《二项式定理(共7页).doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《二项式定理(共7页).doc(7页珍藏版)》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、精选优质文档-倾情为你奉上二项式定理:一、框架二项式定理是高中数学中与排列组合、多项式的概念性质联系比较紧密的内容,高考在这一部分命题主要以选择、填空题的形式考查二项展开式的项、系数及其相关问题。复习时先要正确的理解二项式定理、二项展开式的项、系数等概念和性质,牢牢掌握二项展开式的通项公式是解答有关问题的关键,同时注意把握二项式与定积分及其它知识的联系。其中非标准二项式定理求解特殊项的问题,是难点问题。1二项式定理:公式(ab)nCanCan1bCankbkCbn(nN*)叫做二项式定理2通项: Tk1Cankbk为展开式的第k1项提醒: (1)Tk1表示的是第k1项,而非第k项 (2)要正确
2、区分二项展开式中的“项”、“项的系数”、“项的二项式系数”等概念的异同3. 求二项展开式中的项的方法:求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项Tk1Cankbk的特点,一般需要建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围(k0,1,2,n)(1)第m项:此时k1m,直接代入通项;(2)常数项:即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程;(3)有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程;特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解4二项式系数与项的系数(1)二项式系数:二项展开式中各项的系数C(k0,1,n)叫做二项式系数(2)项的系数:项的系数是该项中
3、非字母因数部分,包括符号等,与二项式系数是两个不同的概念5二项式系数的性质(1)对称性:在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即CC.(2)增减性与最大值:二项式系数C,当k时,二项式系数逐渐减小当n是偶数时,中间一项的二项式系数最大;当n是奇数时,中间两项的二项式系数最大(3)各二项式系数的和:(ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于 2n,即CCC2n.(4)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和,即CCCC2n1.6在高考中,常常涉及一些多项式二项式问题,主要考查学生的化归能力归纳起来常见的命题角度有:(1)几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题;(2)
4、几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题;(3)三项展开式中的特定项(系数)问题.7赋值法研究二项式的系数和问题:“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(axb)n、(ax2bxc)m(a,bR)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x1即可;对形如(axby)n(a,bR)的式子求其展开式各项系数之和,只需令xy1即可二、方法诠释第一方面:二项式的项、二项式的项的系数、二项式的系数例1:在6的二项展开式中常数项是()A120B60 C120 D60解:选D二项展开式的通项公式为Tr1C()6rrC(2)rx3r,令3r0,得r2,所以常数项为C(2)260.第二方
5、面:对称性、增减性、最值与二项式系数例2:已知(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则n_. 解:容易得到n10.第三方面:几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题例3:48的展开式中的常数项为()A32 B34 C36 D38解:选D4的展开式的通项为Tm1C(x3)4mmC(2)mx124m,令124m0,解得m3,8的展开式的通项为Tn1Cx8nnCx82n,令82n0,解得n4,所以所求常数项为C(2)3C38.问题四:几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题例4: (1)4的展开式中x的系数是_解:(1)4展开式的通项公式Tr1C()r(1)rCx,(1)4的展开式
6、中含x的项为(1)4Cx2x(1)0Cxx2x13x,故系数是3. 答案:3问题五:三项展开式中特定项(系数)问题例5:(x24x4)5的展开式中x的系数是_解:由(x24x4)5(x2)10,得二项展开式的通项为Tr1Cx10r(2)r,所以x的系数为(2)9C5 120. 答案:5 120问题六:赋值法例6.1:若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9,且(a0a2a8)2(a1a3a9)239,则实数m的值为() A1或3 B1或3 C1 D3解:选A令x0,得a0a1a2a9(2m)9,令x2,得a0a1a2a9m9,又(a0a2a8)2(a1a3a9)239,即(a
7、0a1a2a9)(a0a1a2a9)39,即(2m)9m939,所以(2m)m3,解得m1或3.例6.2:化简: 解:小结:二项式定理是一个恒等式,使用时有两种思路:一是利用恒等定理(两个多项式恒等,则对应项系数分别相等);二是赋值二项式定理结合“恒等”与“赋值”两条思路可以使很多求二项展开式的系数的问题迎刃而解赋值法是处理组合数问题、系数问题的最有效的经典方法,一般对任意,某式子恒成立,则对中的特殊值,该式子一定成立,特a殊值如何选取视具体情况决定,灵活性较强,一般取居多.若则设.有: 7.二项式与定积分的综合:在考查二项式定理时常常会把定积分和二项式结合在一起,把定积分作为二项式的一项、二
8、项式的值或二项式的指数是常考模式,注意定积分的概念和计算是关键.例7:设,则的展开式中常数项是 .解:三、巩固训练1. 5的展开式中x2y3的系数是() A20 B5 C5 D202.(xa)10的展开式中,x7的系数为15,则a_.(用数字填写答案)3.若n展开式中只有第6项的二项式系数最大,则展开式的常数项是()A360B180 C90 D454.若n的展开式中含x的项为第6项,设(13x)na0a1xa2x2anxn,则a1a2an的值为_5.设n为正整数,2n展开式中存在常数项,则n的一个可能取值为()A16 B10 C4 D26.若二项式n的展开式中的常数项是80,则该展开式中的二项
9、式系数之和等于_7. 6的展开式的第二项的系数为,则x2dx的值为()A3 B. C3或 D3或8.n的展开式中各项系数之和为729,则该展开式中x2项的系数为_9.二项式(2x3y)9的展开式中,求:(1)二项式系数之和;(2)各项系数之和;(3)所有奇数项系数之和;(4)各项系数绝对值之和10已知在n的展开式中,第6项为常数项(1)求n;(2)求含x2的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项二项式定理:1、 解析:选A 由二项展开式的通项可得,第四项T4C2(2y)320x2y3,故x2y3的系数为20,选A.2、 解析:二项展开式的通项公式为Tr1Cx10rar,当10r7时,r3,T4
10、Ca3x7,则Ca315,故a. 答案:3、解析:选B展开式中只有第6项的二项式系数最大,则展开式总共11项,所以n10,通项公式为Tr1C()10rrC2rx5r,所以r2时,常数项为180.4、解析:展开式n的通项为Tr1C(x2)nrrC(1)rx2n3r,因为含x的项为第6项,所以r5,2n3r1,解得n8,令x1,得a0a1a8(13)828,又a01,所以a1a8281255. 答案:2555、解析:选B2n展开式的通项公式为Tk1Cx2nkkC(1)kx,令0,得k,n可取10. 6、解析:对于Tr1C()nrrC2rx,当rn时展开式为常数项,因此n为5的倍数,不妨设n5m,则
11、有r3m,则23mC8mC80,因此m1,则该展开式中的二项式系数之和等于2n2532.答案:32 7、解析:选B该二项展开式的第二项的系数为Ca5,由Ca5,解得a1,因此x2dxx2dx.8、解析:依题意得3n729,n6,二项式6的展开式的通项是Tr1C(2x)6rrC26rx6.令62,得r3.因此,在该二项式的展开式中x2项的系数是C263160.答案:1609、解:设(2x3y)9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1)二项式系数之和为CCCC29.(2)各项系数之和为a0a1a2a9,令x1,y1,得a0a1a2a9(23)91.(3)由(2)知a0a1a2a91,令x1,y1,得a0a1a2a959,得a0a2a4a6a8,此即为所有奇数项系数之和(4)|a0|a1|a2|a9|a0a1a2a9,令x1,y1,得|a0|a1|a2|a9|a0a1a2a959,此即为各项系数绝对值之和10、解:(1)通项公式为Tk1CxkxCkx.因为第6项为常数项,所以k5时,0,即n10.(2)令2,得k2,故含x2的项的系数是C2.(3)根据通项公式,由题意令r(rZ),则102k3r,k5r,kN,r应为偶数,r可取2,0,2,即k可取2,5,8,第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为C2x2,C5,C8x2. 专心-专注-专业
限制150内