3)了解二元一次不等式表示平面区域。(4)了解线性规划的意义，并会简单的应用。(5)了解解

21、析几何的基本思想，了解坐标法。(6)掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。一、直线的方程1倾斜角 2斜率当，但是直线是存在的3直线的方程不能表示的直线（1）点斜式x=m（2）斜截式 x=m（3）两点式 x=m，y=n （4）截距式，过原点（5）一般式 注意 截距不是距离，截距相等包含过原点的直线4直线系过二、两直线的位置关系设，注：一般式中三、距离公式1 点2 两平行直线四角的公式1到角公式：2夹角公式： 当五、求对称点关于直线六、简单的线性规划1二元一次不等式表示平面区域（1）表示平面内直线一侧的区域（2）区域的判定特殊点法（取点代入的符号，就是该点所在区域的符号

22、）把，看作，正正得右（上），负负得右（上），正负（负正）得左（下）对于不等式组所表示的区域是各个不等式表示平面点集的交集（4）（垂线段（3）直线与平面所成的角的范围是；（4）最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面经过斜足的直线所成的一切角中最小的角斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角。（5）三余弦公式（6）P在平面ABC的射影是0外心PA=PB=PC内心侧面与底面所成的角相等垂心或PA，PB，PC两两垂直垂心六、平面与平面1 位置关系2平面与平面平行（1）判定定理1：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行判定定理2：垂

23、直于同一直线的两个平面平行（2）性质定理1： 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一平面性质定理2： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行性质定理3：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面性质定理4：夹在两平行平面间的平行线段长度相等3平面与平面垂直（1）二面角平面角=（2）判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直（3）性质定理1：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面性质定理2 ：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，必在第一个平

24、面内4 二面角的平面角（1）定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，范围是（2）作法一，定义法（具有对称图形的条件）作法二，三垂线定理法作法三，垂面法5、求空间角与距离求角要注意作、证、算结合。距离可用定义法，转化法，等积法。七、棱柱1、定义：（1）两个平面平行（2）其余各面交线平行。2、性质（1）侧面、对角面是平行四边形（2）直棱柱侧棱底面（3）正棱柱正：底面是正多边形直：侧棱底面（4）长方体对角线 （与棱） （与面）（5）四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体。（6）3、八、棱锥1、 定义（1）一个面是多边形

25、（2）其余各面是共顶点的三角形2、 正棱锥（1）正：底面是正多边形；（2）中：顶点在底面的射影是中心3、 正三棱锥对棱互相垂直4、 正四棱锥侧面与侧面成钝角5、 侧棱与底面所成的角侧面与底面所成的角九、球1、2、球面距离（是径度差）3、球内接长方体 侧棱两两垂直的三棱锥补形长方体球内接长方体4、体积 多面体内切球半径 ： 5、正四面体 外接球 内切球 十、常见图形体积，补割法 ABCD对应于一个平行六面体，其体积为第十章 排列、组合和二项式定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理。排列、排列数公式。组合、组合数公式、组合数的两个性质。二项式定理、二项展开式的性质。考试要求：(1)掌握分类计数原

26、理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。(2)理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。(3)理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题。(4)掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。一、两个计数原理1加法原理（分类） 2，乘法原理（分步）二、排列、组合（1）排列：有序，不重复 （2）组合；无序，不重复（3）排列数公式： 最大数下标 项数=最大数-最小数+1（4）组合数公式：（5）公式 三、应用题主要题型（1）纯排列组合问题（2）在与不在问题，特殊元素优先，用加法、乘法或减法（3）

27、含与不含问题 （4）相邻问题捆 不相邻问题插（5）全排列中某个元素无序（次序固定）（6）至多、至少问题加法、减法（7）混合问题先取后排，先组合后排列，先分堆后分配四、二项式定理共项， 是二项式系数。（1）最大 （2）最大通项 或展开后共项五、典型问题（1）指定项，常数项 （2）整除问题（3）求系数之和，奇数项，偶数项系数之和 令（4）（5）母函数法 （6）求最大系数 第十一章 概率考试内容：随机事件的概率，等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，独立重复试验。考试要求：(1)了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。(2)了解等可能性事件的概率的意义

28、，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。(3)了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。(4)会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。一、随机事件 必然事件：，在一定条件下必然发生的事件不可能事件：在一定条件下必然不发生的事件随机事件： 在一定条件下可能发生，也可能不发生二、等可能事件（1）基本事件：一次试验连同其中出现的每一结果称为一个基本事件（2）等可能事件：试验由n个基本事件组成，所有结果出现的可能性相同 n=基本事件的个数， m=事件A含有m个结果三、互斥事件，独立事件（1）互斥事件A，BA，B不可能同时发生（2）对立事件A，BA，B互斥且A，B必有一个发生（3）独立事件A，BA发生不影响B发生，B发生也不影响A发