广州2015-2016学年南沙区八年级数学期末考试题(含答案).docx

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1、广东省广州市南沙区广东省广州市南沙区 2015-2016 学年八年级学年八年级（下下）期末数学试卷期末数学试卷（解析版）（解析版）一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分）分）1下列二次根式中，最简二次根式是（）ABCD2下列各式成立的是（）A=3B+=C=3D=3如图，在菱形 ABCD 中，下列结论中错误的是（）A1=2 BACBD CAB=ADDACBD4 在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有 9 名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同 其中的一名学生想要知道自己能否进入前 5 名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这 9 名学生成

2、绩的（）A众数 B中位数C平均数D方差5下列四个选项中，不是 y 关于 x 的函数的是（）A|y|=x1 By=Cy=2x7 Dy=x26在下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是（）A3，4，5 B，C1，2D4，5，7下列函数中，y 随 x 的增大而减少的函数是（）Ay=2x+8By=3x2 Cy=24xDy=4x8顺次连接一个矩形各边的中点，得到的四边形一定是（）A菱形 B矩形 C正方形D梯形92016 年 5 月 22 日 10 时 5 分，西藏日咯则市定日县发生 5.3 级地震，该县部分地区受灾严重，我解放军某部火速向灾区救援，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，

3、被阻停下，耽误了一段时间，为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步行前往，下列是官兵们离出发地的距离 S（千米）与行进时间 t（小时）的函数大致图象，你认为正确的是（）ABCD10如图，点 O（0，0），A（0，1）是正方形 OAA1B 的两个顶点，以 OA1对角线为边作正方形 OA1A2B1，再以正方形的对角线 OA2作正方形 OA1A2B1，依此规律，则点 A8的坐标是（）A（8，0）B（0，8）C（0，8）D（0，16）二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 2 分，共分，共 12 分）分）11若式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是12甲、乙两

4、名射击手的 50 次测试的平均成绩都是 8 环，方差分别是 S甲2=0.8，S乙2=0.3，则成绩比较稳定的是（填“甲”或“乙”）13在平行四边形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，点 E 是 AB 的中点，OE=4cm，则 AD的长是cm14直线 y=kx+b（k0）与 x 轴的交点坐标为（2，0），则关于 x 的不等式 kx+b0 的解集是15 如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，BD=6，AD=3，则AOD=度16一农民带上若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场售出一些后，他想快点售完回家，于是降价出售，售出的土豆千克数 x 与他手中持有的钱数（含

5、备用零钱）y 的关系如图所示，请写出降价前 y 与 x 之间的关系式三、解答题（本题有三、解答题（本题有 8 个小题，共个小题，共 68 分）分）17计算：（2）+418如图，在矩形 ABCD 中，点 E、F 分别在 AB，CD 边上，连接 CE、AF，DF=BE，证明四边形 AECF 是平行四边形19为了倡导“节约用水，从我做起”，南沙区政府决定对区直属机关 300 户家庭的用水情况作一次调查，区政府调查小组随机抽查了其中 50 户家庭一年的月平均用水量（单位：吨），调查中发现每户用水量均在 1014 吨/月范围，并将调查结果制成了如图所示的条形统计图（1）请将条形统计图补充完整；（2）这

6、50 户家庭月用水量的平均数是，众数是，中位数是；（3）根据样本数据，估计南沙区直属机关 300 户家庭中月平均用水量不超过 12 吨的约有多少户？20已知直线 y1=2x+2 及直线 y2=x+5，（1）直线 y2=x+5 与 y 轴的交点坐标为（2）在所给的平面直角坐标系（如图）中画出这两条直线的图象；（3）求这两条直线以及 x 轴所围成的三角形面积21如图，在矩形纸片 ABCD 中，CD=12，BC=15，点 E 在 AB 上，将DAE 沿 DE 折叠，使点 A 落在对角线 BD 上的点 A1处，求 AE 的长度22（10 分）（2016 春南沙区期末）如图，已知函数 y=x+b 的图象

7、与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，与函数 y=2x 的图象交于点 M，点 M 的横坐标为 2，在 x 轴上有一点 P（a，0）（其中 a2），过点 P 作 x 轴的垂线，分别交函数 y=x+b 和 y=2x 的图象于点 C，D（1）求点 A 的坐标；（2）若 OB=CD，求 a 的值23（10 分）（2016 春南沙区期末）已知：P 是正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，PEAB，PFBC，E、F 分别为垂足（1）求证：DP=EF（2）试判断 DP 与 EF 的位置关系并说明理由24（12 分）（2016 春南沙区期末）如图，直线 y=2x+2 交 y 轴于 A 点，交 x 轴于 C

8、点，以 O，A，C 为顶点作矩形 OABC，将矩形 OABC 绕 O 点顺时针旋转 90，得到矩形 ODEF，直线 AC 交直线 DF 于 G 点（1）求直线 DF 的解析式；（2）求证：GO 平分CGD；（3）在角平分线 GO 上找一点 M，使以点 G、M、D 为顶点的三角形是等腰直角三角形，求出 M 点坐标2015-2016 学年广东省广州市南沙区八年级学年广东省广州市南沙区八年级（下下）期末数期末数学试卷学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分）分）1下列二次根式中，最简二次根式是（）A

9、BCD【考点】最简二次根式【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是【解答】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式；B、，被开方数含分母，不是最简二次根式；C、，是最简二次根式；D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；故选：C【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式2下列各式成立的是（）A=3B+=C=3D=【考点】二次根式的混合运算【分析】根据算术平方根对 A 进行判断；根据合并同类二次根式对

10、B 进行判断；根据二次根式的性质对 c 进行判断；根据二次根式的乘法对 D 进行判断【解答】解：A、=3，所以 A 选项错误；B、和不是同类二次根式，不计算，所以 B 选项错误；C、=3，所以 C 选项错误；D、=，所以 D 选项正确故选 D【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后进行二次根式的加减运算3如图，在菱形 ABCD 中，下列结论中错误的是（）A1=2 BACBD CAB=ADDACBD【考点】菱形的性质【分析】根据菱形具有平行四边形的一切性质，菱形的四条边都相等，菱形的两条对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角

11、；即可求得答案【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，ABCD，ACBD，AB=AD，1=2，无法证明 AC=BD，A，B，C 正确，D 错误故选 D【点评】此题考查了菱形的性质；此题比较简单，熟记菱形的性质定理是关键4 在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有 9 名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同 其中的一名学生想要知道自己能否进入前 5 名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这 9 名学生成绩的（）A众数 B中位数C平均数D方差【考点】统计量的选择【分析】9 人成绩的中位数是第 5 名的成绩参赛选手要想知道自己是否能进入前 5 名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可【解答】解

12、：由于总共有 9 个人，且他们的分数互不相同，第 5 的成绩是中位数，要判断是否进入前 5 名，故应知道中位数的多少故选：B【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义5下列四个选项中，不是 y 关于 x 的函数的是（）A|y|=x1 By=Cy=2x7 Dy=x2【考点】函数的概念【分析】直接利用函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与其对应，那么就说 y 是 x 的函数，x 是自变量，进而判断得出答案【解答】解：A、|y|=x1，当 x 每取一个值，y 有两个值与其对应用，故此选项不是 y 关于 x

13、 的函数，符合题意；B、y=，当 x 每取一个值，y 有唯一个值与其对应用，故此选项是 y 关于 x 的函数，不符合题意；C、y=2x7，当 x 每取一个值，y 有唯一个值与其对应用，故此选项是 y 关于 x 的函数，不符合题意；D、y=x2，当 x 每取一个值，y 有唯一个值与其对应用，故此选项是 y 关于 x 的函数，不符合题意；故选：A【点评】此题主要考查了函数的定义，正确把握 y 与 x 的关系是解题关键6在下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是（）A3，4，5 B，C1，2D4，5，【考点】勾股定理的逆定理【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，

14、即可解答【解答】解：A、32+42=52，能构成直角三角形，不符合题意；B、（）2+（）2（）2，不能构成直角三角形，符合题意；C、12+（）2=22，能构成直角三角形，不符合题意；D、42+52=（）2，能构成直角三角形，不符合题意；故选：B【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断7下列函数中，y 随 x 的增大而减少的函数是（）Ay=2x+8By=3x2 Cy=24xDy=4x【考点】一次函数的性质【分析】根据一次函数的性质，k0，y 随 x 的增大而减少，找出各

15、选项中 k 值小于 0 的选项即可【解答】解：A、B、D 选项中的函数解析式 k 值都是正数，y 随 x 的增大而增大，C 选项 y=4x2 中，k=40，y 随 x 的增大而减少故选 C【点评】本题考查了一次函数的性质，主要利用了当 k0 时，y 随 x 的增大而增大；当 k0 时，y 随 x 的增大而减小8顺次连接一个矩形各边的中点，得到的四边形一定是（）A菱形 B矩形 C正方形D梯形【考点】中点四边形；矩形的性质【分析】三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半需注意新四边形的形状只与对角线有关，不用考虑原四边形的形状【解答】解：如图，连接 AC、BD在ABD 中，AH=HD，AE=

16、EB，EH=BD，同理 FG=BD，HG=AC，EF=AC，又在矩形 ABCD 中，AC=BD，EH=HG=GF=FE，四边形 EFGH 为菱形故选 A【点评】本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：定义，四边相等，对角线互相垂直平分92016 年 5 月 22 日 10 时 5 分，西藏日咯则市定日县发生 5.3 级地震，该县部分地区受灾严重，我解放军某部火速向灾区救援，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步行前往，下列是官兵们离出发地的距离 S（千米）与行进时间

17、t（小时）的函数大致图象，你认为正确的是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】我解放军某部行驶状态是：匀速行进中途停下加快速度、匀速行进；路程的增加量：平缓增加不增加快速增加，图象由三条线段组成，即：平缓，平，陡【解答】解：依题意，解放军行驶速度为：匀速行进中途停下，速度为 0步行减慢速度、匀速行进；时间与路程的函数图象应为三条线段组成，即：陡平缓，平，平缓故选 C【点评】本题考查了函数的图象应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况采用排除法求解10如图，点 O（0，0），A（0，1）是正方形 OAA1B 的两个顶点，以 OA1对角线为边作正方形 OA1A2B1，再以正方形的对角线 OA

18、2作正方形 OA1A2B1，依此规律，则点 A8的坐标是（）A（8，0）B（0，8）C（0，8）D（0，16）【考点】规律型：点的坐标【分析】根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转 45，边长都乘以，所以可求出从 A 到 A3的后变化的坐标，再求出 A1、A2、A3、A4、A5，得出 A8即可【解答】解：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转 45，边长都乘以，从 A 到 A3经过了 3 次变化，453=135，1（）3=2点 A3所在的正方形的边长为 2，点 A3位置在第四象限点 A3的坐标是（2，2）；可得出：A1点坐标为（1，1），A2点坐标为（2，0），A3点坐标为

19、（2，2），A4点坐标为（0，4），A5点坐标为（4，4），A6（8，0），A7（8，8），A8（0，16），故选：D【点评】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过 8 次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，此题难度较大二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 2 分，共分，共 12 分）分）11若式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是x1【考点】二次根式有意义的条件【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于 x 的不等式，求出 x 的取值范围即可【解答】解：式子在实数

20、范围内有意义，x10，解得 x1故答案为：x1【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于 012甲、乙两名射击手的 50 次测试的平均成绩都是 8 环，方差分别是 S甲2=0.8，S乙2=0.3，则成绩比较稳定的是乙（填“甲”或“乙”）【考点】方差【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案【解答】解：甲、乙的平均成绩都是 8 环，方差分别是 S甲2=0.8，S乙2=0.3，S甲2S乙2，成绩比较稳定的是乙；故答案为：乙【点评】本题考查了方差的意义方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表

21、明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定13在平行四边形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，点 E 是 AB 的中点，OE=4cm，则 AD的长是8cm【考点】平行四边形的性质【分析】根据平行四边形的性质，可得出点 O 平分 BD，则 OE 是三角形 ABD 的中位线，则 AD=2OE，继而求出答案【解答】解：如图所示：四边形 ABCD 为平行四边形，BO=DO，点 E 是 AB 的中点，OE 为ABD 的中位线，AD=2OE，OE=4cm，AD=8cm故答案为：8【点评】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明 OE 是

22、三角形中位线是解决问题的关键14直线 y=kx+b（k0）与 x 轴的交点坐标为（2，0），则关于 x 的不等式 kx+b0 的解集是x2【考点】一次函数与一元一次不等式【分析】根据一次函数的性质得出 y 随 x 的增大而增大，当 x2 时，y0，即可求出答案【解答】解：直线 y=kx+b（k0）与 x 轴的交点为（2，0），y 随 x 的增大而增大，当 x2 时，y0，即 kx+b0故答案为：x2【点评】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键15如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，BD=6，AD=3，则AOD

23、=120度【考点】矩形的性质【分析】由矩形的性质可推出ABC=90，由特殊角的锐角三角函数值可求出ACB=30，根据矩形性质求出 OB=OC，求出OBC 和OCB 的度数，求出BOC，即可求出AOD【解答】证明：四边形 ABCD 是矩形，ABC=90（矩形的四个角都是直角），BD=AC，AD=BC，在 RtABC 中，BD=6，AD=3，cosACB=，ACB=30，四边形 ABCD 是矩形，OB=OD=BD，OC=OA=AC，AC=BD，BO=CO，OBC=OCB=30，OBC+OCB+BOC=180，BOC=120，AOD=BOC=120，故答案为：120【点评】本题考查了等腰三角形性质，

24、三角形的内角和定理，含 30 度角的直角三角形性质，矩形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力16一农民带上若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场售出一些后，他想快点售完回家，于是降价出售，售出的土豆千克数 x 与他手中持有的钱数（含备用零钱）y 的关系如图所示，请写出降价前 y 与 x 之间的关系式y=0.5x+5（0 x30）【考点】一次函数的应用【分析】由图象可知，在这位农民还有 30kg 土豆时开始降价，即应用待定系数法求出 0 x30 时的一次函数的关系式【解答】设降价前 y 与 x 的关系式为：y=kx+b（0 x30）由图象可知，函数图象

25、经过点（0，5）与点（30，20），所以有：解之得：所以，降价前 y 与 x 之间的关系式是：y=0.5x+5（0 x30）【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解函数图象的意义及图象上的点的坐标与函数图象的关系三、解答题（本题有三、解答题（本题有 8 个小题，共个小题，共 68 分）分）17计算：（2）+4【考点】二次根式的混合运算【分析】根据二次根式的混合运算的计算方法可以解答本题【解答】解：（2）+4=4+4=4【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法18如图，在矩形 ABCD 中，点 E、F 分别在 AB，CD 边上，连接 CE、AF，

26、DF=BE，证明四边形 AECF 是平行四边形【考点】矩形的性质；平行四边形的判定【分析】根据矩形的性质得出 DC=AB，DCAB，求出 FC=AE，根据平行四边形的判定得出即可【解答】证明：四边形 ABCD 是矩形，DC=AB，DCAB，DF=BE，DCDF=ABBE，FC=AE，DCAB，即 FCAE，四边形 AECF 是平行四边形【点评】本题考查了矩形的性质和平行四边形的判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键19为了倡导“节约用水，从我做起”，南沙区政府决定对区直属机关 300 户家庭的用水情况作一次调查，区政府调查小组随机抽查了其中 50 户家庭一年的月平均用水量（单位：吨）

27、，调查中发现每户用水量均在 1014 吨/月范围，并将调查结果制成了如图所示的条形统计图（1）请将条形统计图补充完整；（2）这 50 户家庭月用水量的平均数是11.6，众数是11，中位数是11；（3）根据样本数据，估计南沙区直属机关 300 户家庭中月平均用水量不超过 12 吨的约有多少户？【考点】条形统计图；用样本估计总体；加权平均数；中位数；众数【分析】（1）利用总户数减去其他的即可得出答案，再补全即可；（2）利用众数，中位数以及平均数的公式进行计算即可；（3）根据样本中不超过 12 吨的户数，再估计 300 户家庭中月平均用水量不超过 12 吨的户数即可【解答】解：（1）根据条形图可得出

28、：平均用水 11 吨的用户为：50105105=20（户），如图所示：（2）这 50 个样本数据的平均数是 11.6，众数是 11，中位数是 11；故答案为；11.6，11，11；（3）样本中不超过 12 吨的有 10+20+5=35（户），广州市直机关 300 户家庭中月平均用水量不超过 12 吨的约有：300=210（户）【点评】本题考查了读统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题也考查了众数、中位数的统计意义 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中

29、出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个20已知直线 y1=2x+2 及直线 y2=x+5，（1）直线 y2=x+5 与 y 轴的交点坐标为（0，5）（2）在所给的平面直角坐标系（如图）中画出这两条直线的图象；（3）求这两条直线以及 x 轴所围成的三角形面积【考点】两条直线相交或平行问题【分析】（1）令 x=0 求得 y 值后即可确定交点坐标；（2）利用描点法作出函数的图象即可；（3）首先求得两直线的交点坐标，然后求得与两坐标轴的交点坐标，利用三角形的面积计算公式进行计算即可【解答】解：（1）在 y2=x+5 中，令 x=0，可得 y2=5，直线 y2=x+5 与 y 轴的交点坐标为（0，5）

30、，故答案为：（0，5）；（2）在 y1=2x+2 中，令 x=0，可得 y1=2，令 y1=0，可得 x=1，直线 y1与 y 轴交于点 A（0，2），与 x 轴交于点 B（1，0）；在 y2=x+5 中，令 y2=0，可求得 x=5，直线 y2与 x 轴交于点 C（5，0），且由（1）可知与 y 轴交于点 D（0，5），联立两直线解析式可得，解得，两直线的交点 E（1，4），两直线的图象如图所示；（3）由（2）可知 BC=5（1）=6，（7 分）且 E 到 BC 的距离为 4，SBCE=64=12；【点评】考查了两条直线平行或相交的问题，解题的关键是了解如何求得两个直线的交点坐标，难度不大2

31、1如图，在矩形纸片 ABCD 中，CD=12，BC=15，点 E 在 AB 上，将DAE 沿 DE 折叠，使点 A 落在对角线 BD 上的点 A1处，求 AE 的长度【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质【分析】由在矩形纸片 ABCD 中，CD=12，BC=15，利用勾股定理即可求得 BD 的长，然后由折叠的性质，可得 DA=DA1=BC=5，DA1E=DAE=90，再设 AE=x，利用勾股定理即可得方程：（12x）2=x2+82，解此方程即可求得答案【解答】解：在矩形纸片 ABCD 中，CD=12，BC=5，由勾股定理求得：BD=13，由折叠的性质可得：DA=DA1=BC=5，DA1E=D

32、AE=90，设 AE=x，则 A1E=x，BE=12x，BA1=135=8，在 RtEA1B 中，（12x）2=x2+82，解得：x=，即 AE 的长为【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理注意掌握折叠前后图形的对应关系，掌握方程思想的应用是解此题的关键22（10 分）（2016 春南沙区期末）如图，已知函数 y=x+b 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，与函数 y=2x 的图象交于点 M，点 M 的横坐标为 2，在 x 轴上有一点 P（a，0）（其中 a2），过点 P 作 x 轴的垂线，分别交函数 y=x+b 和 y=2x 的图象于点 C，D（1）求点 A 的坐标；（

33、2）若 OB=CD，求 a 的值【考点】两条直线相交或平行问题【分析】（1）先求出点 M 坐标，再求出直线 AB 解析式，令 y=O，求出 x 的值，即可解决问题（2）根据 OB=CD，列出方程即可解决问题【解答】解（1）点 M 在直线 y=2x 的图象上，且点 M 的横坐标为 2，点 M 的坐标为（2，4），把 M（2，4）代入 y=x+b 得2+b=4，解得 b=6，一次函数的解析式为 y=x+6，把 y=0 代入 y=x+6 得x+6=0，解得 x=6，A 点坐标为（6，0）；（2）把 x=0 代入 y=x+6 得 y=6，B 点坐标为（0，6），CD=OB，CD=6，PCx 轴，C 点

34、坐标为（a，a+6），D 点坐标为（a，2a）CD=2a（a+6）=6，a=4【点评】本题考查两直线平行或相交问题、一次函数、待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型23（10 分）（2016 春南沙区期末）已知：P 是正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，PEAB，PFBC，E、F 分别为垂足（1）求证：DP=EF（2）试判断 DP 与 EF 的位置关系并说明理由【考点】正方形的性质【分析】（1）连结 PB，由正方形的性质得到 BC=DC，BCP=DCP，接下来证明CBPCDP，于是得到 DP=BP，然后证明四边形 BFPE 是矩形，由矩形的对角线相等可得到

35、BP=EF，从而等量代换可证得问题的答案；（2）延长 DP 交 EF 于 G，延长 EP 交 CD 于 H，连接 PB由（1）可知CBPCDP，依据全等三角形对应角相等可得到CDP=CBP，由四边形 EPFB 是矩形可证明CBP=FEP，从而得到HDP=FEP，由DPH+PDH=90可证明EPG+PEG=90，从而可得到问题答案【解答】证明：（1）如图 1 所示：连结 PB四边形 ABCD 是正方形，BC=DC，BCP=DCP=45在CBP 和CDP 中，CBPCDPDP=BPPEAB，PFBC，B=90四边形 BFPE 是矩形BP=EFDP=EF（2）DPEF理由：如图 2 所示：延长 DP

36、 交 EF 于 G，延长 EP 交 CD 于 H，连接 PBCBPCDP，CDP=CBP四边形 BFPE 是矩形，CBP=FEPCDP=FEP又EPG=DPHEGP=DHPPEAB，ABDCPHDC即DHP=90EGP=DHP=90PGEF，即 DPEF【点评】本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定、矩形的性质和判定，证得CDP=FEP 是解题的关键24（12 分）（2016 春南沙区期末）如图，直线 y=2x+2 交 y 轴于 A 点，交 x 轴于 C 点，以 O，A，C 为顶点作矩形 OABC，将矩形 OABC 绕 O 点顺时针旋转 90，得到矩形 ODEF，直线 AC 交直

37、线 DF 于 G 点（1）求直线 DF 的解析式；（2）求证：GO 平分CGD；（3）在角平分线 GO 上找一点 M，使以点 G、M、D 为顶点的三角形是等腰直角三角形，求出 M 点坐标【考点】一次函数综合题【分析】（1）根据直线的解析式找出点 A、C 的坐标，再由旋转的特性找出点 D、F 的坐标，结合点 D、F 的坐标利用待定系数法即可求出直线 DF 的解析式；（2）过点 O 作 OPAC 于点 P，作 OQDG 于点 Q，利用全等直角三角形的判定定理 HL证出 RtOACRtODF 和 RtOPGRtOQG，由此即可得出PGO=QGO，从而证出 GO 平分CGD；（3）根据旋转的性质可得出

38、 ACDF，结合（2）的结论即可得出OGD=45，联立直线AC、DF 的解析式成方程组，解方程组可得出点 G 的坐标，根据等腰直角三角形的性质可分两种情况寻找点 M 的位置，再通过勾股定理解方程等即可得出结论【解答】解：（1）直线 y=2x+2 交 y 轴于 A 点，交 x 轴于 C 点，A 点的坐标是（0，2），C 点的坐标是（1，0），将矩形 OABC 绕 O 点顺时针旋转 90，得到矩形 ODEF，F 点的坐标是（0，1），D 点的坐标是（2，0），设直线 DF 的解析式是 y=kx+1，2k+1=0，解得 k=，直线 DF 的解析式是：y=x+1（2）过点 O 作 OPAC 于点 P，

39、作 OQDG 于点 Q，如图 1 所示在 RtOAC 和 RtODF 中，RtOACRtODF（HL），又OPAC，OQDG，OP=OQ，在 RtOPG 和 RtOQG 中，RtOPGRtOQG（HL），PGO=QGO，OG 平分CGD（3）矩形 OABC 绕 O 点顺时针旋转 90，得到矩形 ODEF，对角线 ACDF，GO 平分CGD，OGD=45解得：，即点 G（，），直线 GO 为 y=3xD（2，0），GD=，GO=以点 G、M、D 为顶点的三角形是等腰直角三角形分两种情况：过 D 作 DM1GO 于点 M1，则GM1D 是以 GD 为斜边的等腰直角三角形，过 M1作M1HOD 于点

40、 H，如图 2 所示GD=，GM1=DM1=GO=，OM1=GM1GO=设点 M1（x，3x），在 RtOM1H 中有，即 x2+（3x）2=，解得：x=或 x=（舍去）点 M1（，）；过 D 作 DM2GD 交 GO 于 M2，则GM2D 是以 GD 为直角边的等腰直角三角形，过M2作 M2IOD 于点 I，如图 3 所示GD=，GM2=，GO=，OM2=GM2GO=设 M2（a，3a），在 RtOM2I 中有，即 a2+（3a）2=，解得：a=或 a=（舍去），点 M2（，）综上可得：使以点 G、M、D 为顶点的三角形是等腰直角三角形的 M 点的坐标为（，）和（，）【点评】本题考查了旋转的性质、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）证出 RtOPGRtOQG；（3）分情况讨论点 M 的情况本题属于中档题，难度不大，但解题过程稍显繁琐，解决该题型题目时，根据旋转的性质找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是关键